バースカラ2世

最初のセクションであるリーラーヴァティー（パティーガニタまたはアンカガニタとも呼ばれる）は、彼の娘にちなんで名付けられ、277の詩から構成されています。^{[ 14 ]}計算、数列、測定、順列、その他のトピックを扱っています。 ^{[ 14 ]}

第2部「ビージャガニタ（代数学）」は213節から成ります。^{[ 14 ]}ゼロ、無限大、正負の数、そして（現在ペル方程式と呼ばれる）不定方程式について論じ、クッタカ法を用いて解いています。^{[ 14 ]}特に、彼はまた、$61x^{2}+1=y^{2}}$それは、数世紀後のフェルマーとそのヨーロッパの同時代人たちにとって、解決不可能な問題であった。

第3章「グラハガニタ」では、惑星の運動を扱う際に、惑星の瞬間速度を考察している。この章は451節から構成されている。

${\displaystyle \sin y'-\sin y\estimate (y'-y)\cos y}$のために。

${\displaystyle y'}$近い${\displaystyle y}$これは、彼が導関数の概念を発展させたわけではないものの、コサインがサインの導関数であることを発見したと解釈できる。 ^{[ 20 ]}

彼の言葉によれば：^{[ 21 ]}

ビンバールダシャ コーティジャ グナストリジャハーラ ファラン ドルジャヨランタラム

この結果は、以前にもムンジャラーチャリヤ（またはマンジュラーチャリヤ）マナサムによって正弦表の文脈で観察されていた。^{[ 21 ]}

バースカラはまた、惑星の最高点では瞬間速度がゼロであると述べている。^{[ 21 ]}

バースカラの算術テキスト『リーラーヴァティー』は、定義、算術用語、利息計算、等差数列と等比数列、平面幾何学、立体幾何学、日時計の影、不定方程式の解法、組み合わせなどのトピックを扱っています。

リーラーヴァティーは13章からなり、算術、代数、幾何学、そして少しの三角法と測定など、数学の多くの分野を網羅しています。より具体的には、以下の内容が含まれます。

• 定義。
• ゼロの性質（除算、およびゼロを用いた演算規則を含む）。
• 負の数や無理数の使用を含む、さらに広範な数値計算。
• πの推定。
• 算術用語、乗算の方法、および平方。
• 逆三乗法則、および三乗、五乗、七乗、九乗、十一乗の法則。
• 利息および利息計算に関する問題。
• 不定方程式（クッタカ）、整数解（1次および2次）。この分野における彼の貢献は特に重要である。なぜなら、彼が提示した規則は（実質的に） 17世紀のルネサンス期のヨーロッパの数学者たちが提示した規則と同じであるにもかかわらず、彼の研究は12世紀のものであるからである。バースカラの解法は、アーリヤバタやその後の数学者たちの研究に見られる方法を改良したものであった。

彼の研究は、体系化、改良された手法、そして彼が導入した新しいテーマにおいて傑出している。さらに、『リラヴァティ』には優れた問題が数多く含まれており、バースカラの意図は、『リラヴァティ』を学ぶ学生がその手法の機械的な応用に取り組むことだったのではないかと考えられている。

彼の『ビージャガニタ』（「代数学」）は12章からなる著作である。これは、正の数には2つの平方根（正の平方根と負の平方根）があることを認識した最初のテキストである。^{[ 27 ]}彼の著作『ビージャガニタ』は実質的に代数学に関する論文であり、以下のトピックが含まれている。

• 正の数と負の数。
• 「未知数」（未知の量を決定することを含む）。
• 未知量の決定。
• 無理数（無理数とその平方根の評価を含む）。
• クッタカ（不定方程式およびディオファントス方程式を解くための）。
• 単純な方程式（2次、3次、4次の不定式）。
• 未知数が複数ある単純な方程式。
• 不定二次方程式（ ^ax² + b = y²^の形式）。
• 2次、3次、4次の不定方程式の解。
• 二次方程式。
• 未知数が複数ある二次方程式。
• 複数の未知数を含む積の演算。

^{バースカラは、 ax²} + bx + c = yの形の不定二次方程式を解くための循環的チャクラヴァラ法を導出した。 ^{[ 27 ]問題Nx²} + 1 = y² ⁽いわゆる「ペル方程式」)の解を求めるバースカラの方法は非常に重要である。^{[ 23 ]}

シッダーンタ・シロマニ（1150年著）は、正弦表や様々な三角関数間の関係など、バースカラの三角法に関する知識を示している。彼はまた、球面三角法やその他の興味深い三角法の結果も開発した。特にバースカラは、三角法を計算のための道具としてのみ見ていた先人たちよりも、三角法そのものに興味を持っていたようだ。バースカラが示した多くの興味深い結果の中には、18度と36度の角度の正弦の計算や、現在ではよく知られている公式などがある。${\displaystyle \sin \left(a+b\right)}$そして${\displaystyle \sin \left(ab\right)}$。

証拠によれば、バースカラは微分積分学の基礎的な概念をいくつか理解しており、三角法に適用される無限小を扱う方法を考案したと考えられる。^{[ 25 ]}彼の著作には、現代の形式的な証明はなかったものの、ロルの定理の初期の形を示す証拠がある。^{[ 28 ]} バースカラは天文学の著作の中で、無限小法の先駆けと思われる結果を示している。${\displaystyle x\approx y}$それから${\displaystyle \sin(y)-\sin(x)\おおよそ (yx)\cos(y)}$これは、コサインがサインの導関数であることを発見したと解釈できますが、彼は導関数の概念を発展させたわけではありません。^{[ 20 ]}彼の著作には、平均値の定理の特殊なケースの痕跡があります。サインの逆補間の平均値の公式は、後に15世紀にパラメシュヴァラによって、バースカラのリラヴァティの注釈であるリラヴァティ・バーシャで定式化されました。^{[ 26 ]}

複数の著者が、バースカラ2世が図を描き、「見よ！」という一語を述べることでピタゴラスの定理を証明したと述べている。^{[ 35 ] [ 36 ]}バースカラの名前が省略される場合もあり、これはヒンドゥー教の証明と呼ばれ、小学生によく知られている。^{[ 37 ]}

しかし、バースカラ2世は、彼の『ビージャガニタ』の中で、2つの詩とそれに続く散文の注釈を証明の説明に割いている。^{[ 38 ]}

数学史家のキム・プロフカーは 次のように述べている。

これらの詩はおそらく広く知られている伝説の究極的な源泉である... ^{[ 39 ]}

彼女がこれらの詩句のどの部分を意図していたのかは明らかではない。しかし、後者の詩句の後の散文による解説は次のように締めくくられている。

それ以外の場合は、図のその部分をそこに書き記したら、ただ見るだけで十分である。^{[ 39 ]}

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