ピタゴラスの定理

ピタゴラスの定理

タイプ	定理
分野	ユークリッド幾何学
声明	2 つの正方形の脚 ( aとb ) の面積の合計は、斜辺 ( c )の正方形の面積に等しくなります。
象徴的な声明	${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$
一般化	余弦定理 ソリッドジオメトリ 非ユークリッド幾何学 微分幾何学
結果	ピタゴラスの三つ組 逆ピタゴラス定理 複素数 ユークリッド距離 ピタゴラスの三角関数の等式

数学において、ピタゴラスの定理またはピタゴラスの定理は、ユークリッド幾何学における直角三角形の 3 辺間の基本的な関係です。これは、斜辺(直角の反対側の辺)である正方形の面積は、他の 2 辺にある正方形の面積の合計に等しいというものです。

この定理は、辺a、b、斜辺cの長さを関係付ける方程式として表すことができ、ピタゴラス方程式と呼ばれることもある。^[1]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

この定理は、紀元前 570 年頃に生まれたギリシャの哲学者ピタゴラスにちなんで名付けられました。この定理は、さまざまな方法で何度も証明されてきました。おそらく、数学の定理の中で最も多く証明された定理でしょう。証明は多岐にわたり、幾何学的証明と代数的証明の両方があり、数千年前に遡るものもあります。

解析幾何学においてユークリッド空間がデカルト座標系で表される場合、ユークリッド距離はピタゴラスの関係を満たします。つまり、2 点間の距離の 2 乗は、2 点間の各座標の差の 2 乗の合計に等しくなります。

この定理は、高次元空間、ユークリッド空間ではない空間、直角三角形ではない物体、三角形ではなくn次元の立体 である物体など、さまざまな方法で一般化できます。

並べ替えによる証明の 1 つでは、各辺の長さが で 、各辺がa、b、cで、斜辺がcである 4 つの直角三角形を含む 2 つの正方形が使用されています。右側の正方形では、正方形の角が三角形の直角の角に対応するように三角形が配置され、中央に辺の長さがc の正方形が形成されます。外側の各正方形の面積は および で、 は4 つの三角形の合計面積を表しています。左側の大きな正方形内では、4 つの三角形が移動され、辺の長さがaおよびbである 2 つの相似な長方形が形成されます。新しい位置にあるこれらの長方形は、2 つの新しい正方形を描きます。辺の長さがa の正方形が左下隅に形成され、辺の長さがbの別の正方形が右上隅に形成されます。この新しい位置では、この左側には の正方形の面積 と が あります。 両方の正方形の面積が であるため、正方形の面積の他の測定値も互いに等しく、 =となります。 4つの三角形の面積を方程式の両辺から取り除くと、残るのは^[2]${\displaystyle a+b}$${\displaystyle (a+b)^{2}}$${\displaystyle 2ab+c^{2}}$${\displaystyle 2ab}$${\displaystyle (a+b)^{2}}$${\displaystyle 2ab+a^{2}+b^{2}}$${\displaystyle (a+b)^{2}}$${\displaystyle 2ab+c^{2}}$${\displaystyle 2ab+a^{2}+b^{2}}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

別の証明では、2 番目のボックス内の長方形を、両方の 1 つの角が正方形の連続する角に対応するように配置することもできます。このようにして、今度は連続する角に、面積 と を持つ 2 つのボックスも形成され 、再び面積 の 2 番目の正方形につながります。 ${\displaystyle a^{2}}$${\displaystyle b^{2}}$${\displaystyle 2ab+a^{2}+b^{2}}$

イギリスの数学者トーマス・ヒースは、ユークリッドの『 原論』の命題 I.47 の解説でこの証明を与え、ドイツの数学者カール・アントン・ブレットシュナイダーとヘルマン・ハンケルがピタゴラスはこの証明を知っていたかもしれないと提案したことに言及している。ヒース自身はピタゴラスの証明について別の提案を支持しているが、議論の冒頭から「ピタゴラスの死後最初の 5 世紀に属するギリシャ文献には、この発見や彼に関する他の特定の偉大な幾何学的発見を特定する記述がまったくない」ことを認めている。^[3] 最近の研究では、数学の創始者としてのピタゴラスの役割について疑問が高まっているが、これについての議論は続いている。^[4]

この定理は、図の下部に示すように、辺がcの正方形の周りに対称的に配置された同じ三角形の 4 つのコピーを使用して代数的に証明できます。 ^{[5]これにより、辺が}a + bで面積が( a + b ) ^{2 の}大きな正方形が作成されます。4 つの三角形と正方形の辺c は、大きい正方形と同じ面積を持つ必要があります。

${\displaystyle (b+a)^{2}=c^{2}+4{\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab,}$

与える

${\displaystyle c^{2}=(b+a)^{2}-2ab=b^{2}+2ab+a^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}.}$

同様の証明は、図の上半分のように、辺がa、b、cの直角三角形を4つコピーして、辺がcの正方形の内側に配置することで実現できる。 ^[6]三角形は面積が相似で、小さい正方形は辺がb − a、面積が( b − a ) ^2である。従って、大きい正方形の面積は ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab}$

${\displaystyle (b-a)^{2}+4{\frac {ab}{2}}=(b-a)^{2}+2ab=b^{2}-2ab+a^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}.}$

しかし、これは辺がcで面積がc ^{2 の}正方形なので、

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}.}$

この定理は他の定理よりも多くの証明が知られているかもしれない（二次の相互法則もこの栄誉を争う別の定理である）。『ピタゴラスの命題』という本には370の証明が掲載されている。^[7]

この証明は、 3 つの相似な三角形の辺の比例関係、つまり、相似な三角形の対応する 2 辺の比は三角形の大きさに関係なく同じである という事実に基づいています。

図に示すように、直角がCにある直角三角形ABCを表します。点Cから高さを描き、辺ABとの交点をH と呼びます。点H は斜辺cの長さを部分dとeに分割します。新しい三角形ACH は三角形ABCと相似です。高さの定義により、どちらも直角を持ち、Aで角度を共有しているため、図ではθで示されている 3 番目の角度も両方の三角形で同じになることを意味します。同様の理由により、三角形CBHもABCと相似です。三角形の相似性の証明には、三角形の公理が必要です。三角形の角度の合計は 2 つの直角であり、平行公理と同等です。三角形の相似性は、対応する辺の比が等しいことにつながります。

