キュービックハニカム

立方ハニカムまたは立方セル化は、立方セルで構成されるユークリッド 3 次元空間で唯一の適切な正則空間充填モザイク分割(またはハニカム)です。各辺の周りには 4 つの立方体があり、各頂点の周りには 8 つの立方体があります。その頂点図形は正八面体です。これは、シュレーフリ記号{4,3,4}を持つ自己双対モザイク分割です。ジョン・ホートン・コンウェイはこのハニカムをcubilleと呼びました。

幾何学的ハニカムは、多面体または高次元のセルで空間を埋め尽くしたもので、隙間がありません。これは、任意の次元における より一般的な数学的タイリングまたはテッセレーションの例です。

ハニカムは通常、凸型均一ハニカムのように、通常のユークリッド（「平坦」）空間に構築されます。また、双曲型均一ハニカムなどの非ユークリッド空間に構築されることもあります。任意の有限均一多面体をその外接球に投影して、球面空間に均一ハニカムを形成できます。

これは、平面上の 正方形のタイリング、{4,4}から始まり、{4,3,...,3,4} の形式のシュレーフリ記号を持つ、多次元の超立方体ハニカム族の一部です。

これは、凸型の均一な多面体セルを使用した28 個の均一なハニカムのうちの 1 つです。

単純な立方格子は、低級結晶系で表される低級対称性へと歪められることがあります。

さまざまな対称性から派生した均一な色付けは多数あります。これには次のものが含まれます。

立方体ハニカムは、さまざまな対称配置でユークリッド平面に直交投影できます。最も高い (六角形の) 対称形式は、三角形のタイリングに投影されます。正方形の対称投影は、正方形のタイリングを形成します。

これは、4 次元空間に存在し、各辺の周りに3 つの立方体のみを持つ、正4 次元多面体四次元 方陣、シュレーフリ記号{4,3,3} に関連しています。また、各辺の周りに 5 つの立方体を持つ双曲空間の5 次立方ハニカム、シュレーフリ記号 {4,3,5}にも関連しています。

これは、八面体の 頂点図形を持つ多孔体と蜂の巣の連続体です。

それは、正多面体と立方体 セルを持つハニカムの連続です。

立方ハニカムは、2 つのサイズの立方体を持つ、ランシネーテッド立方ハニカムよりも対称性が低い。各大きな立方体の中に小さな立方体を配置することで、二重対称構造を構築でき、立方体、四角柱、および長方形台形柱 ( D _2d対称性を持つ立方体) を持つ不均一なハニカムが得られます。その頂点図形は、側面が四面体で拡張された三角錐です。

デュアルセル

結果として得られるハニカムを交互に配置すると、正四面体、2 種類の正方二蝶形、三角錐、蝶形を持つ別の不均一なハニカムを作成できます。その頂点図形はC _3v対称性を持ち、26 の三角形の面、39 の辺、および 15 の頂点を持ちます。

[4,3,4]、コクセター群は、一様タイル張りの 15 通りの順列を生成します。そのうち 9 通りは、交互立方ハニカムを含む異なる形状を持ちます。拡張立方ハニカム (ランシネーテッド立方ハニカムとも呼ばれます) は、立方ハニカムと形状的に同一です。

[4,3 ^1,1 ]、コクセター群は、一様なタイル張りの 9 つの順列を生成します。そのうち 4 つは、交互立方ハニカムを含む異なる形状を持ちます。

このハニカムは、コクセターグループによって構築された5つの異なる均一なハニカム^[2]のうちの1つです。この対称性は、コクセター-ディンキン図のリングの対称性と掛け合わせることができます。 ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$

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修正立方ハニカムまたは修正立方セルレーションは、ユークリッド 3 次元空間における均一な空間充填モザイク状配置(またはハニカム) です。正八面体と正八面体の比率が 1:1 で、頂点図形が四角 柱状になっています。

ジョン・ホートン・コンウェイはこのハニカムを立方八面体と呼び、その双対を扁平八面体と呼んでいます。

修正立方ハニカムは、さまざまな対称配置でユークリッド平面に直交投影できます。

反射対称性を持つこのハニカムのセルには、均一な色分けが4 つあり、 Coxeter グループ、Wythoff 構成名、および以下のCoxeter 図でリストされています。

