スナブキューブ

スナブキューブ
スナブキューブ
	スナブキューブの2つの異なる形状
タイプ	アルキメデス立体
顔	38
エッジ	60
頂点	24
対称グループ	回転八面体対称性
二面角（度）	三角形から三角形: 153.23°; 三角形から正方形: 142.98°
二重多面体	五角形二十四面体
プロパティ	凸、キラル
頂点図形
ネット

幾何学において、スナブ立方体、またはスナブ立方八面体は、 6 つの正方形と 32 の正三角形の計 38 面を持つアルキメデスの立体である。60 の辺と 24 の頂点がある。ケプラーは1619 年に著書『世界の調和』の中で、この立方体をラテン語でcubus simusと初めて命名した。^[1]HSM コクセターは、この立方体と同様に八面体からも派生できることに注目し、これをスナブ立方八面体と呼び、垂直に伸びたシュレーフリ記号を持ち、シュレーフリ記号を持つ切頂立方八面体の交代形を表した。 $s\scriptstyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ $t\scriptstyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$

工事

スナブキューブは、立方体の6つの面を外側に引っ張って接触しないようにし、それぞれの中心を少し回転させて（すべて時計回りまたはすべて反時計回り）、その間のスペースが正三角形で埋められるまで回転させることによって生成できます。^[2]

スナブキューブは、菱形立方八面体から作ることもできます。正方形の面（青）をねじることから始まり、三角形（赤）が自動的に反対方向にねじれるようにし、他の正方形の面（白）を2つの正三角形で埋めることができる歪んだ四辺形にします。^[3]

スナブキューブは、交替プロセスによって切頂立方八面体から派生することもできます。切頂立方八面体の 24 個の頂点は、スナブキューブと位相的に等価な多面体を形成し、他の 24 個は鏡像を形成します。結果として得られる多面体は、頂点推移的ですが、一様ではありません。

切頂立方八面体の均一な交互配置

直交座標

スナブキューブの頂点の直交座標は、偶数のプラス記号を持つのすべての偶順列と、奇数のプラス記号を持つすべての奇順列です。ここで、はトライボナッチ定数です。^[4]奇数のプラス記号を持つ偶順列と、偶数のプラス記号を持つ奇順列をとると、別のスナブキューブ、つまり鏡像が得られます。これらを合わせると、2つのスナブキューブの複合体が得られます。 $\left(\pm 1,\pm {\frac {1}{t}},\pm t\right),$ $t\approx 1.83929$

このスナブキューブの辺の長さはで、これは方程式を満たす数値であり、次のように書くことができます。辺の長さが 1 のスナブキューブを作成するには、上記のすべての座標を上記の値αで割ります。 $\alpha ={\sqrt {2+4t-2t^{2}}}$ $\alpha^{6}-4\alpha^{4}+16\alpha^{2}-32=0,$ ${\begin{aligned}\alpha &={\sqrt {{\frac {4}{3}}-{\frac {16}{3\beta }}+{\frac {2\beta }{3}}}}\approx 1.609\,72\\\beta &={\sqrt[{3}]{26+6{\sqrt {33}}}}.\end{aligned}}$

プロパティ

辺の長さがの立方体の表面積と体積は次のようになる: ^[5] $a$ ${\begin{aligned}A&=\left(6+8{\sqrt {3}}\right)a^{2}&\approx 19.856a^{2}\\V&={\frac {8t+6}{3{\sqrt {2(t^{2}-3)}}}}a^{3}&\approx 7.889a^{3}.\end{aligned}}$

スナブキューブはアルキメデスの立体であり、対称性が高く半正多面体で、2つ以上の異なる正多角形面が頂点で交わる。^[6]これはキラルであり、鏡映しにすると常に2つの異なる形状が存在する。したがって、スナブキューブは回転八面体対称性を持つ。^[7]^[8]すべての頂点で交わる多角形面は4つの正三角形と1つの正方形であり、スナブキューブの頂点図形はである。スナブキューブの双対多面体は五角形二十四面体であり、カタラン立体である。^[9] $\mathrm {O}$ $3^{4}\cdot 4$

グラフ

スナブキューブの骨格は24頂点60辺のグラフ、アルキメデスのグラフとして表すことができます。[ 10 ^]

