三直角四面体

幾何学において、三直角四面体とは、1 つの頂点における3 つの面角がすべて直角である四面体です。その頂点は三直角四面体の直角または頂点と呼ばれ、その反対側の面は底辺と呼ばれます。直角で交わる3 つの辺は脚と呼ばれ、直角から底辺への垂線は四面体の高度(三角形の 高度に類似) と呼ばれます。

三直角四面体の例としては、立方体の角の近くにある切頂 立体や、ユークリッド空間の原点にある八分円などが挙げられます。 ケプラーは、立方体、正四面体、三直角四面体の関係を発見しました。^[1]

アフィン コクセター群の分岐グラフのみが三直角四面体基本領域を持ちます。 ${\displaystyle B_{3}}$

脚の長さがa、b、cの場合、三直角四面体の体積は[ ^{2] [3]}

${\displaystyle V={\frac {abc}{6}}.}$

高度hは^[4]を満たす。

${\displaystyle {\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}.}$

底面積は^{[5]で与えられる。}${\displaystyle T_{0}}$

${\displaystyle T_{0}={\frac {abc}{2h}}.}$

直角頂点の立体角は、反対側の面（底面）が八分儀を定める位置にあり、その大きさはπ /2  ステラジアン、つまり単位球の表面積の 8 分の 1 です。

底面積が で、他の3つの（直角の）面の面積が、、の場合、 ${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle T_{3}}$

${\displaystyle T_{0}^{2}=T_{1}^{2}+T_{2}^{2}+T_{3}^{2}.}$

これはピタゴラスの定理を四面体に一般化したものです。

底面積 (a,b,c) は常に (Gua) 無理数です。したがって、整数辺を持つ三直角四面体は完全な体ではありません。これらの三直角四面体と、それらの底で接続された関連する左手系の三直角四面体から構築された三直角双錐 (6 面、9 辺、5 頂点) は、有理辺、有理面、および体積を持ちますが、2 つの三直角頂点間の内部空間対角線は依然として無理数です。後者は、三直角四面体の高さの 2 倍であり、関連するオイラー ブリック(bc、ca、ab) の (証明済みの) ^[6]無理空間対角線の有理数部分です。

底辺三角形の脚と辺が整数である三直角四面体は存在します(1719 年に Halcke によって発見)。次に、脚と辺が整数である例をいくつか示します。 ${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle d={\sqrt {b^{2}+c^{2}}},e={\sqrt {a^{2}+c^{2}}},f={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$${\displaystyle a=240,b=117,c=44,d=125,e=244,f=267}$

    ABCデフ 

   240 117 44 125 244 267
   275 252 240 348 365 373
   480 234 88 250 488 534
   550 504 480 696 730 746
   693 480 140 500 707 843
   720 351 132 375 732 801
   720 132 85 157 725 732
   792 231 160 281 808 825
   825 756 720 1044 1095 1119
   960 468 176 500 976 1068
  1100 1008 960 1392 1460 1492
  1155 1100 1008 1492 1533 1595
  1200 585 220 625 1220 1335
  1375 1260 1200 1740 1825 1865
  1386 960 280 1000 1414 1686
  1440 702 264 750 1464 1602
  1440 264 170 314 1450 1464

これらのいくつかは小さいものの倍数であることに注意してください。A031173 にも注意してください。

整数面と高さh を持つ三直角四面体（互いに素であるもの、または素でないもの）が存在します。 ${\displaystyle T_{c},T_{a},T_{b},T_{0}}$${\displaystyle a=42,b=28,c=14,T_{c}=588,T_{a}=196,T_{b}=294,T_{0}=686,h=12}$${\displaystyle a=156,b=80,c=65,T_{c}=6240,T_{a}=2600,T_{b}=5070,T_{0}=8450,h=48}$${\displaystyle a,b,c}$

• 不規則四面体
• 標準シンプレックス
• オイラーブリック

• Weisstein、Eric W.「三辺四面体」。MathWorld。