ゾノヘドロン

幾何学において、ゾノヘドロン（zonohedron）は中心対称な凸多面体であり、そのすべての面は中心対称な多角形（ゾノゴン）である。任意のゾノヘドロンは、3次元空間における線分の集合のミンコフスキー和、または超立方体の3次元投影として同等に記述することができる。ゾノヘドラは、ロシアの結晶学者ESフェドロフによって最初に定義され、研究された。より一般的には、どの次元でも、線分のミンコフスキー和はゾノトープと呼ばれる多面体を形成する。

ゾノヘドラを研究する元々の動機は、任意の格子のボロノイ図が凸状の均一なハニカムを形成し、そのセルがゾノヘドラであることです。このようにして形成されたゾノヘドロンはどれも3 次元空間をモザイク状に並べることができ、一次平行面体と呼ばれます。各一次平行面体は、菱面体(立方体を含む)、六角柱、切頂八面体、菱形十二面体、および菱形六角形十二面体の5 つのタイプのいずれかと組み合わせ的に同等です。

を 3 次元ベクトルの集合とします。各ベクトルに線分 を関連付けることができます。ミンコフスキー和はゾノヘドロン (zonohedra) を形成し、原点を含むすべてのゾノヘドロンはこの形式を持ちます。ゾノヘドロンを形成するベクトルは、その生成元 (generator)と呼ばれます。この特徴付けにより、ゾノヘドロンの定義を高次元に一般化して、ゾノトープ (zonotope) を作成できます。 ${\displaystyle \{v_{0},v_{1},\dots \}}$${\displaystyle v_{i}}$ ${\textstyle \{x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ ${\textstyle \{\textstyle \sum _{i}x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$

ゾノヘドロン内の各辺は、少なくとも 1 つの生成元と平行であり、その長さは、その辺が平行する生成元の長さの合計に等しくなります。したがって、ベクトルの平行ペアを持たない生成元のセットを選択し、すべてのベクトルの長さを等しく設定することで、任意の組み合わせ型のゾノヘドロンを 正三角形にすることができます。

対称性が高いベクトルの集合を選択することで、少なくとも同じ程度の対称性を持つゾノヘドラを形成できる。例えば、球の赤道の周りに等間隔に配置された生成元と、球の極を通る別の生成元のペアを組み合わせると、正多角形上の柱状のゾノヘドラ（立方体、六角柱、八角柱、十角柱、十二角柱など）が形成される。八面体の辺に平行な生成元は切頂八面体を形成し、立方体の長い対角線に平行な生成元は菱形十二面体を形成する。^[1]${\displaystyle 2k}$

任意の 2 つのゾノヘドラのミンコフスキー和は、2 つのゾノヘドラの生成元の和集合によって生成される別のゾノヘドロンである。したがって、立方体と切頂八面体のミンコフスキー和は切頂立方八面体を形成し、立方体と菱形十二面体のミンコフスキー和は切頂菱形十二面体を形成する。これらのゾノヘドラは両方とも単純(各頂点で 3 つの面が交わる) であり、立方体、切頂八面体、菱形十二面体のミンコフスキー和から形成される切頂小菱形立方八面体も同様である。^[1]

任意の凸多面体のガウス写像は、多角形の各面を単位球面上の点に写像し、一対の面を分ける多角形の各辺を、対応する 2 点を結ぶ大円弧に写像します。ゾノヘドロンの場合、各面を囲む辺は、平行辺のペアにグループ化することができ、ガウス写像を介して変換すると、そのようなペアは同じ大円上の連続するセグメントのペアになります。したがって、ゾノヘドロンの各辺は、ガウス写像上の共通の大円のセグメントに対応する平行辺のゾーンにグループ化することができ、ゾノヘドロン 1スケルトンは、球面上の大円の配置に対する平面双対グラフとして見ることができます。逆に、円を通る平面に垂直なベクトルによって生成されるゾノヘドロンのガウス写像から、任意の大円の配置を形成できます。

このように、単純なゾノヘドロンはすべて、各面が三角形である単体配置に対応します。大円の単体配置は、中心射影を介して、射影平面の直線の単体配置に対応します。単体配置には3つの無限族が知られており、そのうちの1つはゾノヘドロンに変換されたときに柱につながり、他の2つは単純なゾノヘドロンの追加的な無限族に対応します。また、これら3つの族に当てはまらない散発的な例も多数あります。^[2]