このハニカムは、立方八面体の六角形の中心を使用して、三六角形のタイル平面で分割することができ、2つの三角形のキューポラを作成します。この鱗片状のハニカムは、コクセター図によって表されます。、記号s ₃ {2,6,3}、コクセター表記対称性[2 ⁺ ,6,3]。

。

正八面体の上に正八面体を置くことで、二重対称構造を作ることができ、2種類の八面体（正八面体と三角形の逆柱）を持つ不均一なハニカムが得られます。頂点図形は正方形の双錐台です。双対図形は、細長い正方形の双錐体で構成されています。

デュアルセル

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切頂立方ハニカムまたは切頂立方セルレーションは、ユークリッド 3 次元空間における均一な空間充填モザイク状配置(またはハニカム) です。切頂立方体と八面体が 1:1 の比率で配置され、二等辺四角錐の 頂点図形を持ちます。

ジョン・ホートン・コンウェイはこのハニカムを「切頂キュービル」、その二重ピラミッドと呼んでいます。

切頂立方ハニカムは、さまざまな対称配置でユークリッド平面に直交投影できます。

コクセター群の反射対称性による2 番目の均一な色付けがあり、これは交互に色付けされた切頂立方セルで見られる 2 番目です。

切頂立方体の上に八面体を配置することで、二重対称構造を作ることができ、2 種類の八面体(正八面体と三角形の逆柱) と 2 種類の四面体(正四面体と二面体) を持つ不均一なハニカムが得られます。頂点図形は八面体の正方形キューポラです。

頂点図形

デュアルセル

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二切立方ハニカムは、ユークリッド 3 次元空間における空間充填モザイク分割(またはハニカム)であり、切頂八面体(または、二切立方体) で構成されている。四方二蝶形頂点図形の各頂点の周りには4 つの切頂八面体がある。切頂八面体のみで構成されているため、セル推移的である。また、各辺に 2 つの六角形と 1 つの正方形があり、辺推移的であり、頂点推移的でもある。28 個の均一なハニカムのうちの 1 つである。

ジョン・ホートン・コンウェイは、彼の著書『建築と反射光学的モザイク分割リスト』の中で、このハニカムを切頂八面体と呼び、その双対を扁平四面体、あるいは二蝶形四面体ハニカムと呼んでいます。正四面体だけでは空間をモザイク状に分割できませんが、この双対には二等辺三角形の面 を持つ同一の二蝶形四面体セルがあります。

二面切頂立方ハニカムは、さまざまな対称配置でユークリッド平面に直交投影できます。最も高い (六角形の) 対称形式は、不均一な菱形三六角形のタイルに投影されます。正方形対称投影は、重なり合った 2 つの切頂正方形のタイルを形成し、面取りされた正方形のタイルとして結合します。

このハニカムの頂点図形は二面体四面体であり、コクセター群のグルサ四面体（基本領域）でもあります。このハニカムには 4 つの均一な構成があり、切頂八面体セルは異なるコクセター群とウィトフ構成を持ちます。これらの均一な対称性は、各構成のセルを異なる色で表示することで表すことができます。 ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$

[4,3,4]対称性と2種類の切頂八面体を持つ不均一な変種は、2種類の切頂八面体を配置することで2倍になり、切頂八面体と六角柱（二角台形柱）を持つ不均一なハニカムを生成することができる。その頂点図形は、 C _2v対称の三角両錐体である。

このハニカムを交互に重ねると、黄銅面体二十面体、八面体（三角形の裏柱として）、四面体（蝶形として）からなる不均一なハニカムが作られます。その頂点図形はC _2v対称性を持ち、2 つの五角形、4 つの長方形、4 つの二等辺三角形（2 つずつ 2 セットに分割）、および 4 つの不等辺三角形で構成されます。

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交互二切立方ハニカムまたは二切立方ハニカムは非均一であり、最も対称性の高い構造は均一二切立方ハニカムの交互を反映しています。より低い対称性の構造は、正二十面体と黄金二十面体（8 つの正三角形と 12 の黄金三角形）の組み合わせです。3 つの関連するコクセター図から 3 つの構造があります。、、 そしてこれらはそれぞれ対称性[4,3 ⁺ ,4]、[4,(3 ^1,1 ) ⁺ ]、[3 ^[4] ] ^{+を持ちます。最初の対称性と最後の対称性は、[[4,3 +} ,4]]と[[3 ^[4] ]] ⁺と2倍になります。

