p進評価

数論において、整数nのp進評価またはp進順序は、 n を割り切る素数pの最大の累乗の指数です。これは と表記されます。同様に、は の素因数分解に現れるの指数です。 ${\displaystyle \nu_{p}(n)}$${\displaystyle \nu_{p}(n)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$

p進付値は付値であり、通常の絶対値の類似物を生成します。通常の絶対値に関する有理数の完備化は実数 をもたらしますが、 -進絶対値に関する有理数の完備化はp進数をもたらします。^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

p を素数とする。

整数のp進値は次のように定義される。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} _{0}:p^{k}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}}$

ここで は自然数（ゼロを含む）の集合を表し、がで割り切れることを表します。特に、は関数 です。^[2]${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle m\mid n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \nu_{p}}$${\displaystyle \nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}}$

たとえば、、およびであるためです。 ${\displaystyle \nu _{2}(-12)=2}$${\displaystyle \nu _{3}(-12)=1}$${\displaystyle \nu _{5}(-12)=0}$${\displaystyle |{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}}$

という表記はを意味するために使われることもある。^[3]${\displaystyle p^{k}\Parallel n}$${\displaystyle k=\nu _{p}(n)}$

が正の整数の 場合、${\displaystyle n}$

${\displaystyle \nu_{p}(n)\leq \log_{p}n}$;

これは から直接導かれます。 ${\displaystyle n\geq p^{\nu _{p}(n)}}$

p進評価は、 関数

${\displaystyle \nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$^{[4] [5]}

定義

${\displaystyle \nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s).}$

たとえば、およびであるためです。 ${\displaystyle \nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3}$${\displaystyle \nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2}$${\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}}$

いくつかのプロパティは次のとおりです。

${\displaystyle \nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)}$

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

さらに、ならば、 ${\displaystyle \nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)}$

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

ここで、 は最小値（つまり、 2 つのうち小さい方）です。 ${\displaystyle \min}$

ルジャンドルの公式は、であることを示しています。 ${\displaystyle \nu _{p}(n!)=\sum _{i=1}^{\infty {}}{\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\rfloor {}}}$

任意の正の整数nに対して、以下同様です。 ${\displaystyle n={\frac {n!}{(n-1)!}}}$${\displaystyle \nu _{p}(n)=\nu _{p}(n!)-\nu _{p}((n-1)!)}$

したがって、。 ${\displaystyle \nu {}_{p}(n)=\sum _{i=1}^{\infty {}}{{\bigg (}\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\rfloor {}-\lfloor {\frac {n-1}{p^{i}}}\rfloor {}{\bigg )}}}$

この無限和は に減らすことができます。 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\lfloor {\log _{p}{(n)}\rfloor {}}}{{\bigg (}\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\rfloor {}-\lfloor {\frac {n-1}{p^{i}}}\rfloor {}{\bigg )}}}$

この式は負の整数値に拡張でき、次のようになります。

${\displaystyle \nu {}_{p}(n)=\sum _{i=1}^{\lfloor {\log _{p}{(|n|)}\rfloor {}}}{{\bigg (}\lfloor {\frac {|n|}{p^{i}}}\rfloor {}-\lfloor {\frac {|n|-1}{​​p^{i}}}\rfloor {}{\bigg )}}}$

のp進絶対値（またはp進ノルム^[6] 、解析的な意味でのノルムではない）は関数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle |\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

定義

${\displaystyle |r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}。}$

それによって、すべての人にとって、そして例えば、そして${\displaystyle |0|_{p}=p^{-\infty }=0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle |{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}}$${\displaystyle {\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8.}$

p進絶対値は以下の特性を満たします。

乗法的性質 から、単位根とに対してが成り立ち、したがって も成り立ちます。非アルキメデスの三角形の不等式から、 劣加法性が成り立ちます。 ${\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}$${\displaystyle |1|_{p}=1=|-1|_{p}}$ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle |{-r}|_{p}=|r|_{p}.}$ ${\displaystyle |r+s|_{p}\leq |r|_{p}+|s|_{p}}$ ${\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}$

指数関数における底pの選択は、ほとんどの特性には影響しませんが、積の式をサポートします。 ${\displaystyle p^{-\nu _{p}(r)}}$

${\displaystyle \prod _{0,p}|r|_{p}=1}$

ここで、積はすべての素数pと通常の絶対値にわたって取られ、 と表記されます。これは、単純に素因数分解を行うことで得られます。つまり、各素因数はその逆数をp進絶対値に寄与し、通常のアルキメデスの絶対値がそれらすべてをキャンセルします。 ${\displaystyle |r|_{0}}$${\displaystyle p^{k}}$

距離空間は、（非アルキメデス的、並進不変な）距離 を持つ集合上に形成できる。${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

定義

${\displaystyle d(r,s)=|r-s|_{p}.}$

この測定基準に関してのの完成はp進数の集合につながります。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

• p進数
• 評価（代数）
• アルキメデスの性質
• 多重性（数学）
• オストロフスキーの定理
• ルジャンドルの公式、の -進評価について${\displaystyle p}$${\displaystyle n!}$
• 指数持ち上げ補題、の -進評価に対する${\displaystyle p}$${\displaystyle a^{n}-b^{n}}$