内角と外角

幾何学では、多角形の角度は 2 つの隣接する辺によって形成されます。単純な多角形(非自己交差) の場合、凸か非凸かに関係なく、角度内の点が多角形の内部にある場合、この角度は内角(または内角)と呼ばれます。多角形には、頂点ごとに正確に 1 つの内角があります。

単純な多角形のすべての内角が直角( π ラジアンまたは 180°)より小さい場合、その多角形は凸多角形と呼ばれます。

対照的に、外角（回転角または外角とも呼ばれる）は、単純な多角形の1辺と隣接する辺から延長された線によって形成される角度です。^{[1] ：pp. 261–264}

• 同じ頂点の内角と外角の合計はπラジアン（180°）です。
• 単純な多角形のすべての内角の合計は、π( n −2) ラジアンまたは 180( n –2) 度です。ここで、nは辺の数です。この公式は数学的帰納法を使用して証明できます。つまり、角度の合計が 180° の三角形から始めて、1 辺を別の頂点で接続された 2 辺に置き換えます。
• 任意の単純な多角形において、各頂点に 2 つの外角のうち 1 つだけがあると仮定した場合、外角の合計は 2π ラジアン (360°) になります。
• 頂点の外角の大きさは、どの辺を延長するかによって影響を受けません。つまり、片側またはもう一方の辺を交互に延長することによって頂点に形成できる 2 つの外角は垂直角であるため、等しくなります。

内角の概念は、有向角の概念を使用することで、星型多角形などの交差多角形に一貫した方法で拡張できます。一般に、交差（自己交差）多角形を含むすべての閉じた多角形の内角の合計（度）は、180（ n - 2k）°で表されます。ここで、nは頂点の数、正の整数kは、多角形の周囲を1周することによって行われる合計（360°）の回転数です。言い換えると、すべての外角の合計は2πkラジアンまたは360k度です。例：通常の凸多角形と凹多角形の場合、外角の合計は360°であり、周囲を1周するだけで完全な回転を1回行うため、 k = 1です。

• 三角形の内角
• 多角形の内角の合計: 一般的な公式 - 単純な閉じた多角形の内角の合計の公式を、交差した (複雑な) 多角形を含むように拡張する対話型 Java アクティビティを提供します。