面（幾何学）

立体幾何学において、面とは、立体の境界の一部を形成する平らな表面（平面領域）のことである。例えば、立方体にはこの意味で6つの面がある。

多面体や高次元多面体の幾何学に関するより現代的な扱いでは、「面」は任意の次元を持つことができるように定義されます。多面体の頂点、辺、および（2次元の）面はすべて、このより一般的な意味での面です。^{[ 1 ]}

初等幾何学では、多面体は、頂点（点）、辺（線分）、面（多角形）のシステムによって定義される形状としてさまざまな方法で定義されます。これらの定義の多く（すべてではありませんが）では、立体を囲む表面を形成する必要があります。面は、これらの定義の2次元多角形です。^{[ a ] [ 1 ] [ 2 ]}多角形の面の他の名前には、多面体の側面やユークリッド平面タイルなどがあります。

例えば、立方体を囲む6つの正方形のいずれも、立方体の面です。また、「面」という言葉は、4次元多面体の2次元的な特徴を指す場合にも使われます。この意味では、4次元テセラクトは24個の正方形の面を持ち、それぞれの面は8つの立方体セルのうち2つを共有しています。

高次元幾何学では、多面体の面はすべての次元の特徴です。^{[ 3 ] [ 4 ]} k次元の面は、k面と呼ばれることもあります。例えば、通常の多面体の多角形の面は2面です。「面」という言葉は、数学の分野によって定義が異なります。例えば、多くの著者は、多面体自体と空集合を多面体の面として認めていますが、すべてではありません。ここで、空集合は一貫性を保つために「次元」が-1とされています。任意のn次元多面体の場合、面は次元を持ちます。${\displaystyle k}$と${\displaystyle -1\leq k\leq n}$。

例えば、この意味では、立方体の面は、立方体自体（3面）、その（正方形の）面（2面）、その（線分の）辺（1面）、その（点の）頂点（0面）、および空集合から構成される。

多面体組み合わせ論などの数学の分野では、多面体は定義上凸である。この設定では、ユークリッド空間における多面体Pの面は、次のように厳密に定義される。$\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$は、境界がPの相対的な内部と交わらない任意の閉じた半空間とPの交差です。^{[ 5 ]}この定義によれば、多面体の面の集合には、多面体自体と空集合が含まれます。^{[ 3 ] [ 4 ]}凸多面体の場合、この定義は、以下に示す凸集合の面の一般的な定義と同等です。

抽象多面体や星型多面体の理論など、数学の他の分野では、凸性の要件は緩和されている。以前のタイプの多面体を一般化した正確な組み合わせ概念の一つに、単体複体の概念がある。より一般的には、多面体複体の概念がある。

n + 1 個の頂点によって定義される n次元単体（線分 (n = 1)、三角形 (n = 2)、正四面体 (n = 3) など）は、空の集合からすべての頂点の集合まで、頂点の各部分集合に対して面を持ちます。具体的には、合計で2 ^{n + 1 個の面があります。k ∈} { −1, 0, ..., n }に対するk面の数は、二項係数です。${\displaystyle {\binom {n+1}{k+1}}}$。

k面には、 kの値に応じて、また場合によってはkが多面体の次元nにどれだけ近いかに応じて、特定の名称が付けられます。

面の概念は、凸多面体からすべての凸集合に以下のように一般化できる。${\displaystyle C}$実ベクトル空間における凸集合である${\displaystyle V}$顔​​${\displaystyle C}$凸部分集合である${\displaystyle F\subseteq C}$点が${\displaystyle p\in F}$2点間に厳密に位置する${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$で${\displaystyle C}$、 両方${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$必ず${\displaystyle F}$同等に、任意の${\displaystyle x,y\in C}$任意の実数${\displaystyle 0<\theta <1}$そのため${\displaystyle \theta x+(1-\theta )y}$は${\displaystyle F}$、${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$必ず${\displaystyle F}$[ ^{8 ]​}

この定義によれば、${\displaystyle C}$それ自体と空集合は、${\displaystyle C}$これらは時として些細な面と呼ばれる${\displaystyle C}$。

極端な点${\displaystyle C}$ポイント${\displaystyle p\in C}$そのため${\displaystyle \{p\}}$の顔です${\displaystyle C}$[ ^{8 ]}つまり^、${\displaystyle p}$2点の間にある${\displaystyle x,y\in C}$、 それから${\displaystyle x=y=p}$。

例えば：

• 平面上の三角形（内部領域を含む）は凸集合である。その非自明な面は、 3つの頂点と3つの辺である。（したがって、唯一の極点は3つの頂点である。）
• 閉じた単位円盤の非自明な面は${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}\leq 1\}}$は、単位円上の極点、すなわち単位円上の点である。${\displaystyle S^{1}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}}$。

させて${\displaystyle C}$凸集合である$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$それはコンパクトである（あるいは同等に、閉じていて有界である）。すると${\displaystyle C}$は、その極点の凸包である。 ^{[ 9 ]}より一般的には、局所凸位相ベクトル空間内の各コンパクト凸集合は、その極点の閉じた凸包である（クライン・ミルマンの定理）。

露出した顔${\displaystyle C}$は点のサブセットです${\displaystyle C}$線形汎関数が最小値を達成する場所${\displaystyle C}$したがって、${\displaystyle f}$は線形汎関数である${\displaystyle V}$そして${\displaystyle \alpha =\inf\{f(c)\ \colon c\in C\}>-\infty }$、 それから${\displaystyle \{c\in C\ \colon f(c)=\alpha \}}$露出した面は${\displaystyle C}$。

露出したポイント${\displaystyle C}$ポイント ${\displaystyle p\in C}$そのため${\displaystyle \{p\}}$露出した面は${\displaystyle C}$つまり、${\displaystyle f(p)>f(c)}$すべての人々のために${\displaystyle c\in C\setminus \{p\}}$露出していない極値の例については、図を参照してください。

• 面格子
• 多面体組み合わせ論
• 離散幾何学

• グリュンバウム、ブランコ（2003）、『凸多面体』、大学院数学テキスト、第 221巻（第2 版）、シュプリンガー、ISBN 0-387-00424-6MR 1976856​ 
• Matoušek、Jiří (2002)、離散幾何学の講義、数学の大学院テキスト、vol.  212、シュプリンガー、ISBN 9780387953748MR 1899299​ 
• Rockafellar, RT (1997) [1970].凸解析. プリンストン、ニュージャージー州: プリンストン大学出版局. ISBN 1-4008-7317-7. MR 0274683 . 
• ジーグラー、ギュンター M. (1995)、多面体に関する講義、大学院数学テキスト、第 152 巻、シュプリンガー、ISBN 9780387943657MR 1311028​ 

• ワイススタイン、エリック・W. 「顔」 . MathWorld .
• ワイスタイン、エリック・W. 「ファセット」。マスワールド。
• ワイススタイン、エリック W. 「サイド」 . MathWorld .