ガリレイ不変性

ガリレイの不変性またはガリレイの相対性は、運動の法則はすべての慣性系で同じであると述べている。ガリレオ・ガリレイは、1632年に著書『二大世界系についての対話』で、滑らかな海面を揺れることなく一定の速度で航行する船を例に挙げて、この原理を初めて説明した。デッキの下にいる観察者は、船が動いているのか静止しているのかを判別できない。

具体的には、今日ではガリレイ不変性という用語は通常、この原理をニュートン力学に適用したものを指します。つまり、ニュートンの運動法則は、ガリレイ変換によって互いに関連付けられたすべてのフレームで有効です。言い換えると、そのような変換によって互いに関連付けられたすべてのフレームは慣性です（つまり、ニュートンの運動方程式はこれらのフレームで有効です）。この文脈では、ニュートン相対性と呼ばれることもあります。

ニュートンの理論からの公理には以下のものがあります。

1. ニュートンの法則が成り立つ絶対空間が存在します。慣性系は絶対空間に対して相対的に等速運動する基準系です。
2. すべての慣性系は世界時刻を共有します。

ガリレイの相対性は次のように示せます。2つの慣性系SとS'を考えてみましょう。 Sにおける物理的イベントは、 Sでは位置座標r = ( x , y , z ) と時間t を持ち、S'ではr' = ( x' , y' , z' ) と時間t' を持ちます。上記の2番目の公理により、2つのフレームの時計を同期させ、t = t'と仮定することができます。S' がSに対して速度vで等速運動しているとします。点状の物体の位置がS'では関数r' ( t )で、 Sではr ( t )で与えられるとします。

${\displaystyle r'(t)=r(t)-vt.\,}$

粒子の速度は位置の時間微分によって与えられます。

${\displaystyle u'(t)={\frac {d}{dt}}r'(t)={\frac {d}{dt}}r(t)-v=u(t)-v.}$

もう1つの微分により、2つのフレームにおける加速度が得られます。

${\displaystyle a'(t)={\frac {d}{dt}}u'(t)={\frac {d}{dt}}u(t)-0=a(t).}$

この単純だが重要な結果こそがガリレイの相対性理論を示唆するものである。質量がすべての慣性系で不変であると仮定すると、上記の式はニュートンの力学法則が1つの系で有効であれば、すべての系で成立するはずであることを示す。^[1]しかし、それは絶対空間でも成立すると仮定されているため、ガリレイの相対性理論が成立する。

ニュートンの相対性理論と特殊相対性理論を比較することができます。

ニュートンの理論の仮定と特性の一部は次のとおりです。

1. 慣性系が無限に存在する。各系は無限の大きさである（宇宙全体が多数の線形等価系で覆われる可能性がある）。任意の 2 つの系は、相対的に均一な運動をしている可能性がある。（上記で導出された力学の相対論的性質は、絶対空間の仮定は必要ないことを示している。）
2. 慣性系は、等速運動のあらゆる可能な相対形式で動く可能性があります。
3. 経過時間には普遍的、あるいは絶対的な概念があります。
4. 2 つの慣性系はガリレイ変換によって関連付けられます。
5. すべての慣性系では、ニュートンの法則と重力が当てはまります。

比較すると、特殊相対性理論からの対応する記述は次のようになります。

1. また、それぞれが固有の時空座標を参照し (物理的に決定され) ている、無限の数の非慣性フレームも存在します。各フレームは無限の大きさになる場合がありますが、その定義は常にコンテキストの物理的条件によってローカルに決定されます。任意の 2 つのフレームは、相対的に非均一な運動をする場合があります (この相対運動の条件が、両方のフレーム間の相対論的な動的効果 (後に一般相対性理論における機械的効果) を意味すると想定される限り)。
2. 参照フレーム間の相対的な均一な運動のすべての条件を自由に許可するのではなく、2 つの慣性フレーム間の相対速度は光速によって制限されるようになります。
3. 普遍的な経過時間の代わりに、各慣性系は独自の経過時間の概念を持ちます。
4. ガリレイ変換はローレンツ変換に置き換えられます。
5. すべての慣性系において、すべての物理法則は同じです。

どちらの理論も慣性系の存在を前提としています。実際には、重力潮汐力に応じて、慣性系が有効な範囲の大きさは大きく異なります。

適切な文脈では、ニュートンの理論が依然として優れたモデルである局所的なニュートン慣性系は、およそ 10 ⁷光年まで広がります。

特殊相対性理論では、アインシュタインのキャビン、つまり重力場の中を自由落下するキャビンについて考えます。アインシュタインの思考実験によると、そのようなキャビン内の人間は（かなり近似的に）重力を感じないため、キャビンは近似的な慣性系となります。ただし、キャビンのサイズは十分に小さく、重力場はキャビン内部でほぼ平行であると仮定する必要があります。これにより、ニュートン系と比較して、そのような近似系のサイズを大幅に縮小できます。たとえば、地球を周回する人工衛星はキャビンと見なすことができます。ただし、地球の重力場の「力線」が収束するため、適度に感度の高い機器はそのような状況で「微小重力」を検出できます。

