超楕円体

数学において、超楕円体（スーパー楕円体）とは、水平断面が同じ直角度パラメータ を持つ超楕円（ラメ曲線）であり、中心を通る垂直断面が直角度パラメータ を持つ超楕円である立体である。これは楕円体の一般化であり、 の特殊なケースである。^[2]${\displaystyle \epsilon_{2}}$${\displaystyle \epsilon_{1}}$${\displaystyle \epsilon _{1}=\epsilon _{2}=1}$

コンピュータグラフィックスプリミティブとしての超楕円体は、アラン・H・バー（超楕円体と超トロイドの両方を指すのに「スーパー二次曲面」という名前を使用した）によって普及した。^{[2] [3]}現代のコンピュータビジョンとロボット工学の文献では、超楕円体はすべての超二次曲面の中で最も代表的で広く使用されている形状であるため、超二次曲面と超楕円体は同じ意味で使用されている。^{[4] [5]}

超楕円体には、直方体、円柱、楕円体、八面体、およびそれらの中間形など、豊富な形状語彙があります。^[6]これは、コンピュータービジョン、^{[6] [5] [7]}ロボット工学、^[4]および物理シミュレーションで広く使用される重要な幾何学的プリミティブになります。^[8]超楕円体でオブジェクトと環境を記述する主な利点は、形状の簡潔さと表現力です。^[6]さらに、2つの超楕円体間のミンコフスキー和の閉じた形式の表現が可能です。^[9]これにより、ロボットの把持、衝突検出、および動作計画に適した幾何学的プリミティブになります。^[4]

正しい値のセットが与えられた場合、いくつかの注目すべき数学的図形が超楕円体の特殊なケースとして生じます。これは上の図に示されています。

• シリンダー
• 球
• シュタインメッツ固体
• 双円錐形
• 正八面体
• 立方体、指数が無限大に近づく極限ケースとして

ピート・ハインの超卵も超楕円体の特殊なケースである。

基本的な超楕円体は暗黙の関数によって定義される。

${\displaystyle f(x,y,z)=\left(x^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}+y^{\frac {2}{\epsilon _{2}}} \right)^{\epsilon _{2}/\epsilon _{1}}+z^{\frac {2}{\epsilon _{1}}}}$

パラメータと は、形状の直角度を制御する正の実数です。 ${\displaystyle \epsilon_{1}}$${\displaystyle \epsilon_{2}}$

超楕円体の表面は次の式で定義されます。

${\displaystyle f(x,y,z)=1}$

任意の点 に対して、 の場合はその点が超楕円体の内側にあり、 の場合はその外側にあります。 ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle f(x,y,z)<1}$${\displaystyle f(x,y,z)>1}$

超楕円体（ -1から+1の間の任意の定数zにおける水平断面）の任意の「緯度平行線」は、指数 のラメ曲線であり、 でスケールされ、 ${\displaystyle 2/\epsilon _{2}}$${\displaystyle a=(1-z^{\frac {2}{\epsilon _{1}}})^{\frac {\epsilon _{1}}{2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}+\left({\frac {y}{a}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}=1.}$

任意の「経線」（原点を通る任意の垂直面による切断）は、指数 のラメ曲線であり、切断面に依存する係数wで水平方向に引き伸ばされます。つまり、および の場合、与えられた に対して、切断は ${\displaystyle 2/\epsilon _{1}}$${\displaystyle x=u\cos\theta }$${\displaystyle y=u\sin \theta }$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle \left({\frac {u}{w}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{1}}}+z^{\frac {2}{\epsilon _{1 }}}=1,}$

どこ

${\displaystyle w=(\cos ^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}\theta +\sin ^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}\theta )^{ -{\frac {\epsilon _{2}}{2}}}.}$

特に、が 1 の場合、水平断面は円であり、垂直断面の水平方向の伸縮はすべての平面に対して 1 です。その場合、超楕円体は、垂直軸を中心に指数でラメ曲線を回転させることによって得られる回転体です。 ${\displaystyle \epsilon_{2}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle 2/\epsilon _{1}}$

上記の基本形状は、各座標軸に沿って -1 から +1 まで伸びています。一般的な超楕円体は、基本形状を各軸に沿って係数、、（結果として得られる立体の半径）で拡大縮小することで得られます。暗黙の関数は^[2]です。${\displaystyle a_{x}}$${\displaystyle a_{y}}$${\displaystyle a_{z}}$

${\displaystyle F(x,y,z)=\left(\left({\frac {x}{a_{x}}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}+\left({\frac {y}{a_{y}}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}\right)^{\frac {\epsilon _{2}}{\epsilon _{1}}}+\left({\frac {z}{a_{z}}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{1}}}$。

同様に、超楕円体の表面は次式で定義される。

${\displaystyle F(x,y,z)=1}$

任意の点 に対して、 の場合はその点が超楕円体の内側にあり、 の場合はその外側にあります。 ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle f(x,y,z)<1}$${\displaystyle f(x,y,z)>1}$

そのため、この暗黙関数は超楕円体の内外関数とも呼ばれる。^[2]

超楕円体は表面パラメータによるパラメトリック表現を持つ。^[3]${\displaystyle \eta \in [-\pi /2,\pi /2)}$${\displaystyle \omega \in [-\pi ,\pi )}$

${\displaystyle x(\eta ,\omega )=a_{x}\cos ^{\epsilon _{1}}\eta \cos ^{\epsilon _{2}}\omega }$

