スナブ（ジオメトリ）

幾何学において、スナブとは多面体に適用される操作である。この用語は、ケプラーが2つのアルキメデスの立体、すなわちスナブ立方体（cubus simus）とスナブ十二面体（dodecaedron simum）に付けた名前に由来する。^[1]

一般的に、スナブは、時計回りまたは反時計回りの 2 つの形式でキラル対称性を持ちます。ケプラーの名称では、スナブは正多面体の拡張と見なすことができます。つまり、面を離し、中心を軸にねじり、元の頂点を中心に新しい多角形を追加し、元の辺の間にフィットする三角形のペアを追加します。

この用語は、わずかに異なる定義で、より広い均一多面体の集合に対してCoxeterによって一般化されました。

ジョン・コンウェイは一般化された多面体演算子を研究し、現在ではコンウェイ多面体記法と呼ばれるものを定義しました。これは多面体とタイリングに適用できます。コンウェイはコクセターの演算をセミスナブと呼んでいます。^[2]

この表記法では、スナブはデュアル演算子とジャイロ演算子によってs  =  dgとして定義され、アンボ演算子の切り捨ての交代と同等です。コンウェイの表記法自体は、偶数辺のみを持つ多面体にのみ適用されるため、コクセターの交代（半分）演算を回避します。

4次元では、コンウェイは、 3次元のスナブ多面体が交互全切形であるのに対し、交互全切形24セルではないため、スナブ24セルをセミスナブ24セルと呼ぶべきだと示唆している。実際には、交互切形24セルである。^[3]

コクセターのスナブの用語法は若干異なっており、交互の 切断を意味し、スナブ立方体はスナブ立方八面体、スナブ十二面体はスナブ二十二十二面体として派生する。この定義は、2つのジョンソン立体、スナブ二蝶形とスナブ正方形反角柱の命名に使用され、また、拡張シュレーフリ記号s{3,4,3}とコクセター図で表される4次元スナブ24セルなどの高次元多面体にも使用されている。。

正多面体（またはタイル）、シュレーフリ記号、コクセター図${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$ の切り捨てはと定義され、${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$、また、交互切り捨てとして定義されるスナブがあり、${\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$この交互構造ではq が偶数である必要があります。

シュレーフリ記号またはr { p , q }とコクセター図を持つ準正多面体${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$またはは、準正規切り捨てが次のように定義されるか、またはtr { p , q }を持ち、${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$または、および交互切断整流化またはhtr { p , q } = sr { p , q }として定義される準正規スナブを持ち、${\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$または。

例えば、ケプラーのスナブキューブは、垂直なシュレーフリ記号とコクセター図を持つ準正立方八面体から派生した。 ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ より明確には、垂直なシュレーフリ記号とコクセター図で表されるスナブ立方八面体と呼ばれる。${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$. スナブ立方八面体は、切頂立方八面体、、およびが交互に配置されたものである。${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$。

偶数次の頂点を持つ正多面体も、スナブ八面体のように、交互の切頂としてスナブすることができます。${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}}$は、切頂八面体、、およびの交代形である。${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}}$.スナブ八面体は、擬二十面体、つまり黄銅面体対称性を持つ正二十面体を表します。

スナブテトラテトラヘドロン は、 であり、${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$は、切断された四面体対称形の交代であり、${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$。

コクセターのスナブ演算により、n反プリズムを、 n プリズムまたはに基づいて、またはとして定義することもできます。一方、 は、正 n直角面体、つまり退化した多面体ですが、二角形または三角錐形の面 を持つ球面上の有効なタイリングです。${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}}$${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}}$${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}}$${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{Bmatrix}2,n\end{Bmatrix}}}$

スナブ タイリングにも同じプロセスが適用されます。

すべての頂点が偶数である非一様多面体は、いくつかの無限集合を含めて無視することができます。例:

スナブ星型多面体は、シュワルツ三角形(pqr)によって構成され、有理的に順序付けられた鏡面角度を持ち、すべての鏡面がアクティブで交互に配置されています。

一般に、シュレーフリ記号 とコクセター図を備えた正多角形${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}}$ は拡張されたシュレーフリ記号 を持つスナブを持ち、${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}}$。

修正ポリクロロン= r{p,q,r}であり、${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix}}}$ スナブシンボル= sr{p,q,r}を持ち、${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix}}}$。

4次元には一様凸スナブが1つだけ存在し、それはスナブ24セルである。通常の24セルには、シュレーフリ記号、、および コクセター図がある。${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix}}}$ 、スナブ24セルは、コクセター図で表されます。${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix}}}$ 。また、指数6の低い対称性構成としてs{3 ^1,1,1 }および${\displaystyle s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}}\right\}}$、指数3の部分対称性はsr{3,3,4}またはsr{3,3,4}であり、${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3,4\end{Bmatrix}}}$または。

関連するスナブ24セルハニカムはaまたはs{3,4,3,3}として見ることができ、${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4,3,3\end{Bmatrix}}}$、および対称性が低い、またはsr{3,3,4,3}および${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3,4,3\end{Bmatrix}}}$または、最小対称形はs{3 ^1,1,1,1 } であり、${\displaystyle s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\\3\end{array}}\right\}}$。

ユークリッドハニカムは、交互に並んだ六角形のスラブハニカム、s{2,6,3}、およびまたはsr{2,3,6}、およびまたはsr{2,3 ^[3] }、および。

もう一つのユークリッド（鱗片状）ハニカムは、交互の正方形板ハニカム、s{2,4,4}であり、またはsr{2,4 ^1,1 }および:

唯一の均一なスナブ双曲型均一ハニカムは、スナブ六角形タイリングハニカムであり、s{3,6,3}および、これは交互に並べられた六角形のハニカムh{6,3,3}としても構築できます。^{s{3 [3,3]} }と表すこともできる。。

もう一つの双曲面（スカリフォーム）ハニカムは、スナブオーダー4の八面体ハニカム、s{3,4,4}であり、。

• スナブ多面体

• コクセター、ハロルド・スコット・マクドナルド; ロンゲット・ヒギンズ、MS; ミラー、JCP (1954)。「均一な多面体」。ロンドン王立協会哲学論文集。シリーズ A。数学および物理科学。246 (916)。王立協会: 401–450。Bibcode : 1954RSPTA.246..401C。doi  : 10.1098  / rsta.1954.0003。ISSN 0080-4614。JSTOR 91532。MR  0062446。S2CID 202575183  。
• Coxeter, HSM Regular Polytopes、(第3版、1973年)、Dover版、ISBN 0-486-61480-8 (pp. 154–156 8.6 部分的切り捨て、または交替) 
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1]、Googlebooks [2]  
  • (論文 17)コクセター、コクセター・ディンキン図の進化、[Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233–248]
  • (論文22) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (論文 23) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• コクセター『幾何学の美：12のエッセイ』ドーバー出版、1999年、ISBN 978-0-486-40919-1（第3章：ワイトフの一様多面体の構成） 
• ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
  • NW ジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966 年
• ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝シュトラウス、『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5 
• ワイスタイン、エリック・W.「スナビフィケーション」。マスワールド。
• リチャード・クリッツィング「スナブ、交互ファセット、ストット・コクセター・ディンキン図」、シンメトリー：文化と科学、第21巻、第4号、329-344、（2010年）[3]