このハニカム構造はα菱面体結晶のホウ素原子で表現される。二十面体の中心は格子のfcc位置に位置する。^[3]

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カンテラテッド立方ハニカムまたはカンテラテッド立方セルレーションは、ユークリッド 3 次元空間における均一な空間充填モザイク分割(またはハニカム) です。菱形立方八面体、立方八面体、および立方体が1:1:3 の比率で配置され、くさび形の 頂点図形を持ちます。

ジョン・ホートン・コンウェイはこのハニカムを2-RCO-トリルと呼び、その二重の4 分の 1 扁平八面体 を と呼んでいます。

斜め立方ハニカムは、さまざまな対称配置でユークリッド平面に直交投影できます。

コクセター群の反射対称性による2 番目の均一な色付けがあり、2 番目は交互に色付けされた菱形八面体セルで見られます。

立方八面体を菱形立方八面体上に配置すると、二重対称構造を作成できます。これにより、正八面体、正方形の反プリズムのペア、高さゼロの正四角形二枚羽根を立方八面体の構成要素として、三角形の反プリズムの隙間を取ることで、修正立方ハニカムが作成されます。他のバリエーションでは、立方八面体、正方形の反プリズム、八面体（三角形の反台として）、および四面体（正四角形二枚羽根として）が作成され、頂点図形は、正方形の面の 1 つに三角プリズムが取り付けられた立方体と位相的に等価です。

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斜交立方ハニカムの双対は、四分の一扁平八面体と呼ばれ、コクセター図による反射モザイクである。 3次[4,3,4]基本領域の4つの超平面のうち2つの面を含む。

立方体の 1/12 とみなせる不規則な三角形の両錐セルがあり、立方体の中心、2 つの面の中心、および 2 つの頂点から構成されています。

切頂立方ハニカムまたは切頂立方セルレーションは、ユークリッド 3 次元空間における均一な空間充填モザイク分割(またはハニカム) であり、切頂立方八面体、切頂八面体、および立方体が 1:1:3 の比率で構成さ れ、鏡映蝶形 頂点図形を持ちます。

ジョン・ホートン・コンウェイはこのハニカムをn-tCO-トリルと呼び、その二重三角錐を ピラミッド と呼んでいます。

 

各頂点の周囲には 4 つのセルが存在します。

片切立方ハニカムは、さまざまな対称配置でユークリッド平面に直交投影できます。

セルは 2 つの異なる対称性で表示できます。線形コクセター図形式では、各セル タイプを 1 つの色で描画できます。分岐図形式では、2 種類 (色) の切頂立方八面体セルを交互に描画できます。

切頂立方ハニカムの双対は三角錐と呼ばれ、コクセター図では、このハニカムセルは対称性の基本領域を表します 。 ${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$

セルは、頂点が配置された平行移動立方体の 1/24 になります。2 つの角、面の中心、および立方体の中心を取ります。エッジの色とラベルは、エッジの周囲に存在するセルの数を指定します。

これは、頂点配置が4.4.6.6 の斜アペイロヘドロンから八角形と一部の正方形を取り除いたものです。切頂立方八面体のセルを増やして構築されたか、切頂八面体と立方体を交互に増やして構築されたと考えられます。

切頂八面体を切頂立方八面体の上に置くことで、二重対称構造を作ることができ、切頂八面体、六角柱（二角台形として）、立方体（四角柱として）、三角柱（C _2v対称くさびとして）、四面体（四角二蝶形として）を含む不均一なハニカムが得られる。その頂点図形は、位相的には八面体と同等である。

頂点図形

デュアルセル

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交互片切形立方ハニカムまたはスナブ直角立方ハニカムには、スナブ立方体、二十面体（T _h対称）、四面体（正方二面体）、およびギャップに作成される新しい四面体セルの3種類のセルが含まれます。
均一ではありませんが、構造的にはコクセター図として表すことができます。 または。

均一ではないにもかかわらず、次に示す 2 つの辺の長さを持つニアミス バージョンがあり、そのうちの 1 つはもう 1 つよりも約 4.3% 長くなっています。この場合のスナブ キューブは均一ですが、残りのセルは均一ではありません。