${\displaystyle {\frac {BC}{AB}}={\frac {BH}{BC}}{\text{ and }}{\frac {AC}{AB}}={\frac {AH}{AC}}.}$

最初の結果は角度θの余弦に等しくなりますが、2 番目の結果は角度 θの正弦に等しくなります。

これらの比率は次のように表される。

${\displaystyle BC^{2}=AB\times BH{\text{ and }}AC^{2}=AB\times AH.}$

これら2つの等式を足し合わせると、

${\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB\times BH+AB\times AH=AB(AH+BH)=AB^{2},}$

これを簡略化すると、ピタゴラスの定理が証明されます。

${\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}.}$

この証明が歴史の中で果たした役割については、多くの憶測が飛び交っている。根本的な疑問は、なぜユークリッドはこの証明を使わず、別の証明を発明したのかということである。一つの推測は、相似三角形による証明には比例の理論が関係しており、このテーマは『原論』で後になって初めて議論され、比例の理論は当時さらに発展する必要があったということである。^[8]

アルバート・アインシュタインは、ピースを動かす必要のない分解による証明を与えた。^[9]斜辺に正方形を 1 つ、脚に正方形を 2 つ使う代わりに、斜辺を含む他の図形と、斜辺の代わりに 2 本の脚の 1 本を含む相似な図形 2 つを使うことができる (3 辺の相似図形を参照)。アインシュタインの証明では、斜辺を含む図形は直角三角形そのものである。分解とは、三角形の直角の頂点から斜辺に垂線を下ろし、三角形全体を 2 つの部分に分割することである。これらの 2 つの部分は元の直角三角形と同じ形をしており、元の三角形の脚が斜辺となり、面積の合計は元の三角形の面積と同じになる。直角三角形の面積と斜辺の 2 乗の比は相似な三角形で同じであるため、3 つの三角形の面積の関係は、大きな三角形の辺の 2 乗にも当てはまる。

ユークリッドの原論における証明は、大まかに次のように進められます。大きな正方形を左右の長方形に分割します。左側の長方形の半分の面積を持つ三角形を作成します。次に、正方形の一番左側の半分の面積を持つ別の三角形を作成します。これら 2 つの三角形は合同であることが示され、この正方形の面積が左側の長方形と同じであることが証明されます。この議論に続いて、右側の長方形と残りの正方形についても同様の議論が行われます。2 つの長方形を合わせて斜辺上の正方形を形成すると、その面積は他の 2 つの正方形の面積の合計と同じになります。詳細は以下を参照してください。

A、B、C を直角三角形の頂点とし、 A で直角となるものとします。 Aから斜辺の反対側の辺に垂線を下ろし、斜辺上の正方形の斜辺と反対側の辺に垂線を下ろします。その線は斜辺上の正方形を 2 つの長方形に分割します。各長方形の面積は、脚の上にある 2 つの正方形の面積と同じになります。

正式な証明には、4つの基本的な補題が必要です。

1. 2 つの三角形において、一方の 2 辺が他方の 2 辺に等しく、それぞれの辺が囲む角度が等しい場合、それらの三角形は合同です (辺 - 角 - 辺)。
2. 三角形の面積は、同じ底辺を持ち、同じ高さにある平行四辺形の面積の半分です。
3. 長方形の面積は、隣接する 2 辺の積に等しくなります。
4. 正方形の面積は、その 2 辺の積に等しくなります (3 からわかります)。

次に、それぞれの上の正方形は、下の正方形を構成する2つの長方形のうちの1つに関連する別の三角形と合同な三角形に関連付けられます。^[10]

証明は次のとおりです。

1. ACB を CAB が直角である直角三角形とします。
2. BC、AB、CAの各辺に、CBDE、BAGF、ACIHの順に正方形が描かれます。正方形の構築には、ユークリッドの直前の定理が必要であり、平行線公理に依存します。^[11]
3. A から、BD と CE に平行な線を引きます。この線は、それぞれ K と L で BC と DE と垂直に交差します。
4. CF と AD を結合して三角形 BCF と BDA を形成します。
5. 角度 CAB と BAG は両方とも直角なので、C、A、G は同一直線上にあります。
6. 角度 CBD と FBA は両方とも直角です。したがって、角度 ABD は角度 FBC と等しくなります。これは、両方とも直角と角度 ABC の合計だからです。
7. AB は FB に等しく、BD は BC に等しく、角 ABD は角 FBC に等しいため、三角形 ABD は三角形 FBC と合同でなければなりません。
8. AKL は BD に平行な直線であるため、長方形 BDLK は三角形 ABD の面積の 2 倍になります。これは、長方形と三角形 ABD が底辺 BD を共有し、同じ高さ BK (つまり、共通の底辺に垂直な線で、平行線 BD と AL を結ぶ線) を持っているためです。(補題 2)
9. C は A および G と同一線上にあり、この線は FB と平行なので、正方形 BAGF の面積は三角形 FBC の面積の 2 倍になります。
10. したがって、長方形 BDLK の面積は正方形 BAGF = AB ²と同じでなければなりません。
11. 手順 3 から 10 を図の反対側に適用すると、長方形 CKLE の面積は正方形 ACIH = AC ²と同じであることが同様に示されます。
12. これら2つの結果を足すと、AB ² + AC ² = BD × BK + KL × KC
13. BD = KLなので、BD × BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
14. したがって、 CBDE は正方形なので、 AB ² + AC ² = BC ^{2となります。}

この証明は、ユークリッドの『原論』第1巻の命題47として登場し、斜辺上の正方形の面積は他の2つの正方形の面積の合計であることを証明している。^{[12] [13]} これは、ピタゴラスが使用したと推測される三角形の相似による証明とはまったく異なる。^{[14] [15]}