${\displaystyle y(\eta ,\omega )=a_{y}\cos ^{\epsilon _{1}}\eta \sin ^{\epsilon _{2}}\omega }$

${\displaystyle z(\eta ,\omega )=a_{z}\sin ^{\epsilon _{1}}\eta }$

コンピュータビジョンやロボットのアプリケーションでは、通常、3Dユークリッド空間での一般的なポーズを持つ超楕円体の方が興味深いです。^{[6] [5]}

超楕円体フレームのユークリッド変換が与えられた場合、世界フレームで定義される一般的な姿勢の超楕円体表面の暗黙の関数は^{[6]である。}${\displaystyle g=[\mathbf {R} \in SO(3),\mathbf {t} \in \mathbb {R} ^{3}]\in SE(3)}$

${\displaystyle F\left(g^{-1}\circ (x,y,z)\right)=1}$

ここで、はワールドフレーム内の点を標準超楕円体フレームにマッピングする変換操作です。 ${\displaystyle \circ }$${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$

超楕円体表面に囲まれた体積はベータ関数 で表すことができる。^[10]${\displaystyle \beta (\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle V(\epsilon _{1},\epsilon _{2},a_{x},a_{y},a_{z})=2a_{x}a_{y}a_{z}\epsilon _{1}\epsilon _{2}\beta ({\frac {\epsilon _{1}}{2}},\epsilon _{1}+1)\beta ({\frac {\epsilon _{2}}{2}},{\frac {\epsilon _{2}+2}{2}})}$

またはガンマ関数 と同等である。 ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$

${\displaystyle \beta (m,n)={\frac {\Gamma (m)\Gamma (n)}{\Gamma (m+n)}}}$

生データ（点群、メッシュ、画像、ボクセルなど）から超楕円体（または超二次曲面）表現を復元することは、コンピュータビジョン、^{[11] [7] [6] [5]}ロボティクス、^{[4]物理シミュレーション[8]}において重要なタスクです。

従来の計算方法では、この問題を最小二乗問題としてモデル化します。^[11]目標は、目的関数を最小化する最適な超楕円体パラメータのセットを見つけることです。形状パラメータ以外に、SE(3)は世界座標に対する超楕円体フレームの姿勢です。 ${\displaystyle \theta \doteq [\epsilon _{1},\epsilon _{2},a_{x},a_{y},a_{z},g]}$${\displaystyle g\in }$

一般的に使用される目的関数は2つあります。^[12]最初のものは暗黙の関数^{[11]に基づいて直接構築されます。}

${\displaystyle G_{1}(\theta )=a_{x}a_{y}a_{z}\sum _{i=1}^{N}\left(F^{\epsilon _{1}}\left(g^{-1}\circ (x_{i},y_{i},z_{i})\right)-1\right)^{2}}$

目的関数の最小化により、すべての入力ポイントに可能な限り近い復元された超楕円体が提供されます。同時に、スカラー値は超楕円体の体積に正比例するため、体積を最小化する効果もあります。 ${\displaystyle \{(x_{i},y_{i},z_{i})\in \mathbb {R} ^{3},i=1,2,...,N\}}$${\displaystyle a_{x},a_{y},a_{z}}$

もう一つの目的関数は、点と超楕円体との間の半径距離を最小化しようとするものである。これは^{[13] [12]}

${\displaystyle G_{2}(\theta )=\sum _{i=1}^{N}\left(\left|r_{i}\right|\left|1-F^{-{\frac {\epsilon _{1}}{2}}}\left(g^{-1}\circ (x_{i},y_{i},z_{i})\right)\right|\right)^{2}}$、 どこ${\displaystyle r_{i}=\|(x_{i},y_{i},z_{i})\|_{2}}$

EMSと呼ばれる確率的手法は、ノイズや外れ値に対処するために設計されている。^[6]この手法では、超楕円体の回復を最大尤度推定問題として再定式化し、超楕円体の幾何学的類似性を利用して局所最小値を回避する最適化手法が提案されている。

この方法は、ノンパラメトリックベイズ法によるモデリングによってさらに拡張され、複数の超楕円体を同時に復元することができる。^[14]

• Barr、「スーパー二次曲面と角度保存変換」、IEEE Computer Graphics and Applications、vol. 1、no. 1、pp. 11–23、1981 年 1 月、doi: 10.1109/MCG.1981.1673799。
• Aleš Jaklič、Aleš Leonardis、Franc Solina、超二次関数の分割と回復。 Kluwer Academic Publishers、ドルドレヒト、2000 年。
• Aleš Jaklič、Franc Solina (2003) 超楕円体のモーメントと距離画像登録への応用。IEEE TRANSACTIONS ON SYSTEMS, MAN, AND CYBERNETICS、33 (4)。pp. 648–657
• W. Liu、Y. Wu、S. Ruan、GS Chirikjian、「堅牢で正確なスーパー二次曲面回復：確率的アプローチ」、2022 IEEE/CVF コンピュータービジョンおよびパターン認識会議（CVPR）、ニューオーリンズ、ルイジアナ州、米国、2022 年、pp. 2666–2675、doi: 10.1109/CVPR52688.2022.00270。

• 参考文献: 超四次表現
• 超二次テンソルグリフ
• スーパー四角形楕円体とトロイド、OpenGL ライティング、タイミング
• Robert Kragler による Superquadratics、Wolfram Demonstrations Project。
• Python と MATLAB でのスーパー二次関数回復アルゴリズム