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カンティックスナブ立方ハニカムは、立方体（四角柱）から長方形だけを残すように切頂八面体をスナブすることによって構築されます。均一ではありませんが、コクセター図として表すことができます。 菱形八面体（T _h対称性）、二十面体（T _h対称性）、三角柱（C _2v対称性のくさび）が隙間を埋めている。^[4]

菱形八面体の上に二十面体を配置することで、二重対称構造を作ることができ、二十面体、八面体（三角錐）、三角柱（C _2v対称のくさびとして）、および四角錐を含む不均一なハニカムが得られます。

頂点図形

デュアルセル

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ランシトランケーテッド キュービック ハニカムまたはランシトランケーテッド キュービック セルレーションは、ユークリッド 3 次元空間における均一な空間充填モザイク分割(またはハニカム) です。これは、菱形立方八面体、切頂立方体、八角柱、および立方体が1:1:3:3 の比率で配置され、二等辺台形 ピラミッドの 頂点図形を持ちます。

その名前はコクセター図に由来しています。3 つのリングノードは、通常の立方体ハニカムとの関係から、Wythoff 構成の 3 つのアクティブミラーを表します。

ジョン・ホートン・コンウェイはこのハニカムを1-RCO-トリルと呼び、その二重の正方形の四分の一ピラミッドをと呼んでいます。

切頂立方ハニカムは、さまざまな対称配置でユークリッド平面に直交投影できます。

同じ頂点配置を持つ2 つの関連する均一な歪んだアペイロヘドロン (斜線平面体) が存在し、セルのサブセットの境界セルとして見られます。1 つには三角形と正方形があり、もう 1 つには三角形、正方形、八角形があります。

切頂立方ハニカムの双対は四分の一角錐と呼ばれ、コクセター図で示される。 面は[4,3,4]コクセター群の4つの超平面のうち3つに存在します。 ${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$

セルは不規則なピラミッドで、1 つの角、1 つの中間エッジ ポイント、2 つの面の中心、および立方体の中心を使用して、立方体の 1/24 として表示できます。

立方体の上に菱形八面体を配置することで、二重対称構造を作ることができ、菱形八面体、八面体（三角柱として）、立方体（四角柱として）、2種類の三角柱（両方ともC _2v対称のくさび）、および四面体（対角二面体として）を含む不均一なハニカムが得られる。その頂点図形は、拡大三角柱と位相的に等価である。

頂点図形

デュアルセル

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切頂立方ハニカムまたは切頂立方セルレーションは、ユークリッド 3 次元空間における均一な空間充填モザイク状配置(またはハニカム) です。切頂立方八面体と八角柱が1:3 の比率で配置され、頂点図形は二蝶 形です。

ジョン・ホートン・コンウェイはこのハニカムをb-tCO-トリルと呼び、その二重の8 番目のピラミッドをと呼んでいます。

 

全切頂立方ハニカムは、さまざまな対称配置でユークリッド平面に直交投影できます。

セルは 2 つの異なる対称性で表示できます。コクセター図の形式には、切頂立方八面体と八角柱の 2 つの色があります。コクセター図の最初のブランチと最後のブランチを関連付けると、対称性が 2 倍になり、切頂立方八面体と八角柱のすべてのセルを 1 つの色で表示できます。

同じ頂点配置を持つ、関連する均一な歪んだアペイロヘドロンが2 つ存在します。1 つ目は八角形が削除され、頂点配置は 4.4.4.6 です。これは切頂八面体と八角柱が一緒に拡大されたものと見ることができます。2 つ目は拡大された八角柱、頂点配置は 4.8.4.8 と見ることができます。

[4,3,4]対称性を持つ不均一な変種と2種類の切頂立方八面体は、2種類の切頂立方八面体を重ねることで2倍になり、切頂立方八面体、八角柱、六角柱（二角台形）、および2種類の立方体（直角台形とそのC _2v対称変種）を含む不均一なハニカムを作成できます。その頂点図形は不規則な三角両錐体です。

頂点図形

デュアルセル

このハニカムを交互に配置すると、スナブ キューブ、正方形の反プリズム、八面体(三角形の反プリズム)、および 3 種類の四面体(正方二面体、フィリック二面体、不規則四面体) を含む別の不均一なハニカムを作成できます。

