バーガヴァキューブ

数学、数論において、バーガヴァ立方体（バーガヴァの立方体とも呼ばれる）は、立方体の8つの角に8つの整数が配置された構成である。^[1]この構成は、カナダ系アメリカ人のフィールズ賞受賞数学者であるマンジュル・バーガヴァによって、二元二次形式などの合成法則を研究するために広範に使用された。バーガヴァ立方体の向かい合う面の各ペアに整数二元二次形式を関連付けることができるため、バーガヴァ立方体の向かい合う面の3組に対応する3つの二元二次形式が得られる。^[2]これらの3つの二次形式はすべて同じ判別式を持ち、マンジュル・バーガヴァは、ガウスの意味でのそれらの合成^{[3]が、原始二元二次形式の}同値類の関連する群における恒等元であることを証明した。 （ガウス合成のこの定式化は、おそらくデデキントによって初めて確立された。）^[4]この性質を2元二次形式の合成理論の出発点として用いて、マンジュル・バーガヴァは立方体を用いた14の異なる合成法則を定義した。

形式 の式（a、b、cは固定整数、x、yは可変整数）は、整数2進2次形式と呼ばれる。形式の判別式は次のように定義される。 ${\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

${\displaystyle D=b^{2}-4ac.}$

係数a、b、cが互いに素である場合、その形式は原始的であると言われる。2つの形式

${\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\quad Q^{\prime }(x,y)=a^{\prime }x^{2}+b^{\prime }xy+c^{\prime }y^{2}}$

変換が存在する場合、それらは同等であると言われる。

${\displaystyle x\mapsto \alpha x+\beta y,\quad y\mapsto \gamma x+\delta y}$

整数係数は を満たすので、は に変換されます。この関係は、整数二項二次形式の集合における同値関係であり、判別式と原始性を保存します。 ${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =1}$${\displaystyle Q(x,y)}$${\displaystyle Q^{\prime }(x,y)}$

とを同じ判別式を持つ2つの原始2次二次形式とし、対応する形式の同値類をととすると 、 次のような 整数が見つかる。${\displaystyle Q(x,y)}$${\displaystyle Q^{\prime }(x,y)}$${\displaystyle [Q(x,y)]}$${\displaystyle [Q^{\prime }(x,y)]}$${\displaystyle p,q,r,s,p^{\prime },q^{\prime },r^{\prime },s^{\prime },a^{\prime \prime },b^{\prime \prime },c^{\prime \prime }}$

${\displaystyle X=px_{1}x_{2}+qx_{1}y_{2}+ry_{1}x_{2}+sy_{1}y_{2}}$

${\displaystyle Y=p^{\prime }x_{1}x_{2}+q^{\prime }x_{1}y_{2}+r^{\prime }y_{1}x_{2}+s^{\prime }y_{1}y_{2}}$

${\displaystyle Q^{\prime \prime }(x,y)=a^{\prime \prime }x^{2}+b^{\prime \prime }xy+c^{\prime \prime }y^{2}}$

${\displaystyle Q^{\prime \prime }(X,Y)=Q(x_{1},y_{1})Q^{\prime }(x_{2},y_{2})}$

クラスは クラス[ Q ( x , y )]と[ Q ^′ ( x , y )]によって一意に決定され、クラス とクラスの合成と呼ばれます 。^[3]これは次のように表されます 。${\displaystyle [Q^{\prime \prime }(x,y)]}$${\displaystyle [Q(x,y)]}$${\displaystyle [Q^{\prime }(x,y)]}$

${\displaystyle [Q^{\prime \prime }(x,y)]=[Q(x,y)]\ast [Q^{\prime }(x,y)]}$

与えられた判別式Dを持つ原始二元二次形式の同値類の集合は、上記の合成法則による群である。群の単位元は、次の形式で決定される類である。

${\displaystyle Q_{Id}^{(D)}(x,y)={\begin{cases}x^{2}-{\frac {D}{4}}y^{2}&D\equiv 0{\pmod {4}}\\x^{2}+xy+{\frac {1-D}{4}}y^{2}&D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}$

クラスの逆はクラスです。 ${\displaystyle [ax^{2}+hxy+by^{2}]}$${\displaystyle [ax^{2}-hxy+by^{2}]}$

( M , N ) をバーガヴァ立方体の2つの反対側の面に関連付けられた2×2行列のペアとします。行列は、行と列が対応する面の辺に対応するように形成されます。この面のペアに関連付けられた整数2進二次形式は次のように定義されます。

${\displaystyle Q=-\det(Mx+Ny)}$

二次形式は次のように定義される。

${\displaystyle Q=-\det(Mx-Ny)}$

ただし、以降の説明では前者の定義を前提とします。

立方体が整数a、b、c、d、e、f、g、hで形成されるとします。反対の辺に関連付けられた行列のペアは、( M ₁、N ₁ )、( M ₂、N ₂ )、( M ₃、N ₃ )で示されます。 M ₁、M ₂、M ₃の最初の行は、それぞれ [ a b ]、[ a c ]、[ a e ] です。同じ面にある反対の辺は、2 番目の行です。反対の面にある対応する辺は、行列N ₁、N ₂、N ₃の行を形成します(図を参照)。