ゾノヘドロンと配置の対応関係、および（射影双対形式で）任意の配置において2本の線のみが交差することを証明するシルベスター・ガライ定理から、すべてのゾノヘドロンには少なくとも1組の反対側の平行四辺形面があることがわかります。（正方形、長方形、菱形は、この目的では平行四辺形の特殊なケースとして数えられます。）さらに強いことは、すべてのゾノヘドロンには少なくとも6つの平行四辺形面があり、すべてのゾノヘドロンには、その生成元の数に比例する数の平行四辺形面があることです。^[3]

偶数辺を持つ正多角形上の任意の柱は、ゾノヘドロン (単面体) を形成します。これらの柱は、すべての面が正多角形になるように形成できます。つまり、向かい合う 2 つの面は、柱が形成された正多角形と等しく、これらは一連の正方形の面で接続されます。このタイプのゾノヘドロンには、立方体、六角柱、八角柱、十角柱、十二角柱などがあります。

この無限の正面体族に加えて、正多面体の 全切断である3 つのアルキメデス立体があります。

• 6 つの正方形の面と 8 つの六角形の面を持つ切頂八面体。(切頂四面体)
• 切頂立方八面体。正方形が 12 個、六角形が 8 個、八角形が 6 個あります。(切頂立方体)
• 切頂十二面体。正方形が 30 個、六角形が 20 個、十角形が 12 個あります。(切頂十二面体)

さらに、特定のカタラン立体（アルキメデス立体の双対）もまたゾノヘドラです。

• ケプラーの菱形十二面体は、立方八面体の双対です。
• 菱形三十面体は二十二十十面体の双対です。

合同な菱形面を持つその他のもの:

• ビリンスキーの菱形十二面体。
• 菱形二十面体
• 菱面体

すべてが互いに合同ではない菱形面を持つゾノヘドラは無数に存在します。これには次のものが含まれます。

• 菱形二十面体

ゾーンを持つすべてのゾノヘドロンは平行六面体に分割することができ、各平行六面体は同じゾーンを3つ持ち、ゾーンの3つごとに1つの平行六面体を持つ。^[4]${\displaystyle n}$${\displaystyle {\tbinom {n}{3}}}$

あらゆるゾノヘドロンのデーン不変量はゼロです。これは、同じ体積を持つ2つのゾノヘドラが互いに分離できることを意味します。つまり、2つのゾノヘドラのうちの1つを多面体の断片に切断し、それをもう1つに再構成することが可能です。 ^[5]

ゾノヘドリン化は、ジョージ・W・ハートによって定義された、別の多面体からゾノヘドロンを作成するプロセスです。 ^{[6] [7]}

まず、シード多面体の頂点は、多面体の中心からのベクトルとみなされます。これらのベクトルは、元の多面体のゾノヘドリン化と呼ばれるゾノヘドリンを作成します。シード多面体に中心対称性がある場合、反対の点は同じ方向を定義するため、ゾノヘドロン内のゾーンの数はシードの頂点の数の半分になります。元の多面体の任意の 2 つの頂点には、ゾノヘドリン化の 2 つの反対の平面があり、それぞれに頂点ベクトルに平行な 2 つの辺があります。

任意の次元の線分のミンコフスキー和は、ゾノトープと呼ばれる多面体の一種を形成します。同様に、ベクトルによって生成されるゾノトープはによって与えられます。 の特殊なケースでは、ゾノトープは（おそらく退化した）平行四面体であることに注意してください。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle v_{1},...,v_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle Z=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}|\;\forall (j)a_{j}\in [0,1]\}}$${\displaystyle k\leq n}$${\displaystyle Z}$

あらゆるゾノトープの面は、それ自体が 1 次元低いゾノトープです。たとえば、ゾノヘドラの面はゾノゴンです。4 次元ゾノトープの例には、テッセラクト(互いに垂直なd本の等長線分のミンコフスキー和)、全切断 5 セル、切断 24 セルなどがあります。すべてのパームトヘドロンはゾノトープです。

ベクトルの集合から定義されるゾノトープを固定し、を の列を持つ行列とします。すると、の列上のベクトルマトロイドはに関する豊富な情報をエンコードします。つまり、 の多くの特性は本質的に純粋に組み合わせ的です。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle V=\{v_{1},\dots ,v_{n}\}\subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d\times n}$${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle {\underline {\mathcal {M}}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$

