立方体（代数）

算術と代数学において、数nの立方とは、その数の 3乗、つまり、3 つのn を掛け合わせた結果です。数やその他の数式の立方には、上付き文字3が付きます。たとえば、2 ³ = 8または( x + 1) ^{3 です}。

立方数は、その数の平方を掛けた数でもあります。

n ³ = n × n ² = n × n × n です。

立方関数は、数をその立方体に写像する関数 x ↦ x ³（しばしばy = x ³と表記される）である。これは奇関数であり、

(−n ) 3 ⁼ −( n3 )^です。

幾何学的立方体の体積は、その辺の長さの 3 乗であるため、この名前が付けられています。その逆の操作、つまりnの 3 乗となる数を見つけることは、 nの3 乗根を求めることと呼ばれます。これにより、与えられた体積の立方体の辺が決定されます。これはnの3 分の 1 乗でもあります。

3 次関数のグラフは 3 次放物線として知られています。3次関数は奇関数なので、この曲線は原点に対称中心を持ちますが、対称軸はありません。

立方数、完全立方数、または単に立方数と呼ばれる数は、整数の 3 乗である数です。60 ³までの非負の完全立方数は次のとおりです ( OEISのシーケンスA000578 )。

幾何学的に言えば、正の整数mが完全な立方体であるためには、m個の立体単位立方体をより大きな立体立方体に配置できる必要があります。たとえば、 3 × 3 × 3 = 27であるため、 27 個の小さな立方体を 1 つの大きな立方体に配置でき、ルービック キューブのように見えます。

連続する整数の3乗の差は次のように表すことができます。

n ³ − ( n − 1) ³ = 3( n − 1) n + 1 です。

または

( n + 1) ³ − n ³ = 3( n + 1) n + 1です。

負の整数の3乗は負なので、最小の完全立方はありません。たとえば、(−4) × (−4) × (−4) = −64です。

完全平方数とは異なり、完全立方数では下 2 桁の可能性は限られていません。5 で割り切れる立方数では下 2 桁が25、75、00のみとなり、下 2 桁が奇数である任意の数字の組み合わせが完全立方数の下 2 桁となり得ます。偶数立方数の場合、かなりの制限があり、 00 、 o 2 、 e 4 、 o 6 、 e 8 のみが完全立方数の下2桁となり得ます( oは任意の奇数、 e は任意の偶数を表します)。一部の立方数は平方数でもあります。たとえば、 64 は平方数(8 × 8)であり、立方数(4 × 4 × 4)でもあります。これは、数が完全な 6 乗 (この場合は 2 ⁶ )の場合に限り発生します。

各 3 乗の最後の桁は次のとおりです。

しかし、ほとんどの数は完全立方数ではないことは簡単に示せます。なぜなら、すべての完全立方数は必ずデジタルルート 1 、 8 、または9を持つからです。つまり、9 を法とする値は 0、1、8 のみになります。さらに、任意の数の立方数のデジタルルートは、その数を 3 で割ったときの余りで決定できます。

• 数xが3で割り切れる場合、その立方根は9になります。つまり、

  ${\displaystyle {\text{if}}\quad x\equiv 0{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv 0{\pmod {9}}{\text{ (実際}}\quad 0{\pmod {27}}{\text{)}};}$

• 3で割ったときに余りが1の場合、その立方体のデジタルルートは1です。つまり、

  ${\displaystyle {\text{if}}\quad x\equiv 1{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv 1{\pmod {9}};}$

• 3で割ったときに余りが2の場合、その立方体のデジタルルートは8です。つまり、

  ${\displaystyle {\text{if}}\quad x\equiv 2{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv 8{\pmod {9}}.}$

±4を法として9と合同でないすべての整数（正または負）は、3つの（正または負の）立方数の和として無限に書き表すことができると推測されます。^[1]たとえば、±4を法として9と合同な整数は、3つの立方数の和として書き表すことができないため除外されます。 ${\displaystyle 6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}}$