もう一つの並べ替えは、真ん中のアニメーションで示されています。小さな中央の正方形の周りに、辺がa、b、cである 4 つの同一の直角三角形を配置して、面積がc ^{2 の}大きな正方形を形成します。次に、三角形を移動して、辺がaとbである 2 つの長方形を形成します。小さな正方形をこれらの長方形と組み合わせると、面積がa ²とb ²の 2 つの正方形が生成されます。これらの面積は、最初の大きな正方形と同じでなければなりません。^[16]

3番目の右端の画像にも証明があります。上の2つの正方形は、青と緑の陰影で示されているように、再配置すると斜辺上の下の正方形に収まるように分割されます。または逆に、大きな正方形を図のように他の2つの正方形を埋めるように分割することもできます。1つの図形を断片に切り分け、再配置して別の図形を作成するこの方法は、分割と呼ばれます。これは、大きな正方形の面積が2つの小さな正方形の面積に等しいことを示しています。^[17]

添付のアニメーションで示されているように、面積保存のせん断マッピングと変換により、直角に隣接する辺の正方形を斜辺の正方形に変換して、斜辺を正確に覆うことができます。^[18]各せん断では底辺と高さは変更されないため、面積も変更されません。変換でも形状はまったく変更されないため、面積は変更されません。各正方形は最初に平行四辺形にせん断され、次に斜辺の正方形の1つのセクションに変換できる長方形にせん断されます。

関連する証明は、後のアメリカ大統領ジェームズ・A・ガーフィールド（当時は下院議員）によって発表された。^{[19] [20] [21]}この証明では正方形の代わりに台形が使われており、これは上記の証明の2番目の正方形を内側の正方形の対角線に沿って二等分することで作図でき、図に示すように台形が得られる。台形の面積は正方形の面積の半分、つまり

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(b+a)^{2}.}$

内側の正方形も同様に半分にされ、三角形は 2 つだけなので、証明は の係数を除いて上記と同じように進みます。係数は 2 を掛けて除去され、結果が与えられます。 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

辺の変化が斜辺の変化にどのように影響するかを研究し、微積分を用いることで、ピタゴラスの定理に到達することができます。^{[22] [23] [24]}

三角形ABC は、図の上部に示すように直角三角形で、BC が斜辺です。同時に、三角形の長さは、図の下部に示すように、斜辺の長さがy、辺ACの長さがx、辺ABの長さがaであるように測定されます。

辺AC をわずかにDまで延長してx を少量dxだけ増やすと、yもdyだけ増えます。これらは三角形CDEの 2 辺を形成します。これは ( CE が斜辺に垂直になるようにEを選択すると) ABCとほぼ相似の直角三角形になります。したがって、それらの辺の比は同じでなければなりません。つまり、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{y}}.}$

これは と書き直すことができ、直接積分によって解くことができる 微分方程式です。${\displaystyle y\,dy=x\,dx}$

${\displaystyle \int y\,dy=\int x\,dx\,,}$

与える

${\displaystyle y^{2}=x^{2}+C.}$

定数はx = 0、y = aから次の式で 求められる。

${\displaystyle y^{2}=x^{2}+a^{2}.}$

これは形式的な証明というよりも直感的な証明です。dxとdyの代わりに適切な制限を使用すれば、より厳密にすることができます。

この定理の逆もまた真である: [ 25 ^]

辺の長さがa、b、cである三角形があるとします。a 2 + b ² = c ^{2 で}ある場合、辺aと辺 b^の間の角度は直角です。

a ² + b ² = c ²を満たす任意の3 つの正の実数 a、b、cに対して、三角不等式の逆の結果として、辺がa、b、cである三角形が存在する。

この逆はユークリッドの『原論』（第1巻、命題48）に登場します。「三角形において、1辺の正方形が三角形の残りの2辺の正方形の合計に等しい場合、三角形の残りの2辺によって囲まれる角度は直角です。」^[26]

これは余弦定理を使って証明するか、次のように証明できます。

ABC を、辺の長さがa、b、cで、a ² + b ² = c ²である三角形とします。長さがaとbで、直角を含む 2 番目の三角形を作成します。ピタゴラスの定理により、この三角形の斜辺の長さはc = √ a ² + b ²となり、最初の三角形の斜辺と同じになります。2 つの三角形の辺の長さは同じa、b、cなので、これらの三角形は合同であり、角度も同じである必要があります。したがって、元の三角形の辺の長さaとb の間の角度は直角です。

上記の逆の証明はピタゴラスの定理そのものを利用している。逆はピタゴラスの定理を仮定しなくても証明できる。^{[27] [28]}

ピタゴラスの定理の逆の系は、三角形が直角か鈍角か鋭角かを判断する簡単な方法であり、次のようになる。3辺のうち最も長い辺をcとし、 a + b > cとする（そうでなければ三角形の不等式により三角形は存在しない）。次の文が当てはまる：^[29]

• a ² + b ² = c ²ならば三角形は直角になります。
• a ² + b ² > c ²の場合、三角形は鋭角です。
• a ² + b ² < c ²の場合、三角形は鈍角です。

エドガー・W・ダイクストラは、鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形に関する次の命題を次のように述べています。

sgn( α + β − γ ) = sgn( a ² + b ² − c ² )、

ここでαは辺aの反対側の角度、βは辺bの反対側の角度、γは辺cの反対側の角度、sgnは符号関数である。^[30]

ピタゴラス数列は、3つの正の整数a、b、c を持ち、a ² + b ² = c ²となります。言い換えると、ピタゴラス数列は、3辺すべてが整数の長さである直角三角形の辺の長さを表します。^[1]このような数列は、一般的に( a、b、c ) と表記されます。よく知られている例としては、(3、4、5)や(5、12、13) などがあります。

