大きな数の歴史

異なる文化では、大きな数を命名するために異なる伝統的な記数法が使用されていました。使用される大きな数の範囲は、それぞれの文化で異なっていました。大きな数の使用に関する 2 つの興味深い点は、多くの国で10 億と10 億という用語が混同されていることと、精度が要求されない場合に非常に大きな数を表すために10 億が使用されていることです。

シュクラ・ヤジュルヴェーダには、 10 ¹²までの 10 の累乗の名前のリストがあります。ヤジュルヴェーダのテキストに記載されているリストは次のとおりです。

エカ(1)、ダシャ( 10)、メソチ(100 ) 、サハスラ(1,000)、アユタ(10,000 )、ニユタ(100,000)、プラユタ(1,000,000)、アルブダ(10,000,000)、ニャルブーダ(100,000,000)、サグラン（10億）、マディヤ（100億）、アンタ（1000億）、パルダ（10億）。^[1]

^{その後、ヒンドゥー教や仏教の文献ではこのリストが拡張されましたが、これらのリストは相互に一貫性がなく、10 8}より大きい数の名前は文献間で異なります。

たとえば、パンチャヴィムシャ・ブラフマナでは 10 ⁹がnikharva、 10 ¹⁰ vâdava、 10 ¹¹ akṣitiとされており、一方、シャキヤーナ・シュラウタ・スートラでは 10 ⁹ nikharva、 10 ¹⁰ samudra、 10 ¹¹ salila、 10 ¹² antya、 10 ¹³ anantaとなっている。このような 10 の累乗の名前の一覧は、daśaguṇottarra saṁjñâと呼ばれる。また、サンスクリット語で分数、つまり 10 分の 1 の累乗を表す類似の名前の一覧もある。

大乗仏教の『 羅什経』は^{、10 421}に及ぶ非常に広範なリストを挙げていることで有名です。文脈は、筆記、算数、レスリング、弓道を含む競技の記述で、釈迦は偉大な数学者アルジュナと対戦し、1「タラクシャナ」、つまり10 ⁵³までの10の累乗の名前を挙げて数値のスキルを披露しましたが、その後、これは幾何学的に拡張できる一連の計算システムのうちの1つにすぎないと説明しています。

仏陀の教えである華厳経には、さらに広範な数の名称が記載されており、十の累乗を列挙するだけでなく、累乗の連結を導入している。最大の数は、 に相当するnirabhilapya nirabhilapya parivarta (Bukeshuo bukeshuo zhuan 不可說不可說轉) である。^{[2] [3] Thomas Cleary の翻訳の第 30 章 (Asamkyeyas) では、「語られざる」数が 10 10*2 122}と定義されており、第 2 節で 10 ^{4*5*2 121}に拡張され、同様の拡張が不確定に続いている。 『アヴァタムサカ経典』に記載されている他の名前の例としては、アサクヘヤ(असंख्येय) 10 ¹⁴⁰などがあります。 ${\displaystyle 10^{7\times 2^{122}}}$

ジャイナ教の数学書『スーリヤ・プラジュナプティ』（紀元前4～3世紀頃）では、すべての数を可算数、無算数、無限数の3つに分類しています。これらはさらに3つの順序に分類されています。^[4]可算数（最低、中、最高）、無算数（ほぼ無算数、真に無算数、無数に無算数）、無限数（ほぼ無限、真に無限、無限に無限）です。

現代インドでは、10 ^5をlakh、 10 ⁷をcrore と呼ぶのが一般的です。どちらも、Yājñavalkya Smṛtiの 10 の累乗の名称一覧から派生した方言 (ヒンドゥスターニー語)で、 10 ⁵と 10 ^{7はそれぞれ}lakṣaとkoṭi と呼ばれています。

西洋世界では、大きな数に特定の数名が使われるようになったのはごく最近になってからです。古代ギリシャ人は、無数、つまり 1 万を基準としたシステムを使用していました。彼らの最大の数は、無数の無数、つまり 1 億でした。

『砂の計算』の中で、アルキメデス（紀元前287年頃～212年）は、100万から120万までの大きな数字に名前を付けるシステムを考案した。

${\displaystyle 10^{8\times 10^{16}}}$、

本質的には、無数の万乗に名前を付けることです。この最大の数は、無数の万乗の万万乗に等しいため、すべて無数の万乗になるために現れます。これは、アルキメデスが遭遇した表記上の困難をよく示しており、新しい基数に対応する新しい序数(「無数の万乗」よりも大きい) を考案しなかったために、この数で止まったと推測できます。アルキメデスは、10 ⁶⁴までしかこのシステムを使用しませんでした。

アルキメデスの目的は、おそらく10の累乗に名前を付けて大まかな概算を出すことだったと思われるが、その後まもなく、ペルガのアポロニウスが、無数の累乗の命名に基づいて、10の累乗ではない大きな数を命名するより実用的なシステムを発明した。例えば、βΜ無数の二乗になります。

ずっと後になって、しかしまだ古代ではありますが、ヘレニズム時代の数学者 ディオファントス(3 世紀) が、大きな数を表すために同様の表記法を使用しました。

理論的な問題にあまり興味がなかったローマ人は、1,000,000をdecies centena milia 、つまり「100万」と表現しました。「 million 」という単語（元々はフランス語）が導入されたのは13世紀になってからでした。

現代数学には、これらよりもはるかに大きな有限数が存在する。例えば、グラハム数は指数法やテトレーション法でさえも合理的に表現するには大きすぎる。大きな数の現代的使用法の詳細については、大きな数を参照のこと。これらの数を扱うために、新しい表記法が作られ、使用されている。大きな数に名前を付けることに専念する数学者の大規模なコミュニティが存在する。ラヨ数は、名前の付いた数の中で最大であると主張されている。^[5]

最近まで、大きな数の究極は、どんな有限数よりも大きい数として定義され、数学の極限理論で使用されている無限という概念でした。

しかし、19 世紀以来、数学者は超限数を研究してきました。超限数は、いかなる有限数よりも大きいだけでなく、集合論の観点から、従来の無限の概念よりも大きい数です。これらの超限数のうち、おそらく最も異常で、存在するとすれば「最大」であると言えるのは、大基数です。