頂点図形

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交互全切形立方ハニカムまたは全突起立方ハニカムは、全切形立方ハニカムを交替させることで構築できますが、均一にすることはできませんが、コクセター図を与えることができます。対称性は[[4,3,4]] ^{+です。切頂}立方八面体から立方体を、八角柱から正方形の反角柱を作り、隙間から 新しい四面体セルを作成します。

二重交互全切形立方ハニカムは、交互全切形立方ハニカムの二重として構築された空間充填ハニカムです。

頂点の周りに 24 個のセルが収まり、3 次元すべてに積み重ねることができる キラル八面体対称性を形成します。

個々の細胞は 2 回の回転対称性を持ちます。2D 直交投影では、これは鏡面対称のように見えます。

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ランシック・カンティトランケーテッド・キュービック・ハニカムまたはランシック・カンティトランケーテッド・キュービック・セルレーションは、八角形から交互に長い長方形を削除することによって構築され、均一ではありませんが、コクセター図として表すことができます。 菱形立方八面体（T _h対称性）、スナブ立方体、2種類の立方体：正方形柱と長方形台形柱（位相的には立方体と同等だが、D _2d対称性）、および隙間を埋める三角柱（C _2v対称ウェッジとして）があります。

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ビオルソスナブ立方ハニカムは、八角形から交互に長い長方形を直交して取り除くことによって構築され、均一ではありませんが、コクセター図として表すことができます。 菱形八面体（T _h対称性）と、2 種類の立方体（正方形柱と長方形台形柱（位相的には立方体と同等だが、D _2d対称性）） があります。

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切頂正方形柱状ハニカムまたは切頂正方形柱状セル化は、ユークリッド 3 次元空間における空間充填モザイク化(またはハニカム)です。これは、八角柱と立方体が1:1 の比率で 構成さています。

これは、角柱状に押し出された、切頂正方形のタイルで構成されています。

28個の凸型均一ハニカムのうちの1つです。

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スナブスクエア プリズマティック ハニカムまたはシモ スクエア プリズマティック セルレーションは、ユークリッド 3 次元空間における空間充填モザイク(またはハニカム)です。立方体と三角柱が1:2 の比率で 構成さています。

これは角柱状に押し出された角ばった正方形のタイルから構成されています。

28個の凸型均一ハニカムのうちの1つです。

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角錐台形の反角柱状ハニカムは、角錐台形の角柱状ハニカムを交互に重ねることで構築できます。均一にすることはできませんが、コクセター図を作成できます。対称性は[4,4,2,∞] ^+です。八角柱から正方形の反角柱を、立方体から四面体（正方二面体として）を、三角錐から2つの四面体を作成します。

• 建築と反射のモザイク模様
• 交互立方ハニカム
• 正多面体の一覧
• 5次立方ハニカム1辺あたり5個の立方体を持つ双曲立方ハニカム
• スナブ（ジオメトリ）
• ボクセル

• John H. Conway、Heidi Burgiel、Chaim Goodman-Strauss、(2008) The Symmetries of Things、ISBN  978-1-56881-220-5 (第 21 章、アルキメデスとカタロニアの多面体とタイルの命名、建築的および反射的モザイク、p 292-298、すべての非プリズム形状を含む)
• Coxeter, HSM Regular Polytopes、(第 3 版、1973 年)、Dover 版、ISBN 0-486-61480-8、p. 296、表 II: Regular honeycombs 
• ジョージ・オルシェフスキー、均一な全倍数体テトラコーム、原稿 (2006) (11 個の凸均一タイリング、28 個の凸均一ハニカム、および 143 個の凸均一テトラコームの完全なリスト)
• Branko Grünbaum、「3次元空間の均一タイリング」、Geombinatorics 4(1994)、49 - 56。
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [2]  
  • (論文 22) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 一様空間充填)
• A. Andreini、Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (多面体の正則および半正則ネットおよび対応する相関ネットについて)、Mem.イタリア科学協会、Ser.3、14 (1905) 75–129。
• Klitzing、Richard。「3D ユークリッド ハニカム x4o3o4o - chon - O1」。
• 3空間の均一ハニカム：01チョン