原始ピタゴラス数列は、a、b、cが互いに素である数列です（a、b、cの最大公約数は1 です）。

以下は、値が 100 未満の基本ピタゴラス数列のリストです。

(3、4、5)、(5、12、13)、(7、24、25)、(8、15、17)、(9、40、41)、(11、60、61)、(12 、35、37)、(13、84、85)、(16、63、65)、(20、 21、29)、(28、45、53)、(33、56、65)、(36、77、85)、(39、80、89)、(48、55、73)、(65、72、 97)

ピタゴラスの三つ組を生成するための公式は数多くある。その中でもユークリッドの公式は最もよく知られている。任意の正の整数mとnが与えられたとき、その整数は

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\quad \,b=2mn,\quad \,c=m^{2}+n^{2}}$

ピタゴラスの三つ組を形成します。

辺と高さ（直角から斜辺に垂直な線）を持つ直角三角形が与えられます。ピタゴラスの定理は、 ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

逆ピタゴラスの定理は2本の脚を 高度と関連づける。^[31]${\displaystyle a,b}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{d^{2}}}}$

この式は次のように変形できる。

${\displaystyle {\frac {1}{(xz)^{2}}}+{\frac {1}{(yz)^{2}}}={\frac {1}{(xy)^{2}}}}$

ここで、任意の非ゼロ実数に対してである。 が整数である場合、最小解は ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$ ${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle a,b,d}$${\displaystyle a>b>d}$

${\displaystyle {\frac {1}{20^{2}}}+{\frac {1}{15^{2}}}={\frac {1}{12^{2}}}}$

最小のピタゴラスの定理を用いる。逆ピタゴラスの定理は光学方程式の特殊なケースである。${\displaystyle 3,4,5}$

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}}$

ここで、分母は平方数であり、また、辺が平方数である七角形三角形の場合も同様です。 ${\displaystyle p,q,r}$

ピタゴラスの定理の結果の 1 つは、長さが通約不可能な(つまり、比が有理数ではない)線分は、定規とコンパスを使用して作成できることです。ピタゴラスの定理により、三角形の斜辺は平方根演算によって辺に関連付けられるため、通約不可能な長さの作成が可能になります。

右の図は、長さが任意の正の整数の平方根の比である線分を構築する方法を示しています。^[32]各三角形には、測定に選択された単位である辺（ラベル「1」）があります。各直角三角形では、ピタゴラスの定理により、この単位で斜辺の長さが確立されます。斜辺が完全な平方ではない正の整数の平方根によって単位に関連付けられている場合、√ 2、√ 3、√ 5など、単位と通約できない長さの実現です 。詳細については、二次無理数を参照してください。

通約不可能な長さは、数を整数のみとするピタゴラス学派の概念と矛盾した。ピタゴラス学派は、共通の部分単位の整数倍の比較によって比率を扱った。^[33]ある伝説によると、メタポントゥムのヒッパソス（紀元前470年頃）は、無理数または通約不可能な数の存在を知らせたために海で溺死した。^[34] ヒッパソスの貢献についての詳細な議論はフリッツに見られる。^[35]

任意の複素数

${\displaystyle z=x+iy,}$

絶対値または係数は次のように与えられる。

${\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

したがって、3つの量r、x、yはピタゴラスの定理によって関係付けられます。

${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

r は正の数またはゼロとして定義されますが、xとy は正だけでなく負の数にもなり得ることに注意してください。幾何学的には、 r は複素平面におけるゼロまたは原点Oからのzの距離です。

これを一般化して、例えば2点z ₁とz ₂の間の距離を求めることができます。必要な距離は次のように求められます。

${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}},}$

これらはピタゴラスの定理によって関係付けられており、

${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}.}$

デカルト座標における距離の公式はピタゴラスの定理から導かれる。^{[36]平面上の点}（x ₁、y ₁）と点（x ₂、y ₂）の場合、それらの間の距離はユークリッド距離とも呼ばれ、次のように表される。

${\displaystyle {\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.}$

より一般的には、ユークリッドn空間において、2 点間のユークリッド距離と は、ピタゴラスの定理の一般化により次のように定義されます。 ${\displaystyle A\,=\,(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$${\displaystyle B\,=\,(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$

${\displaystyle {\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$

ユークリッド距離の代わりに、この値の二乗 (二乗ユークリッド距離、または SED) を使用すると、結果として得られる式は平方根を回避し、座標の SED の合計だけになります。

${\displaystyle (a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}.}$

二乗形式は、両点の滑らかな凸関数であり、最適化理論や統計学で広く使用され、最小二乗法の基礎を形成します。

デカルト座標が使用されない場合、たとえば、 2 次元で極座標が使用される場合、またはより一般的には曲線座標が使用される場合、ユークリッド距離を表す式はピタゴラスの定理よりも複雑ですが、それから導くことができます。 2 点間の直線距離が曲線座標に変換される典型的な例は、物理学におけるルジャンドル多項式の応用にあります。 曲線座標とデカルト座標を関連付ける方程式とともにピタゴラスの定理を使用することで、式を見つけることができます。 たとえば、極座標( r、θ )は次のように導入できます。

${\displaystyle x=r\cos \theta ,\ y=r\sin \theta .}$

すると、位置が( r ₁、θ ₁ )と( r ₂、θ ₂ )の2つの点が距離sだけ離れます。

${\displaystyle s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.}$

平方根をとって項を組み合わせると、デカルト座標での距離に関するピタゴラスの公式は、極座標での距離を次のように表します。

${\displaystyle {\begin{aligned}s^{2}&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\left(\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \Delta \theta ,\end{aligned}}}$

三角関数の積和公式を使用します。この公式は余弦定理であり、一般化されたピタゴラスの定理と呼ばれることもあります。^{[37]この結果から、2つの場所へ}の半径が直角である場合、囲まれた角度Δθ = π /2となり、ピタゴラスの定理に対応する形式が再び得られます。したがって、直角三角形に有効なピタゴラスの定理は、任意の三角形に有効な、より一般的な余弦定理の特殊なケースです。 ${\displaystyle s^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}.}$

辺a、b、斜辺cを持つ直角三角形では、三角法によって、辺aと斜辺 の間の角度θの正弦と余弦が次のように決定されます。

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {b}{c}},\quad \cos \theta ={\frac {a}{c}}.}$