たとえば、 の反対の面のペアは、のコサーキットによって自然にインデックス付けされ、で表される有向マトロイドを考えると、 の面と の符号付きコサーキットの間の一対一の関係が得られ、これはの面格子との成分ごとの拡張によって順序付けられた のコベクトルの間の半集合反同型に拡張されます。特に、と が射影変換によって異なる 2 つの行列である場合、それらのそれぞれのゾノトープは組み合わせ的に同値です。前のステートメントの逆は成り立ちません。セグメントはゾノトープであり、 と の両方によって生成され、それらの対応する行列および は、射影変換によって異なりません。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {M}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle 0\prec +,-}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle [0,2]\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle \{2\mathbf {e} _{1}\}}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{1}\}}$${\displaystyle [2]}$${\displaystyle [1~1]}$

ゾノトープのタイリング特性は、それに関連付けられた有向マトロイドとも密接に関連しています。まず、空間タイリング特性について考えます。すべての平行移動( ) の和が であり、任意の 2 つの平行移動がそれぞれの面 (空の場合もある) で交差するようなベクトルの集合がある場合、ゾノトープはタイリングされていると言われます。このようなゾノトープは空間タイリング ゾノトープと呼ばれます。空間タイリング ゾノトープの次の分類は McMullen によるものです: ^[8]ベクトルによって生成されたゾノトープは、対応する有向マトロイドが正則である場合に限り、空間をタイリングします。そのため、空間タイリング ゾノトープであるという一見幾何学的な条件は、実際には生成ベクトルの組み合わせ構造のみに依存します。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle Z+\lambda }$${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle V}$

ゾノトープに関連付けられた別のタイリング族は、のゾノトパルタイリングである。ゾノトープのコレクションは、それがサポート を持つ多面体複合体である場合、つまり、コレクション内のすべてのゾノトープの和が であり、任意の 2 つがそれぞれの共通面 (おそらく空) で交差する場合、 のゾノトパルタイリングである。このページのゾノヘドラの画像の多くは、単に平面オブジェクト (3 次元オブジェクトの平面表現とは対照的) と見なすことにより、2 次元ゾノトープのゾノトパルタイリングとして見ることができる。ボーネ・ドレス定理は、ゾノトープのゾノトパルタイリングと に関連付けられた方向付けられたマトロイドの単一要素リフトの間には一対一性があることを述べている。[ 9 ] [ ^{10 ]}${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle Z}$

ゾノヘドラ、およびn次元ゾノトープ全般は、その体積について単純な解析式が成り立つことで注目される。^[11]

をベクトルの集合によって生成されるゾノトープとします。すると、 のn次元体積は次のように与えられます。 ${\displaystyle Z(S)}$${\displaystyle Z=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}|\;\forall (j)a_{j}\in [0,1]\}}$${\displaystyle S=\{v_{1},\dots ,v_{k}\in \mathbb {R} ^{n}\}}$${\displaystyle Z(S)}$

${\displaystyle \sum _{T\subset S\;:\;|T|=n}|\det(Z(T))|}$

この式の行列式は、（前述のように）集合の濃度が周囲空間の次元に等しい場合、ゾノトープが平行六面体となるため、意味を成します。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle n}$

のとき、この式は単にゾノトープが n 体積ゼロを持つことを示しているだけである ことに注意してください。${\displaystyle k<n}$

• Coxeter, HS M (1962). 「射影図によるゾノヘドラの分類」J. Math. Pures Appl . 41 : 137–156.Coxeter, HS M (1999) に再録。The Beauty of Geometry。ミネオラ、NY: ドーバー。pp. 54–74。ISBN 0-486-40919-8。
• フェドロフ、ES (1893)。 「エレメンテ・デア・ゲシュタルテンレーレ」。結晶学と鉱物学の時代。21 : 671–694。
• Rolf Schneider、第 3.5 章「ゾノイドとその他の凸体のクラス」、Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory、 Cambridge University Press、Cambridge、1993 年。
• Shephard, GC (1974). 「空間充填ゾノトープ」. Mathematika . 21 (2): 261–269. doi :10.1112/S0025579300008652.
• テイラー、ジーン E. (1992) 。「ゾノヘドラと一般化ゾノヘドラ」。アメリカ数学月刊誌。99 ( 2): 108–111。doi : 10.2307/2324178。JSTOR  2324178。
• Beck, M.; Robins, S. (2007).連続離散計算. Springer Science+ Business Media, LLC.

• ワイスタイン、エリック W.「ゾノヘドロン」。MathWorld。
• エップスタイン、デイビッド。「幾何学の廃品置き場：ゾノヘドラとゾノトープ」。
• ハート、ジョージ W.「仮想多面体: ゾノヘドラ」。
• Weisstein、Eric W.「Primary Parallelohedron」。MathWorld。
• Bulatov、Vladimir。「ゾノヘドラル多面体完成」。
• Centore, Paul. 「色の幾何学の第 2 章」(PDF)。