バースカラ1世

バースカラ（ 600年頃-  680 年頃）（12世紀の数学者バースカラ2世との混同を避けるため、一般的にバースカラ1世と呼ばれる）は、7世紀のインドの数学者、天文学者であり、ゼロを丸で囲んだヒンドゥー-アラビア十進法で数字を書いた最初の人物であり、アーリヤバータの著作の注釈の中で正弦関数のユニークで注目すべき有理近似値を示した。^[3] 629年に書かれたこの注釈、Āryabhaṭīyabhāṣyaは、数学と天文学に関するサンスクリット語で書かれた散文作品として最も古いものの1つである。彼はまた、アーリヤバータ派の流れを汲む天文学の著作2冊、『マハーバースカリヤ（バースカラの大書）』と『ラグバースカリヤ（バースカラの小書）』を著した。^{[3] [4]}

1979年6月7日、インド宇宙研究機関は数学者にちなんで名付けられたバースカラ1号衛星を打ち上げた。 ^[5]

バースカラの生涯については、彼の著作から推測できることを除いてほとんど知られていない。彼は7世紀にインドで生まれ、おそらく天文学者であった。^[6]バースカラ1世は父親から 天文学の教育を受けた。

バースカラの著作には、ヴァッラビ（7世紀のマイトラカ王朝の首都）やシヴァラジャプラなど、インドの地名への言及がある。どちらも現在のインドのグジャラート州、ソーラストラ地方にある。また、グジャラート南部のバルーチや、ハルシャが統治していたパンジャブ東部のタネーサルも言及されている。したがって、バースカラはソーラストラで生まれ、後にアシュマカに移住したと推測するのが妥当だろう。^{[1] [2]}

バースカラ1世は、アーリヤバータの天文学派で最も重要な学者とみなされています。バースカラ1世とブラフマグプタは、インドの数学者の中でも最も有名な2人であり、両者とも分数の研究に多大な貢献をしました。

バースカラ1世の最も重要な数学的貢献は、位取り記数法による数の表現に関するものである。最初の位取り記数法は、バースカラの研究の約500年前にインドの天文学者に知られていた。しかし、これらの数は数字ではなく言葉や寓話で書かれ、詩の形にまとめられていた。たとえば、数1は一度しか存在しないため月で表され、数2は常に対で現れるため翼、双子、または目で表され、数5は（5）感覚で表された。現在の10進法と同様に、これらの言葉は、各数にその位置に対応する10の累乗の係数を割り当てるように並べられており、順序は逆で、大きい累乗が小さい累乗の右側にあるだけであった。

バースカラの記数法は、同じ単語が複数の値（40や400など）を表すことができる単語表現とは対照的に、真に位置に基づいたものでした。^[7]彼は、記数法で与えられた数を、しばしばankair api （「数字で表すとこうなります」）と述べ、その後、小さな円をゼロとして使用して、最初の9つのブラーフミー数字でそれを繰り返して説明しました。しかし、単語システムとは異なり、彼の数字は、今日私たちが行うのとまったく同じように、左から右に降順で書かれました。したがって、少なくとも629年以来、十進法はインドの学者に確実に知られていました。おそらくバースカラがそれを発明したのではなく、サンスクリット語での科学的貢献でブラーフミー数字を公然と使用した最初の人物でした。

バースカラ1世は天文学に関する3つの著作を残した。629年には、アーリヤバータによる詩で書かれた天文学論文『アーリヤバティーヤ』に注釈を付けた。バースカラの注釈はまさに数学を扱った33の詩に言及しており、その中で彼は変数方程式と三角法の公式を検討した。一般的に、彼は単に伝統や便宜に頼るのではなく、数学の規則を証明することを強調した。^[3]

彼の著作『マハーバーシュカリヤ』は、数理天文学に関する 8 つの章に分かれています。第 7 章では、sin x の注目すべき近似式が示されています。

${\displaystyle \sin x\approx {\frac {16x(\pi -x)}{5\pi ^{2}-4x(\pi -x)}},\qquad (0\leq x\leq \pi )}$