そこから次のことが分かります。

${\displaystyle {\cos }^{2}\theta +{\sin }^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1,}$

最後のステップではピタゴラスの定理を適用します。この正弦と余弦の関係は、ピタゴラスの基本的な三角法の恒等式と呼ばれることもあります。^[38]相似三角形では、辺の比は三角形の大きさに関わらず同じで、角度に依存します。したがって、図では、斜辺が単位サイズの三角形は、斜辺の単位で、反対側の辺のサイズがsin θで、隣接する辺のサイズがcos θになります。

ピタゴラスの定理は、外積と内積を同様に関連付けています。^[39]

${\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}.}$

これは外積と内積の定義からわかる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=ab\mathbf {n} \sin {\theta }\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=ab\cos {\theta },\end{aligned}}}$

ここで、n はaとb の両方に垂直な単位ベクトルです。この関係は、これらの定義とピタゴラスの三角関数の恒等式から得られます。

これは外積を定義するのにも使えます。整理すると次の式が得られます。

${\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.}$

これは外積の条件とみなすことができ、例えば7次元では外積の定義の一部となる。^{[40] [41]}

ユークリッド幾何学の公理の最初の 4 つが正しいと仮定すると、ピタゴラスの定理は 5 番目と同等になります。つまり、ユークリッドの第 5 公理はピタゴラスの定理を意味し、逆もまた同様です。

ピタゴラスの定理は、正方形の3辺の面積を超えて、相似図形に一般化される。これは紀元前5世紀にキオスのヒポクラテスによって知られており、 ^[42]ユークリッドの『原論』にも含まれている。^[43]

直角三角形の各辺に対応する辺を持つ相似図形（ユークリッド幾何学を参照）を立てると、2 つの小さい方の辺の面積の合計は、大きい方の辺の面積に等しくなります。

この拡張は、元の三角形の辺が3つの合同な図形の対応する辺であると仮定している（したがって、相似図形間の辺の公比はa:b:cである）。^[44]ユークリッドの証明は凸多角形にのみ適用されたが、定理は凹多角形や曲線の境界を持つ相似図形にも適用される（ただし、図形の境界の一部は元の三角形の辺である）。^[44]

この一般化の背後にある基本的な考え方は、平面図形の面積は任意の線形寸法の 2 乗に比例し、特に任意の辺の長さの 2 乗に比例するというものです。したがって、面積A、B、Cの相似図形を、対応する長さa、b、c の辺に立てると、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\,,}$

${\displaystyle \Rightarrow A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}C\,.}$

しかし、ピタゴラスの定理によれば、a ² + b ² = c ²なので、A + B = C となります。

逆に、ピタゴラスの定理を使わずに 3 つの相似図形についてA + B = Cであることを証明できれば、逆方向に作業を進めて定理の証明を構築できます。たとえば、最初の中央の三角形を複製して、その斜辺に三角形Cとして使用し、中央の三角形を高さで割って他の 2 辺に2 つの相似な直角三角形 ( AとB ) を作成します。したがって、2 つの小さい三角形の面積の合計は 3 番目の三角形の面積と同じなので、A + B = Cとなり、上記の論理を逆にすると、ピタゴラスの定理a ² + b ² = c ²が導かれます。(再配置なしの分解によるアインシュタインの証明も参照)

ピタゴラスの定理は、任意の三角形の辺の長さを関連付けるより一般的な定理である余弦定理の特殊なケースであり、 辺と間の角度が であると述べています。^[45]$${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2}}$$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

がラジアンまたは 90°のとき、となり、式は通常のピタゴラスの定理に簡約されます。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle \cos {\theta }=0}$

辺a、b、cの一般的な三角形の任意の選択された角に二等辺三角形を内接させ、その底辺 θ の等しい角が選択された角と同じになるようにします。選択された角 θ がcというラベルの付いた辺の反対側にあるとします。二等辺三角形を内接させると、辺 b の反対側に角 θ を持ち、cに沿った辺rを持つ三角形CADが形成されます。2 番目の三角形は、図に示すように、辺a の反対側に角 θ を持ち、 cに沿った辺の長さsを持つ三角形です。Thābit ibn Qurra は、3 つの三角形の辺は次のように関係していると述べています。^{[47] [48]}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c(r+s)\ .}$

角度 θ がπ /2 に近づくにつれて、二等辺三角形の底辺は狭くなり、長さrとsの重なりはますます小さくなります。θ = π /2のとき、ADB は直角三角形、r + s = cになり、元のピタゴラスの定理が回復されます。

証明の 1 つでは、三角形ABC は三角形CADと同じ角度を持ちますが、順序が逆になっています。(2 つの三角形は頂点 A で角度を共有し、どちらも角度 θ を含み、三角形公理により 3 番目の角度も同じになります。) その結果、ABC はCADの鏡映、つまり下図の三角形DACに似ています。θ に向かい合う辺と隣接する辺の比をとると、

${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {b}{r}}\ .}$

同様に、もう一方の三角形の鏡映についても、

${\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {a}{s}}\ .}$

分数を消去し、次の 2 つの関係を追加します。

${\displaystyle cs+cr=a^{2}+b^{2}\ ,}$

必要な結果。

角度が鈍角で長さrとsが重ならない場合は、定理は有効です。 ${\displaystyle \theta }$

パプスの面積定理は、直角三角形以外の三角形に適用されるさらなる一般化であり、3 辺に正方形の代わりに平行四辺形を使用します (もちろん正方形は特別なケースです)。上の図は、不等辺三角形の場合、長辺の平行四辺形が図のように構築されている (矢印でラベル付けされた寸法は同じで、下部の平行四辺形の辺を決定する) ことを前提として、最長辺の平行四辺形の面積は他の 2 辺の平行四辺形の面積の合計であることを示しています。正方形を平行四辺形に置き換えることは、元のピタゴラスの定理と明らかに類似しており、紀元 4 年にアレクサンドリアのパプスによって一般化されていると考えられました^{[49] [50]}

