プレシオヘドロン

幾何学において、プレシオヘドロン (plesiohedron) は、対称的なデローン集合のボロノイセルとして定義される、特殊な種類の空間充填多面体です。3 次元ユークリッド空間は、これらの形状のいずれかのコピーで、重なり合うことなく完全に埋めることができます。結果として得られるハニカムは、プレシオヘドロンのコピーを他のコピーにつなげる対称性を持ちます。

プレシオヘドロンには、立方体、六角柱、菱形十二面体、切頂八面体などのよく知られた形状が含まれます。プレシオヘドロンが持つことのできる面の最大数は 38 です。

ユークリッド空間の点の集合がデローネ集合であるとは、 のすべての 2 点が互いに少なくとも 距離離れており、 のすべての空間点が内の少なくとも 1 つの点からの距離内にあるような数が存在する場合です。したがって は空間を満たしますが、その点が互いに近づきすぎることはありません。これが真であるためには、 は無限大でなければなりません。さらに、 のすべての 2 点とに対して、からへ、から へ移動する空間の剛体運動が存在する場合、集合は対称的です (プレシオヘドロンを定義するために必要な意味で)。つまり、 の対称性はに対して推移的に作用します。^[1]${\displaystyle S}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle 1/\varepsilon }$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

任意の点集合のボロノイ図は、空間をボロノイセルと呼ばれる領域に分割します。ボロノイセルは、 の特定の点に最も近い領域です。 がデローン集合である場合、の各点のボロノイセルは凸多面体です。この多面体の面は、 から の他の近くの点への線分を垂直に二等分する平面上にあります。^[2]${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle S}$

が対称かつデローネである場合、ボロノイセルはすべて互いに合同でなければなりません。なぜなら、 の対称性はボロノイ図の対称性でもあるからです。この場合、ボロノイ図はハニカムを形成し、その中にはこれらのボロノイセルの形状である単一の原形形状のみがあります。この形状はプレシオヘドロンと呼ばれます。このようにして生成されたタイリングは等面体です。つまり、単一の原形（「単面体」）を持つだけでなく、タイリングの対称性によって、このタイルの任意のコピーを他の任意のコピーに使用できます。^[1]${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

他の空間充填多面体と同様に、プレシオヘドロンのデーン不変量は必然的にゼロになる。 ^[3]

プレシオヘドラには 5 つの平行面体が含まれる。これらは、回転せずに、すべてのタイルが他のすべてのタイルと並進対称性によって対称になるように空間をタイル張りできる多面体である。同様に、これらは格子のボロノイセルであり、並進対称のデローネ集合である。プレシオヘドラは立体面体の特殊なケースであり、より一般的には等面体タイリングの原型である。^[1]このため (およびボロノイ図がディリクレ分割としても知られているため)、これらは「ディリクレ立体面体」とも呼ばれている^[4]。

プレシオヘドロンには、組み合わせの種類が有限個しかありません。注目すべき個々のプレシオヘドロンには、以下のものがあります。

• 5つの平行六面体：立方体（より一般的には平行六面体）、六角柱、菱形十二面体、細長い十二面体、切頂八面体。^[5]
• 三角柱は、三角柱ハニカムの原型です。^[6]より一般的には、合同な凸多角形による平面のラベスの11種類のタイリング（および異なる対称グループを持つこれらのタイリングのサブタイプ）のそれぞれは、平面内の対称デローネ集合のボロノイセルとして実現できます。 ^[7]したがって、これらの各形状上のプリズムはプレシオヘドラです。三角柱と同様に、これらには特定の四辺形、五角形、および六角形上のプリズムが含まれます。
• ジャイロビファスティギウムは立体面体ではあるが、プレシオヘドロンではない。これは、面と面を合わせたタイリングのセルの中心にある点 (対称性によって配置を余儀なくされる場所) のボロノイセルの形状が異なるためである。ただし、面が直角二等辺三角形と銀色の長方形で構成されたジャイロビファスティギウムの平らなバージョンはプレシオヘドロンである。
• 三角切頂四面体、三角切頂四面体ハニカムの原型、ダイヤモンド格子によって生成されたプレシオヘドロン^[1]
• 台形菱形十二​​面体、台形菱形十二​​面体ハニカムの原型、六方最密充填によって生成されるプレシオヘドロン
• ラベスグラフの17面ボロノイセル^[8]

他にも多くのプレシオヘドロンが知られています。最も多くの面数を持つ2つの異なるプレシオヘドロンが、結晶学者ピーター・エンゲルによって発見されました。^{[1] [9]} 長年、プレシオヘドロンの最大面数は未解決の問題でしたが、^{[10] [4]} 3次元空間の可能な対称性の分析により、この数は最大で38であることが示されました。^[11]

らせん上に均一に間隔をあけた点のボロノイセルは空間を埋め、すべて互いに合同であり、任意の数の面を持つことができます。^[12]しかし、らせん上の点はデローン集合ではなく、ボロノイセルは有界多面体ではありません。

シュミットによる現代的な調査が行われている。^[11]

• ワイスシュタイン、エリック W.、「空間充填多面体」、MathWorld