行列によって定義される面に関連付けられた二次形式 （図を参照）は、 ${\displaystyle M_{1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},N_{1}={\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle Q_{1}=-\det(M_{1}x+N_{1}y)=-(\det(M_{1})x^{2}+(ah+ed-bg-fc)xy+\det(N_{1})y^{2})}$

二次形式Q ₁の判別式は

${\displaystyle D_{1}=(ah+ed-bg-fc)^{2}-4\det(M_{1})\det(N_{1}).}$

行列によって定義される面に関連付けられた二次形式 （図を参照）は、 ${\displaystyle M_{2}={\begin{bmatrix}a&c\\e&g\end{bmatrix}},N_{2}={\begin{bmatrix}b&d\\f&h\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle Q_{2}=-\det(M_{2}x+N_{2}y)=-(\det(M_{2})x^{2}+(ah+bg-fc-ed)xy+\det(N_{2})y^{2})}$

二次形式 Q ₂の判別式は

${\displaystyle D_{2}=(ah+bg-fc-ed)^{2}-4\det(M_{2})\det(N_{2}).}$

行列によって定義される面に関連付けられた二次形式 （図を参照）は、 ${\displaystyle M_{3}={\begin{bmatrix}a&e\\b&f\end{bmatrix}},N_{3}={\begin{bmatrix}c&g\\d&h\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle Q_{3}=-\det(M_{3}x+N_{3}y)=-(\det(M_{3})x^{2}+(ah+fc-ed-bg)xy+\det(N_{3})y^{2})}$

二次形式 Q ₃の判別式は

${\displaystyle D_{3}=(ah+fc-ed-bg)^{2}-4\det(M_{3})\det(N_{3}).}$

マンジュル・バーガヴァの驚くべき発見は次のように要約できる。^[2]

立方体 A が 3 つの原始 2 次二次形式Q ₁、Q ₂、Q ₃を生成する場合、Q ₁、Q ₂、Q _{3 は}同じ判別式を持ち、これら 3 つの形式の積はガウス合成によって定義される群における恒等式になります。逆に、Q ₁、Q ₂、Q _{3が同じ判別式の任意の 3 つの原始 2 次二次形式であり、その積がガウス合成における恒等式である場合、} Q ₁、Q ₂、Q _{3 を}生成する立方体 A が存在します。

図に示す数値 Bhargava 立方体に関連付けられた 3 つの二次形式は、次のように計算されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{1}(x,y)=-\det(M_{1}x+N_{1}y)&=-\det \left({\begin{bmatrix}1&0\\0&-2\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}0&3\\4&5\end{bmatrix}}y\right)\\&=-{\begin{vmatrix}x&3y\\4y&-2x+5y\end{vmatrix}}=2x^{2}-5xy+12y^{2}\\\\Q_{2}(x,y)=-\det(M_{2}x+N_{2}y)&=-\det \left({\begin{bmatrix}1&0\\0&4\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}0&3\\-2&5\end{bmatrix}}y\right)\\&=-{\begin{vmatrix}x&3y\\-2y&4x+5y\end{vmatrix}}=-4x^{2}-5xy-6y^{2}\\\\Q_{3}(x,y)=-\det(M_{3}x+N_{3}y)&=-\det \left({\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}0&4\\-2&5\end{bmatrix}}y\right)\\&=-{\begin{vmatrix}x&4y\\-2y&3x+5y\end{vmatrix}}=-3x^{2}-5xy-8y^{2}\\{}\end{aligned}}}$

構成は以下の理由に よります。${\displaystyle [Q_{1}(x,y)]\ast [Q_{2}(x,y)]}$${\displaystyle [Q(x,y)]}$${\displaystyle Q(x,y)=-3x^{2}+5xy-8y^{2}}$

${\displaystyle X=-2x_{1}x_{2}+4y_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}$

${\displaystyle Y=x_{1}x_{2}+3y_{1}y_{2}}$

${\displaystyle Q(X,Y)=Q_{1}(x_{1},y_{1})Q_{2}(x_{2},y_{2})}$

また、 はガウス合成によって定義される群の単位元です。 ${\displaystyle [Q_{3}(x,y)]^{-1}=Q(x,y)}$${\displaystyle [Q_{1}(x,y)]\ast [Q_{2}(x,y)]\ast [Q_{3}(x,y)]}$

バーガヴァ立方体に関連する3つの2進二次形式の合成が、そのような形式の群の単位元であるという事実は、マンジュル・バーガヴァによって立方体自体の合成法則を定義するために使用されました。^[2]

形式の整数二進立方体は、図のように三重対称のバーガヴァ立方体で表すことができます。立方体の合成法則は、二進立方体形式の合成法則を定義するために使用できます。^[2]${\displaystyle px^{3}+3qx^{2}y+3rxy^{2}+sy^{3}}$

2つの2次二次形式のペアは、図のように二重対称のバーガヴァ立方体で表すことができます。立方体の合成法則は、2つの2次二次形式のペアの合成法則を定義するために使用されています。^[2]${\displaystyle (ax^{2}+2bxy+cy^{2},dx^{2}+2exy+fy^{2})}$

• ガウス合成法則