下の図は証明の要素を示しています。図の左側に注目してください。左側の緑の平行四辺形は、底辺bと高さhが同じなので、下の平行四辺形の左側の青い部分と同じ面積を持ちます。ただし、左側の緑の平行四辺形は、上の図の左側の緑の平行四辺形と同じ面積を持ちます。これは、両方の底辺 (三角形の左上辺) が同じで、三角形のその辺に垂直な高さも同じだからです。図の右側について同じ議論を繰り返すと、下の平行四辺形の面積は、2 つの緑の平行四辺形の合計と同じになります。

立体幾何学の観点から見ると、ピタゴラスの定理は次のように 3 次元に適用できます。図に示す直方体を考えます。面の対角線 ACの長さは、ピタゴラスの定理から次のように求められます。

${\displaystyle {\overline {AC}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BC}}^{\,2}\,,}$

ここで、これら 3 辺は直角三角形を形成します。対角線ACと水平辺CD を使用すると、体対角線 ADの長さは、ピタゴラスの定理の 2 番目の適用によって次のように求められます。

${\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}\,,}$

または、すべてを 1 つのステップで実行します。

${\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}\,.}$

この結果は、ベクトルv (対角線 AD) の大きさをその直交成分{ v _k } (互いに垂直な 3 つの辺) で表した3 次元表現です。

${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}=\sum _{k=1}^{3}\|\mathbf {v} _{k}\|^{2}.}$

このワンステップの定式化は、ピタゴラスの定理を高次元に一般化したものと考えることができます。しかし、この結果は実際には、一連の直交平面内の一連の直角三角形に元のピタゴラスの定理を繰り返し適用しただけです。

ピタゴラスの定理を3次元に一般化したものが、ジャン・ポール・ド・グア・ド・マルベスにちなんで名付けられたド・グアの定理である。四面体に直角の角（立方体の角のような）がある場合、直角の角と反対側の面の面積の2乗は、他の3つの面の面積の2乗の合計である。この結果は、「n次元ピタゴラスの定理」のように一般化できる。^[51]

をR ⁿの直交ベクトルとします。頂点を持つn次元単体Sを考えます。(原点を含まない頂点を持つ( n − 1)次元単体をSの「斜辺」 、残りの( n − 1)次元面をSの「脚」と考えます。) このとき、 Sの斜辺の体積の二乗は、n本の脚の体積の二乗の合計です。${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle 0,x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

この主張は、図の四面体によって三次元で説明されている。「斜辺」は図の奥にある四面体の底辺で、「脚」は手前の頂点から伸びる 3 つの側面である。頂点からの底辺の深さが増すにつれて、「脚」の面積は増加するが、底辺の面積は一定である。この定理は、この深さが正しい頂点を形成する値にあるとき、ピタゴラスの定理の一般化が適用されることを示唆している。別の言い方をすると、次のようになる。^[52]

n長方形のn次元単体が与えられた場合、右頂点に対向する面の( n − 1)内容の二乗は、残りの面の( n − 1)内容の二乗の合計に等しくなります。

ピタゴラスの定理は内積空間に一般化することができ、^[53]よく知られている2次元および3次元ユークリッド空間の一般化である。たとえば、関数は関数解析のように、内積空間内の無限個の要素を持つベクトルとして考えることができる。^[54]

内積空間では、直交性の概念は直交性の概念に置き換えられます。つまり、2つのベクトルvとwは、それらの内積がゼロであれば直交します。内積はベクトルのドット積の一般化です。ドット積は標準内積またはユークリッド内積と呼ばれます。ただし、他の内積も可能です。^[55]${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle }$

長さの概念はベクトルvのノルム‖v‖の概念に置き換えられ、次のように定義される: ^[56]

${\displaystyle \lVert \mathbf {v} \rVert \equiv {\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\,.}$

内積空間において、ピタゴラスの定理は、任意の2つの直交ベクトルvとwに対して、

${\displaystyle \left\|\mathbf {v} +\mathbf {w} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {w} \right\|^{2}.}$

ここで、ベクトルvとw は、ベクトルの和 v  +  wによって与えられる斜辺を持つ直角三角形の辺に似ています。この形式のピタゴラスの定理は、内積の特性の結果です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\mathbf {v} +\mathbf {w} \right\|^{2}&=\langle \mathbf {v+w} ,\ \mathbf {v+w} \rangle \\[3mu]&=\langle \mathbf {v} ,\ \mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {w} ,\ \mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v,\ w} \rangle +\langle \mathbf {w,\ v} \rangle \\[3mu]&=\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {w} \right\|^{2},\end{aligned}}}$

ここで、直交性のためです。 ${\displaystyle \langle \mathbf {v,\ w} \rangle =\langle \mathbf {w,\ v} \rangle =0}$

ピタゴラスの定理を内積空間で非直交ベクトルにさらに一般化したものが平行四辺形の法則である: ^[56]

${\displaystyle 2\|\mathbf {v} \|^{2}+2\|\mathbf {w} \|^{2}=\|\mathbf {v+w} \|^{2}+\|\mathbf {v-w} \|^{2}\ ,}$

これは、平行四辺形の辺の長さの二乗の和の2倍が対角線の長さの二乗の和であることを示しています。この等式を満たす任意のノルムは、ipso facto内積に対応するノルムです。^[56]

ピタゴラスの定理は、2つ以上の直交ベクトルの和に拡張できる。v 1 、v ₂、... _、 v n_が内積空間内の直交ベクトルである場合、これらのベクトルの連続するペアにピタゴラスの定理を適用すると（立体幾何学のセクションで3次元について説明したように）、次の式が得られる^[57]。

${\displaystyle {\biggl \|}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}{\biggr \|}^{2}=\sum _{k=1}^{n}\|\mathbf {v} _{k}\|^{2}}$

ピタゴラスの定理のもう一つの一般化は、任意の次元におけるルベーグ測定可能なオブジェクトの集合に適用される。具体的には、 n次元ユークリッド空間内の1つ以上の平行なm次元平面におけるm次元オブジェクトの集合の測度の二乗は、オブジェクトのすべてのm次元座標部分空間への直交射影の測度の二乗の合計に等しい。^[58]