彼はこれを Aryabhata に帰属させています。相対誤差は 1.9% 未満 (最大偏差は) であることが明らかになっています。さらに、彼は正弦と余弦の関係、および 90° 未満の角度の正弦と 90°–180°、180°–270°、および 270° を超える角度の正弦の関係を示しています。 ${\displaystyle {\frac {16}{5\pi }}-1\approx 1.859\%}$${\displaystyle x=0}$

さらにバースカラは、現在ペル方程式として知られている方程式の解に関する定理を述べた。例えば、彼は次のような問題を提起した。「数学者よ、8 を掛けると 1 になる平方数とは何か教えてください」。現代の記法で言えば、彼はペル方程式の解（またはペル方程式に関連する解）を求めた。この方程式には x = 1、y = 3、または短く (x,y) = (1,3) という簡単な解があり、そこから (x,y) = (6,17) などのさらなる解を構築できる。 ${\displaystyle 8x^{2}+1=y^{2}}$${\displaystyle y^{2}-8x^{2}=1}$

バースカラは明らかにπが無理数であると信じていた。彼はアルヤバータのπの近似値を支持し、ジャイナ教の数学者の間で一般的な慣習であるπのへの近似値を批判した。^{[3] [2]}${\displaystyle {\sqrt {10}}}$

彼は4つの辺が等しくなく平行でない四辺形について公に議論した最初の数学者であった。 ^[8]

マハーバーシュカリヤは数学的天文学を扱う8章から構成されています。この書では、惑星の経度、惑星と恒星の合、月の満ち欠け、日食と月食、惑星の昇りと沈みなどのテーマを扱っています。^[3]

マハーバーシュカリヤの一部は後にアラビア語に翻訳されました。

• バースカラ1世の正弦近似式
• 天文学者一覧
• インドの数学者一覧

（ケラー（2006a、p. xiii）より）

• MC アパテ。パラメーシュヴァラの注釈付きラグバースカリヤ。アナンダシュラマ、サンスクリットシリーズ第 128 号、プーナ、1946 年。
• ゴヴィンダスヴァーミンのバーシャとパラメシュヴァラの超解説シッダーンタディーピカを備えたバースカラチャーリヤのv.ハリッシュ・マハーバースカリヤ。マドラス政府オリエンタルシリーズ、No. cxxx、1957年。
• KS シュクラ著『マハーバースカリヤ』、英訳、解説・批評注釈、コメントなど付き。ラクナウ大学数学部、1960 年。
• KS Shukla. Laghubhāskarīya、編集および英語への翻訳、解説および批評ノート、コメントなど付き、ラクナウ大学数学天文学部、2012年。
• KSシュクラ。Āryabhaṭa の Āryabhaṭīya、Bhāskara I と Someśvara の解説付き。インド国立科学アカデミー (INSA)、ニューデリー、1999 年。

• H.-W. Alten、A. Djafari Naini、M. Folkerts、H. Schlosser、K.-H. Schlote、H. Wußing: 4000 Jahre 代数。 Springer-Verlag ベルリン ハイデルベルク 2003 ISBN 3-540-43554-9、§3.2.1 
• S. ゴットヴァルト、H.-J.イルゴーズ、K.-H. Schlote (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker。 Verlag Harri Thun、フランクフルトM. 1990 ISBN 3-8171-1164-9 
• G. イフラ:数字の世界史ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ニューヨーク 2000 ISBN 0-471-39340-1 
• ケラー、アガテ（2006a）、数学の種子の解説。第1巻：翻訳：バースカラIのアーリヤバティーヤの数学の章に関する翻訳、バーゼル、ボストン、ベルリン：ビルクハウザー出版社、172ページ、ISBN 3-7643-7291-5。
• ケラー、アガテ（2006b）、数学の種子の解説。第2巻：補足：バースカラIのアーリヤバティーヤの数学の章に関する翻訳、バーゼル、ボストン、ベルリン：ビルクハウザー出版社、206ページ、ISBN 3-7643-7292-3。
• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「バースカラ I」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学