等面体図形

幾何学では、次元2 ( 平面タイリング ) 以上のモザイク状、または次元3 (多面体) 以上の多面体は、そのすべての面が同じである場合、等面体または面推移的である。より具体的には、すべての面は単に合同であるだけでなく推移的である必要がある、つまり、同じ対称軌道内にある必要がある。言い換えると、任意の 2 つの面AとBについて、 A をBに写像する平行移動、回転、および/または反射によって、図形全体の対称性が存在する必要がある。このため、凸等面体多面体は公平なサイコロを作る形状である。^[1]

等面体多面体は等面体と呼ばれます。等面体は面の構成によって説明できます。等面体の面の数は偶数です。

等面体多面体の双対は頂点推移的、すなわち等角形です。カタラン立体、両錐体、台形はすべて等面体です。これらはそれぞれ、（等角形の）アルキメデス立体、角柱、反角柱の双対です。プラトン立体は、自己双対か別のプラトン立体との双対であり、頂点、辺、面が推移的です（すなわち、等角形、等曲面、等面体）。

等面体で、頂点が規則的で、辺が推移的（つまり等軸）な形状は、準正則双対と呼ばれます。一部の理論家は、これらの図形は同じ対称性を共有しているため、真に準正則であると見なしていますが、これは一般には受け入れられていません。

等面体かつ等角形の多面体は高貴であると言われています。

^{すべての等高面体[2]}が等面体というわけではない。^[3]例えば、菱形二十面体は等高面体ではあるが等面体ではない。^[4]

多面体（または一般に多面体）は、その対称基本領域内にk 個の面を含む場合、 k等面体です。 ^[5]同様に、k等面体のタイリングにはk 個の独立した対称軌道があります（ m = kの場合、または一部のm < kの場合のみ、 m 個の異なる面形状を含むことができます）。^[6]（「1-等面体」は「等面体」と同じです。）

一面体多面体または一面体タイリング（m = 1）は、1つ以上の対称位置で直接または反射的に一致する面を持ちます。m面体多面体またはタイリングには、 mつの異なる面形状があります（「二面体」、「三面体」...はそれぞれ「2面体」、「3面体」...と同じです）。^[7]

以下は、 k対称位置 によって面が色分けされたk等面多面体とタイリングの例です。

セル推移図形または等積図形は、n次元多面体( n ≥ 4) またはn次元ハニカム( n ≥ 3) のセルが互いに一致し推移する図形です。3 次元では、均一ハニカムの双対である反射ハニカムが等積です。4 次元では、等積多面体は 20 セルまで列挙されています。^[8]

面推移図形または同位体図形は、面（（n −1）面）が合同かつ推移的なn次元多面体またはハニカムです。同位体の双対は等角多面体です。定義により、この同位体特性は一様多面体の双対に共通です。

• 同位体 2 次元図形は等軸、つまりエッジ推移的です。
• 同位体 3 次元図形は等面体、つまり面推移的です。
• 同位体 4 次元図形は等容積、つまりセル推移的です。

• エッジ推移
• 異面体タイリング

• Olshevsky, George. 「同位体」。Hyperspace の用語集。2007 年 2 月 4 日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• Weisstein、Eric W.「等面体タイリング」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「等面体」。MathWorld。
• 等面体 有限個の辺を持つ25種類の等面体
• ダイスラボのダイスデザイン