参考文献

^コンウェイ、ジョン・H.、バーギエル、ハイディ 、グッドマン・ストラス、チャイム（2008年）。『物事の対称性』CRCプレス、p.287。ISBN 978-1-4398-6489-0。
^ Holme, A. (2010) .幾何学：私たちの文化遺産。Springer。doi : 10.1007 / 978-3-642-14441-7。ISBN 978-3-642-14441-7。
^ コンウェイ、バーギエル、グッドマン-ストラス (2008)、p. 287–288。
^コリンズ、ジュリアン（2019）。「Numbers in Minutes 」アシェット。p.36–37。ISBN 978-1-78747-730-8。
^バーマン、 マーティン(1971)。「正面凸多面体」。フランクリン研究所ジャーナル。291 (5): 329–352。doi : 10.1016 /0016-0032(71)90071-8。MR 0290245 。
^ Diudea, MV (2018). マルチシェル多面体クラスター. Springer . p. 39. doi :10.1007/978-3-319-64123-2. ISBN 978-3-319-64123-2。
^ Koca, M.; Koca, NO (2013). 「コクセター群、四元数、多面体と4D多面体の対称性」。数理物理学：第13回地域会議議事録、トルコ、アンタルヤ、2010年10月27～31日。ワールドサイエンティフィック。p. 49。
^ クロムウェル、ピーター R. (1997)。多面体。ケンブリッジ大学出版局。p. 386。ISBN 978-0-521-55432-9。
^ ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。ドーバー出版、p. 85。ISBN 978-0-486-23729-9。
^ リード、RC; ウィルソン、RJ (1998)、「グラフのアトラス」、オックスフォード大学出版局、p. 269

Jayatilake, Udaya (2005 年 3 月)。「面と頂点の正多面体に関する計算」。Mathematical Gazette。89 ( 514): 76–81。doi :10.1017/S0025557200176818。S2CID 125675814 。
ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。Dover Publications、Inc. ISBN 0-486-23729-X。（第3-9節）

外部リンク

Weisstein, Eric W.、「Snub キューブ」（「アルキメデスの立体」）（MathWorld）
- Weisstein、Eric W.「Snub 立方体グラフ」。MathWorld。
Klitzing、Richard。「3D 凸均一多面体 s3s4s - snic」。
均一な多面体
バーチャルリアリティ多面体多面体百科事典
インタラクティブな 3D ビューを備えた Snub Cube の編集可能な印刷可能なネット

[cbg-1] ^コンウェイ、ジョン・H.、バーギエル、ハイディ 、グッドマン・ストラス、チャイム（2008年）。『物事の対称性』CRCプレス、p.287。ISBN 978-1-4398-6489-0。

[holme-2] ^ Holme, A. (2010) .幾何学：私たちの文化遺産。Springer。doi : 10.1007 / 978-3-642-14441-7。ISBN 978-3-642-14441-7。

[FOOTNOTEConwayBurgielGoodman-Struss2008287&ndash;288-3] コンウェイ、バーギエル、グッドマン-ストラス (2008)、p. 287–288。

[collins-4] ^コリンズ、ジュリアン（2019）。「Numbers in Minutes 」アシェット。p.36–37。ISBN 978-1-78747-730-8。

[berman-5] ^バーマン、 マーティン(1971)。「正面凸多面体」。フランクリン研究所ジャーナル。291 (5): 329–352。doi : 10.1016 /0016-0032(71)90071-8。MR 0290245 。

[diudea-6] Diudea, MV (2018). マルチシェル多面体クラスター. Springer . p. 39. doi :10.1007/978-3-319-64123-2. ISBN 978-3-319-64123-2。

[kocakoca-7] Koca, M.; Koca, NO (2013). 「コクセター群、四元数、多面体と4D多面体の対称性」。数理物理学：第13回地域会議議事録、トルコ、アンタルヤ、2010年10月27～31日。ワールドサイエンティフィック。p. 49。

[cromwell-8] クロムウェル、ピーター R. (1997)。多面体。ケンブリッジ大学出版局。p. 386。ISBN 978-0-521-55432-9。

[williams-9] ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。ドーバー出版、p. 85。ISBN 978-0-486-23729-9。

[10] リード、RC; ウィルソン、RJ (1998)、「グラフのアトラス」、オックスフォード大学出版局、p. 269

工事

直交座標

プロパティ

グラフ

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