このような和が知られていない最小の整数は114である。2019年9月、3立方和が知られていない最小の整数である42がこの式を満たすことが判明した。^[2]

${\displaystyle 42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}.}$

の解の 1 つは、n ≤ 78、およびn が9を法として4または5と合同でない場合、下の表に示されています。選択された解は、原始的 ( gcd( x , y , z ) = 1 ) であり、またはの形式ではなく(これらは解の無限族であるため)、0 ≤ | x | ≤ | y | ≤ | z |を満たし、 | z |および| y |の値が最小である(この順序でテスト) ものです。[ ^{3] [4] [5]}${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$${\displaystyle c^{3}+(-c)^{3}+n^{3}=n^{3}}$${\displaystyle (n+6nc^{3})^{3}+(n-6nc^{3})^{3}+(-6nc^{2})^{3}=2n^{3}}$

非プリミティブな解はnの値が小さい場合の解から簡単に推測できるため、プリミティブな解のみが選択されます。たとえば、n = 24の場合、解はすべてを で乗算した解から得られます。したがって、これは選択される別の解です。同様に、n = 48の場合、解( x、y、z ) = (-2、 -2、 4)は除外され、選択される解( x、y、z ) = (-23、 -26、 31)です。 ${\displaystyle 2^{3}+2^{3}+2^{3}=24}$${\displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=3}$${\displaystyle 8=2^{3}.}$

方程式x ³ + y ³ = z ^3は整数では非自明な（つまりxyz ≠ 0）解を持たない。実際、アイゼンシュタイン整数では解は存在しない。^[6]

これらの両方の記述は、方程式^[7] x ³ + y ³ = 3 z ³についても当てはまります。

最初のn個の立方体の合計はn番目の三角数の2 乗です。

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\dots +n^{3}=(1+2+\dots +n)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$

証明。 チャールズ・ホイートストン （1854）は、各立方を連続する奇数の集合に展開することで、特に簡単な導出を与えている。彼はまず、

${\displaystyle n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ 連続する奇数}}}.}$

この恒等式は、三角数 と次のように関係しています。 ${\displaystyle T_{n}}$

${\displaystyle n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),}$

したがって、加数の形成は、までのすべての前の値の形成の直後に始まります。この特性を別のよく知られた恒等式とともに適用すると、次のようになります。 ${\displaystyle n^{3}}$${\displaystyle 1^{3}}$${\displaystyle (n-1)^{3}}$

${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),}$

次のような導出が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}}$

より最近の数学文献では、スタイン (1971) はこれらの数の長方形カウント解釈を使用して恒等式の幾何学的証明を形成しています (ベンジャミン、クイン & ワーツ 2006 も参照)。彼は、帰納法によっても簡単に (ただし情報量は少ない) 証明できることを指摘し、トゥープリッツ (1963) が「興味深い古いアラビア語の証明」を提供していると述べています。カニム (2004) は純粋に視覚的な証明を提供し、ベンジャミン & オリソン (2002) は 2 つの追加の証明を提供し、ネルセン (1993) は 7 つの幾何学的証明を提供しています。

例えば、最初の5つの立方数の合計は5番目の三角数の2乗です。

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}}$

最初のy 奇数の立方体の合計についても同様の結果が得られます。

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +(2y-1)^{3}=(xy)^{2}}$

しかし、x、y は負のペル方程式 x ² − 2 y ² = −1を満たさなければなりません。たとえば、y = 5および29の場合、

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2}}$

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2}}$

以下同様である。また、最小の偶数を除くすべての完全 数は、最初の2つの数の合計である。^{⁠ p −1 / 2 ⁠}
奇数立方体（p = 3、5、7、...）:

${\displaystyle 28=2^{2}(2^{3}-1)=1^{3}+3^{3}}$

${\displaystyle 496=2^{4}(2^{5}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}}$