一般的に、宇宙における重力場の収束は、そのような（局所的な）慣性系を考慮できるスケールを決定します。たとえば、ブラックホールや中性子星に落下する宇宙船は、（ある距離で）幅方向に押しつぶされ、長さ方向に引き裂かれるほどの強い潮汐力にさらされます。^[2]しかし、比較すると、そのような力は、内部にいる宇宙飛行士にとって不快なだけかもしれません（関節が圧迫され、星の重力場に垂直な方向に手足を伸ばすことが困難になります）。スケールをさらに縮小すると、その距離での力はマウスにほとんど影響を与えない可能性があります。これは、スケールを正しく選択すれば、すべての自由落下フレームが局所的に慣性（加速および無重力）であるという考えを示しています。^[2]

特定の状況では、電磁場で使用される一貫したガリレイ変換が 2 つあります。

とが速度である場合、変換は矛盾します。矛盾のない変換は、1 つのステップまたは複数のステップで新しい速度に変換するときに同じ結果を生成します。磁場と電場の両方を変換する矛盾のないガリレイ変換を行うことはできません。 ^{[3] : 256} 磁場または電場のいずれかが優勢な場合はいつでも適用できる、便利な矛盾のないガリレイ変換があります。 ${\displaystyle T\{*,v\}}$${\displaystyle T\{*,v_{1}+v_{2}\}\neq T\{*,v_{1}\}+T\{*,v_{2}\}}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$

磁場システムとは、初期の参照フレームにおける電場は重要ではないが、磁場が強いシステムです。磁場が支配的で相対速度が低い場合、次の変換が役立つ場合があります。 ${\displaystyle v^{\mathbf {r} }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {H^{'}} &=\mathbf {H} \\\mathbf {J_{f}^{'}} &=\mathbf {J_{f}} \\\mathbf {B^{'}} &=\mathbf {B} \\\mathbf {M^{'}} &=\mathbf {M} \\\mathbf {E^{'}} &=\mathbf {E} +v^{\mathbf {r} }\times \mathbf {B} \\\end{aligned}}}$$ ここで、は自由電流密度、は磁化密度である。参照フレームを変更すると、この変換によって電場が変換されるが、磁場と関連量は変化しない。^{[3] ：261} この状況の一例として、通常の発電機やモーターで発生するような磁場内を電線が移動することが挙げられます。移動する参照フレーム内で変換された電場は、電線に電流を誘導する可能性があります。 ${\displaystyle \mathbf {J_{f}} }$${\displaystyle \mathbf {M} }$

電場系とは、初期の参照フレームにおける磁場は重要ではないが、電場は強い系である。電場が支配的で相対速度が低い場合、次の変換が役に立つ可能性がある。 ${\displaystyle v^{r}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E^{'}} &=\mathbf {E} \\\mathbf {D^{'}} &=\mathbf {D} \\\mathbf {\rho _{f}^{'}} &=\mathbf {\rho _{f}} \\\mathbf {P^{'}} &=\mathbf {P} \\\mathbf {H^{'}} &=\mathbf {H} -v^{\mathbf {r} }\times \mathbf {D} \\\mathbf {J_{f}^{'}} &=\mathbf {J_{f}} -\rho _{\mathbf {f} }v^{\mathbf {r} }\\\end{aligned}}}$$

ここで、は自由電荷密度、は分極密度である。磁場と自由電流密度は、基準フレームを変更するとこの変換によって変換されるが、電場と関連する量は変化しない^{[3] ：265}${\displaystyle \rho _{\mathbf {f} }}$${\displaystyle \mathbf {P} }$

物体に力を加えるときに移動する距離は慣性座標系に依存するため、行われる仕事も依存します。ニュートンの相互作用の法則により、反作用力が発生します。反作用力は慣性座標系に応じて反対方向に作用します。行われる仕事の合計は慣性座標系に依存しません。

同様に、物体の運動エネルギー、さらには速度の変化によるこのエネルギーの変化も、慣性座標系に依存します。孤立系の全運動エネルギーも慣性座標系に依存します。これは、運動量中心座標系の全運動エネルギーと、質量中心に集中した場合に全質量が持つ運動エネルギーの合計です。運動量保存則により、後者は時間とともに変化しないため、全運動エネルギーの時間的変化は慣性座標系に依存しません。

対照的に、物体の運動量も慣性系に依存しますが、速度の変化による運動量の変化は慣性系に依存しません。

• 絶対的な空間と時間
• 光より速い
• ガリレイ共変テンソル定式化（ガリレオとは無関係）
• 超光速運動