数学的に言えば：

${\displaystyle \mu _{ms}^{2}=\sum _{i=1}^{x}\mathbf {\mu ^{2}} _{mp_{i}}}$

どこ：

• ${\displaystyle \mu _{m}}$m次元の尺度です(1 次元では長さ、2 次元では面積、3 次元では体積など)。
• ${\displaystyle s}$n次元ユークリッド空間内の1 つ以上の平行なm次元平面にある 1 つ以上の重複しないm次元オブジェクトの集合です。
• ${\displaystyle \mu _{ms}}$m次元オブジェクトの集合の総量（合計）です。
• ${\displaystyle p}$元のセットの直交座標部分空間へのm次元投影を表します。
• ${\displaystyle \mu _{mp_{i}}}$は、 m次元の集合をm次元の座標部分空間に投影した測度です。物体の投影は座標部分空間上で重なり合うことがあるため、集合内の各物体の投影の測度は個別に計算し、その後、すべての投影の測度を加算して、指定された座標部分空間上の投影の集合の合計測度を求めます。${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$は、 m次元オブジェクトが投影されるn次元空間（R ⁿ）内の直交m次元座標部分空間の数です（m ≤ n）：$${\displaystyle x={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}}$$

ピタゴラスの定理はユークリッド幾何学の公理から導かれ、実際、ある直角三角形でピタゴラスの定理が成り立たない場合、この三角形が含まれる平面はユークリッドではあり得ません。より正確には、ピタゴラスの定理はユークリッドの平行（第五）公理を意味し、またユークリッドの平行（第五）公理によってピタゴラスの定理が意味されます。^{[59] [60]したがって、}非ユークリッド幾何学^[61]の直角三角形は ピタゴラスの定理を満たしません。たとえば、球面幾何学では、単位球の八分円を囲む直角三角形の3辺すべて（a、b、cとします）の長さはπ /2に等しく、すべての角度が直角であるため、ピタゴラスの定理に違反します 。 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=2c^{2}>c^{2}}$

ここでは、非ユークリッド幾何学の 2 つのケース、球面幾何学と双曲平面幾何学について検討します。いずれの場合も、直角三角形以外のユークリッドの場合と同様に、ピタゴラスの定理に代わる結果は、適切な余弦定理から得られます。

しかし、三角形が直角であるという条件を、2つの角度の和が3番目の角度になるという条件、つまりA + B = Cに置き換えると、双曲幾何学と楕円幾何学でもピタゴラスの定理は成り立ちます。その場合、辺は次のように関係付けられます。直径aとb の円の面積の合計は、直径cの円の面積に等しくなります。^[62]

半径Rの球面上の任意の直角三角形（例えば、図のγが直角の場合）において、辺a、b、cの関係は次のようになる。^[63]

${\displaystyle \cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\,\cos {\frac {b}{R}}.}$

この方程式は、すべての球面三角形に適用される球面余弦法則の特殊なケースとして導出できます。

${\displaystyle \cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\,\cos {\frac {b}{R}}+\sin {\frac {a}{R}}\,\sin {\frac {b}{R}}\,\cos {\gamma }.}$

球面上の無限小三角形（または無限半径の球面上の有限球面三角形）の場合、直角三角形の辺間の球面関係は、ピタゴラスの定理のユークリッド形式に簡約されます。それがどのように行われるかを確認するには、半径Rが拡大する球面上に、辺の長さが固定された球面三角形a、b、c があると仮定します。R が無限大に近づくにつれて、量a/R、b/R、c/R はゼロに近づき、球面ピタゴラス恒等式は に簡約されるため、その漸近展開を確認する必要があります。 ${\displaystyle 1=1,}$

余弦関数のマクローリン級数は、剰余項を大文字のO記法で表すと と表すことができます。を三角形の辺とし、c を固定してRに関する漸近展開として表現すると、 ${\textstyle \cos x=1-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+O{\left(x^{4}\right)}}$${\displaystyle x=c/R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {c}{R}}=1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}\end{aligned}}}$

aとbについても同様である。各余弦の漸近展開を直角三角形の球面関係に代入すると、次の式が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}&=\left(1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}\right)\left(1-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}\right)\\&=1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}.\end{aligned}}}$

1を引いて各辺を反転すると、

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2R^{2}}}={\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}.}$

を2 R ²倍すると、固定されたa、b、および変数Rに関するcの漸近展開は次のようになる。

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+O{\left(R^{-2}\right)}.}$

半径R が無限大に近づくと剰余が消滅するため、ユークリッドとピタゴラスの関係は極限で回復されます。 ${\textstyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

小さな直角三角形を用いた球面三角法の実用的な計算では、有意性の喪失を避けるために、2倍角恒等式を使用して余弦を正弦に置き換えることができる。この場合、球面ピタゴラスの定理は次のように書くこともできる。 ${\displaystyle \cos {2\theta }=1-2\sin ^{2}{\theta }}$

${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}-2\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}\,\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}.}$

一様ガウス曲率−1/ R ²の双曲空間において、辺a、b、斜辺cを持つ直角三角形の辺間の関係は次のようになる: ^[64]

${\displaystyle \cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\,\cosh {\frac {b}{R}}}$

ここでcoshは双曲余弦である。この式は双曲余弦法則の特別な形であり、すべての双曲三角形に適用される：^[65]

${\displaystyle \cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\ \cosh {\frac {b}{R}}-\sinh {\frac {a}{R}}\ \sinh {\frac {b}{R}}\ \cos \gamma \ ,}$

γ は辺c の反対側の頂点における角度です。

双曲余弦のマクローリン級数cosh x ≈ 1 + x ² /2を使用すると、双曲三角形が非常に小さくなるにつれて（つまり、a、b、c がすべてゼロに近づくにつれて）、直角三角形の双曲関係がピタゴラスの定理の形に近づくことが示されます。

