ディスディアキス十二面体

幾何学において、二面体十二面体（にめんたい十二面体、六面体^[1] 六面体八面体、八面体立方体、八面体六面体、菱形十二面体^[2]とも呼ばれる）は、 48面を持つカタラン立体であり、アルキメデスの切頂八面体の双対である。そのため、面推移的であるが、面の多角形は不規則である。拡大菱形十二面体に似ている。菱形十二面体の各面を平らなピラミッドに置き換えると、二面体十二面体によく似た多面体が作成され、位相的に同等である。

より正式には、二面体十二面体は菱形十二面体のクリートープであり、立方体または正八面体の重心分割です。^[3]菱形十二面体ピラミッドのネットも同じ位相を共有しています。

対称

_{これは、正八} 面体対称性を持ちます。その集合的な辺は、対称性の反射面を表します。これは、正立方体と正八面体、および菱形十二面体の角と中央辺の三角形分割にも見られます。

球状二面体十二面体の辺は、9 つの大円に属します。そのうち 3 つは球状八面体 (下の画像の灰色) を形成します。残りの 6 つは 3 つの正方形細面体(下の画像の赤、緑、青) を形成します。それらはすべて鏡面に対応しており、前者は二面体[2,2] 対称、後者は四面体[3,3] 対称です。

デカルト座標

とします。すると、原点を中心とする2面体十二面体の頂点の直交座標は次のようになります。 $~a={\frac {1}{1+2{\sqrt {2}}}}~{\color {Gray}\approx 0.261},~~b={\frac {1}{2+3{\sqrt {2}}}}~{\color {Gray}\approx 0.160},~~c={\frac {1}{3+3{\sqrt {2}}}}~{\color {Gray}\approx 0.138}$

● (± a , 0, 0) （八面体の頂点）の順列● (± b , ± b , 0) （立方八面体の頂点）の順列● (± c , ± c , ± c ) （立方体の頂点）

寸法

最小の辺の長さがaの場合、その表面積と体積は

{\begin{aligned}A&={\tfrac {6}{7}}{\sqrt {783+436{\sqrt {2}}}}\,a^{2}\\V&={\tfrac {1}{7}}{\sqrt {3\left(2194+1513{\sqrt {2}}\right)}}a^{3}\end{aligned}}

面は不等辺三角形です。角度はそれぞれ、、です。 $\arccos {\biggl (}{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{12}}{\sqrt {2}}{\biggr )}~{\color {Gray}\approx 87.201^{\circ }}$ $\arccos {\biggl (}{\frac {3}{4}}-{\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}{\biggr )}~{\color {Gray}\approx 55.024^{\circ }}$ $\arccos {\biggl (}{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr )}~{\color {Gray}\approx 37.773^{\circ }}$

直交投影

切頂立方八面体とその双対である十二面体は、さまざまな対称直交射影方向で描くことができます。多面体とその双対の間では、頂点と面の位置が入れ替わり、辺は垂直になります。

参照

参考文献

^ 「キーワード: 「フォーム」 | ClipArt ETC」.
^ コンウェイ『ものの対称性』p.284
^ ランガー、ジョエル C.; シンガー、デイビッド A. (2010)、「ベルヌーイのレムニスケートに関する考察: 数学の宝石の 48 の面」、ミラノ数学ジャーナル、78 (2): 643–682、doi :10.1007/s00032-010-0124-5、MR 2781856
^ Koca, Mehmet; Ozdes Koca, Nazife; Koc, Ramazon (2010). 「3Dルートシステムとクォータニオンから導出されたカタラン立体」.数理物理学ジャーナル. 51 (4). arXiv : 0908.3272 . doi :10.1063/1.3356985.
^ 対称面体: 正多角形の対称配置による多面体 Craig S. Kaplan

ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。Dover Publications、Inc. ISBN 0-486-23729-X。（第3-9節）
物事の対称性2008、ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン・シュトラウス、ISBN 978-1-56881-220-5 [1] （第21章、アルキメデスとカタロニアの多面体とタイリングの命名、285ページ、kis菱形十二面体）

外部リンク

Weisstein, Eric W.、「Disdyakis 十二面体」（「カタロニア立体」）（MathWorld）
2 面体十二面体 (六面体八面体) インタラクティブ多面体モデル

[1] 「キーワード: 「フォーム」 | ClipArt ETC」.

[2] コンウェイ『ものの対称性』p.284

[3] ランガー、ジョエル C.; シンガー、デイビッド A. (2010)、「ベルヌーイのレムニスケートに関する考察: 数学の宝石の 48 の面」、ミラノ数学ジャーナル、78 (2): 643–682、doi :10.1007/s00032-010-0124-5、MR 2781856

[4] Koca, Mehmet; Ozdes Koca, Nazife; Koc, Ramazon (2010). 「3Dルートシステムとクォータニオンから導出されたカタラン立体」.数理物理学ジャーナル. 51 (4). arXiv : 0908.3272 . doi :10.1063/1.3356985.

[5] 対称面体: 正多角形の対称配置による多面体 Craig S. Kaplan

対称

デカルト座標

寸法

直交投影

関連する多面体とタイリング

参照

参考文献

外部リンク