${\displaystyle 8128=2^{6}(2^{7}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}}$

等差数列の数の立方体のうち、和が立方体になるもの の例を次に示します。

${\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}}$

${\displaystyle 11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}=20^{3}}$

${\displaystyle 31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}=66^{3}}$

最初の数は、神秘的なプラトン数として識別されることがあります。等差数列のn個の数の立方体の合計を求める 公式Fは、 公差dと最初の立方体a ³です。

${\displaystyle F(d,a,n)=a^{3}+(a+d)^{3}+(a+2d)^{3}+\cdots +(a+dn-d)^{3}}$

は次のように与えられる。

${\displaystyle F(d,a,n)=(n/4)(2a-d+dn)(2a^{2}-2ad+2adn-d^{2}n+d^{2}n^{2})}$

パラメトリックソリューション

${\displaystyle F(d,a,n)=y^{3}}$

は、1829年にパグリアーニによって発見された、 d = 1、つまり連続する立方体の特殊なケースとして知られています。 ^[8]

奇数のシーケンス 1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、... では、最初の整数は立方数 ( 1 = 1 ³ ) であり、次の2 つの合計は次の立方数 ( 3 + 5 = 2 ³ ) であり、次の3 つの合計は次の立方数 ( 7 + 9 + 11 = 3 ³ ) であり、以下同様に続きます。

すべての正の整数は、9 個 (またはそれ以下) の正の立方数の和として表すことができます。この 9 個の立方数の上限は、たとえば 23 を 9 個未満の正の立方数の合計として表すことはできないため、減らすことはできません。

23 = 2 ³ + 2 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³。

すべての正の有理数は3つの正の有理数の立方数の和である^[9]。また、2つの有理数の立方数の和ではない有理数も存在する^{[10] 。}

実数では、立方関数は順序を保存します。つまり、数が大きいほど、立方体も大きくなります。言い換えると、立方体は（厳密に）単調に増加します。また、その共域は実数直線全体です。関数x ↦ x ³  : R → Rは全射です（すべての可能な値を取ります）。自身の立方体に等しい数は、−1、0、1の3 つだけです。−1 < x < 0または1 < xの場合、x ³ > xです。x < −1または0 < x < 1の場合、x ³ < xです。前述のすべての特性は、実数の任意の高次の奇数乗（x ⁵、x ⁷、...）にも当てはまります。等式と不等式は、任意の順序付き環でも成り立ちます。

類似のユークリッド立体の体積は、その線形サイズの立方体として関連しています。

複素数では、純虚数の 3 乗も純虚数です。たとえば、i ³ = − iです。

x ³の導関数は3 x ²に等しい。

立方体は、他の体でも時折、射影的性質を持つことがあります。例えば、 p ≠ 1 (mod 3)となるような素数pに対してF _{p が}当てはまりますが、^[11]必ずそうとは限りません。上記の有理数に関する反例を参照してください。また、F ₇では、合計 7 つの元のうち、0、±1 の 3 つだけが完全立方体です。 −1、0、1 はどこでも完全立方体であり、体の元の中で、それ自身の立方体に等しいのはこれらだけです。x 3 − x = x ( ^x − 1 ) ( x + 1 )。

大きな数の立方を求めることは、多くの古代文明で非常に一般的でした。メソポタミアの数学者は、古バビロニア時代（紀元前20世紀から16世紀）までに、立方数と立方根を計算するための表を記した楔形文字の粘土板を作成しました。 ^{[12] [13]}三次方程式は、古代ギリシャの数学者ディオファントスにも知られていました。^[14] アレクサンドリアのヘロンは、紀元1世紀に立方根を計算する方法を考案しました。^[15]三次方程式を解いて立方根を抽出する方法は、紀元前2世紀頃に編纂され、紀元3世紀に劉徽によって注釈が付けられた中国の数学書である『九章算術』に記載されています。 ^[16]