小さな直角三角形（a、b << R）の場合、有意性の喪失を避けるために双曲余弦を除去することができ、次のようになる。

${\displaystyle \sinh ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}+2\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}\,.}$

任意の一様曲率K (正、ゼロ、負) に対して、斜辺cを持つ非常に小さな直角三角形 (| K | a ²、| K | b ² << 1)では、次の式が成り立つ。

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-{\frac {K}{3}}a^{2}b^{2}-{\frac {K^{2}}{45}}a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})-{\frac {2K^{3}}{945}}a^{2}b^{2}(a^{2}-b^{2})^{2}+O(K^{4}c^{10})\,.}$

ピタゴラスの定理は、微分幾何学で見られる無限小三角形に適用されます。3次元空間では、2つの無限小に離れた点の間の距離は

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},}$

ここで、dsは距離の要素、( dx、dy、dz )は2点を隔てるベクトルの成分である。このような空間はユークリッド空間と呼ばれる。しかし、リーマン幾何学では、この表現を一般座標（直交座標だけではない）や一般空間（ユークリッドだけではない）に一般化したものは次の形をとる。^[66]

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j}^{n}g_{ij}\,dx_{i}\,dx_{j}}$

これは計量テンソルと呼ばれます。(時には、言葉の誤用により、同じ用語が係数g _ijの集合に適用されることがあります。) これは位置の関数である場合があり、多くの場合、曲がった空間を表します。簡単な例としては、曲線座標で表されるユークリッド(平坦)空間があります。たとえば、極座標では次のようになります。

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}\ .}$

ピタゴラスの定理が一度だけ発見されたのか、それとも多くの場所で何度も発見されたのかについては議論があり、最初の発見の日付も最初の証明の日付も定かではない。メソポタミア数学の歴史家は、ピタゴラスの定理はピタゴラスが生まれる1000年以上前の古バビロニア時代（紀元前20世紀から16世紀）に広く使用されていたと結論付けている。 ^{[68] [69] [70] [71]}定理の歴史は、ピタゴラスの三つ組の知識、直角三角形の辺の関係に関する知識、隣接する角度の関係に関する知識、および何らかの演繹システム内での定理の証明の4つの部分に分けることができる。

紀元前1800年頃に書かれた中王国時代のエジプトのベルリン・パピルス6619 には、ピタゴラスの三つ組6:8:10を解く問題が含まれているが、三角形については触れられていない。同じく紀元前1800年頃にラルサ近郊で書かれたメソポタミアの粘土板プリンプトン322には、ピタゴラスの三つ組に密接に関連する記述が多数含まれている。^[72]  

インドでは、紀元前8世紀から紀元前5世紀までと様々な年代が伝えられているバウダヤナ・ シュルバ・スートラ^{[73]には、}アパスタンバ・シュルバ・スートラ（紀元前 600年頃）と同様に、ピタゴラス三つ組のリストとピタゴラスの定理が、直角二等辺三角形の特殊な場合と一般的な場合の両方で記述されている 。 [ a ^]

ビザンチン帝国の 新プラトン主義の哲学者で数学者のプロクロスは、紀元後5世紀の著作の中で、特別なピタゴラス定理を生み出すための2つの算術規則について述べている。「1つはプラトンに帰せられ、もう1つはピタゴラスに帰せられる」^[76]。ピタゴラス (紀元前 570年頃 - 紀元前 495年頃)に帰せられる規則は、奇数から始まり、辺と斜辺が1単位異なる3倍定理を生み出す。プラトン (紀元前428年/427年または424年/423年 - 紀元前348年/347年) に帰せられる規則は、偶数から始まり、辺と斜辺が2単位異なる3倍定理を生み出す。トーマス・L・ヒース(1861年 - 1940年) によると、ピタゴラスの死後5世紀の間に現存するギリシャ文献には、この定理がピタゴラスに帰せられる具体的な記述は存在しない。^{[77]しかし、}プルタルコスやキケロなどの著者がピタゴラスの定理を引用したとき、彼らはその引用が広く知られ、疑いの余地がなかったことを示唆する形でそうしました。^{[78] [79]} 古典学者 クルト・フォン・フリッツは、「この公式がピタゴラス個人に正しく帰属されているかどうかは別として、ピタゴラス数学の最古の時代に属すると安全に推測できます。」と書いています。 ^[35]紀元前300年頃、ユークリッドの『原論』で、この定理の現存する最古の公理的証明が提示されました。^[80]

内容はもっと以前から知られていたが、紀元前1世紀ごろの現存する文献では、中国の文献『周髀算経』（天の円環と天の算術経）に、（3、4、5）三角形に対するピタゴラスの定理の根拠が示されている。中国では、この定理は「勾股定理」（勾股定理）と呼ばれている。^{[81] [82]}漢代（紀元前202年～紀元後220年）には、ピタゴラスの三つ組が『九章算術』^[83]に直角三角形についての言及とともに登場する。^[84]この定理は紀元前11世紀の中国で初めて登場したと考える者もおり、 ^[85]そこでは「商高定理」とも呼ばれている。 [ ^86]これは周公の天文学者で数学者の商高定理にちなんで名付けられ、その推論は周秘算経の大部分を占めている。^[87]

• ユークリッド (1997) [紀元前300年頃]。デイビッド・E・ジョイス (編)。『元素論』 。 2006年8月30日閲覧。Java ベースのインタラクティブな図を含む HTML 形式。
• 「ピタゴラスの定理」。数学百科事典。EMS Press。2001 [1994]。
• 歴史のテーマ: バビロニア数学におけるピタゴラスの定理
• インタラクティブリンク:
  • ピタゴラスの定理のJavaによるインタラクティブな証明
  • ピタゴラスの定理のJavaによるもう一つのインタラクティブな証明
  • インタラクティブアニメーションによるピタゴラスの定理
  • アニメーション付き、非代数的、ユーザーペースのピタゴラスの定理
• YouTube でのピタゴラスの定理の水のデモ
• ピタゴラスの定理（結び目の切り方による 70 以上の証明）
• Weisstein、Eric W.「ピタゴラスの定理」。MathWorld。