等間隔の数字の列
ブロックの回転コピーを使用して等差数列の公式を 言葉なしで証明します。 等差数列 または 等差 列は、連続する任意の項からその前の項までの差が連続全体にわたって一定で ある数 の 列 です 。一定の差は、その等差数列の公差と呼ばれます。たとえば、5、7、9、11、13、15、… という数列は、公差が 2 の等差数列です。
等差数列の最初の項が で 、連続する要素の公差が である場合 、 数列 ( ) の - 番目の項は次のように表されます。
1つの
1
{\displaystyle a_{1}}
d
{\displaystyle d}
ん
{\displaystyle n}
1つの
ん
{\displaystyle a_{n}}
1つの
ん
=
1つの
1
+ （ ん − 1 ） d 。
{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d.}
等差数列の有限部分は 有限等差数列 と呼ばれ、単に等差数列と呼ばれることもあります。 有限等差数列の 和は 等差数列 と呼ばれます。
歴史 信頼性の定かでない逸話によると、 [1] 小学生の時に カール・フリードリヒ・ガウスは の場合の 1 から までの整数を足す 公式を 、数列の両端の数字を 2 つにグループ化して合計が 101 になるようにし、そのペアの数を掛け合わせることで再発明した。この話が真実かどうかはともかく、ガウスがこの公式を発見した最初の人物というわけではない。同様の規則は古代ではアルキメデス、ヒュプシクレス、ディオファントスが知っていた 。 [ 2 ] 中国 で は 張秋 建 が、インドでは アーリヤバータ 、 ブラフマグプタ 、 バースカラ 2 世 が知っていた。 [3] 中世ヨーロッパでは アルクイン 、 [4] ディクイル 、 [5] フィボナッチ 、 [6] サクロボスコ 、 [7]および トサフィスト として知られる タルムード の匿名の注釈者が知っていた 。 [8] その起源は紀元前5世紀の ピタゴラス学派 にまで遡ると考える人もいます。 [9]
ん （ ん + 1 ）
2
{\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}
ん
{\displaystyle n}
ん = 100
{\displaystyle n=100}
和
合計 2 + 5 + 8 + 11 + 14 の計算。数列を逆にして項ごとに加算すると、結果の数列には 1 つの繰り返し値が含まれます。これは、最初の数字と最後の数字の合計 (2 + 14 = 16) に等しくなります。したがって、16 × 5 = 80 は合計の 2 倍です。
有限等差数列の要素の和は等差級数と呼ばれます 。 たとえば 、 次の和を考えます。
2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40
{\displaystyle 2+5+8+11+14=40}
この合計は、加算される項の数n (ここでは 5)を取り、数列の最初の数と最後の数の合計 (ここでは 2 + 14 = 16) を掛けて 2 で割ることで簡単 に求められます。
ん （
1つの
1
+
1つの
ん
）
2
{\displaystyle {\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}
上記の場合、次の式が得られます。
2 + 5 + 8 + 11 + 14 =
5 （ 2 + 14 ）
2
=
5 × 16
2
= 40.
{\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.}
この式は、 で始まりで終わる 任意の実数の等差数列に適用できます 。たとえば、
1つの
1
{\displaystyle a_{1}}
1つの
ん
{\displaystyle a_{n}}
（
−
3 2
）
+
（
−
1 2
）
+
1 2
=
3
（
−
3 2
+
1 2
）
2
= −
3 2
。
{\displaystyle \left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.}
導出 最初の整数 1+2+...+n の合計を与える公式のアニメーションによる証明。 上記の式を導くには、まず等差級数を 2 つの異なる方法で表現します。
S
ん
= 1つの +
1つの
2
+
1つの
3
+ ⋯ +
1つの
（ ん − 1 ）
+
1つの
ん
{\displaystyle S_{n}=a+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{(n-1)}+a_{n}}
S
ん
= 1つの + （ 1つの + d ） + （ 1つの + 2 d ） + ⋯ + （ 1つの + （ ん − 2 ） d ） + （ 1つの + （ ん − 1 ） d ） 。
{\displaystyle S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +(a+(n-2)d)+(a+(n-1)d).}
項を逆の順序で書き直すと次のようになります。
S
ん
= （ 1つの + （ ん − 1 ） d ） + （ 1つの + （ ん − 2 ） d ） + ⋯ + （ 1つの + 2 d ） + （ 1つの + d ） + 1つの 。
{\displaystyle S_{n}=(a+(n-1)d)+(a+(n-2)d)+\dots +(a+2d)+(a+d)+a.}
2 つの方程式の両辺の対応する項を加算し、両辺を半分にします。
S
ん
=
ん 2
[ 2 1つの + （ ん − 1 ） d ] 。
{\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d].}
この式は次のように簡略化できます。
S
ん
=
ん 2
[ 1つの + 1つの + （ ん − 1 ） d ] 。
=
ん 2
（ 1つの +
1つの
ん
） 。
=
ん 2
（
初期任期
+
最後の学期
） 。
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}[a+a+(n-1)d].\\&={\frac {n}{2}}(a+a_{n}).\\&={\frac {n}{2}}({\text{最初の項}}+{\text{最後の項}}).\end{aligned}}}
さらに、系列の平均値は次のように計算できます 。
S
ん
/
ん
{\displaystyle S_{n}/n}
1つの ¯
=
1つの
1
+
1つの
ん
2
。
{\displaystyle {\overline {a}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.}
この式は、離散一様分布 の平均の式と本質的に同じであり 、等差数列を等確率の結果の集合として解釈します。
製品 初期要素がa 1 、公差が d 、合計要素が n である有限等差数列の要素の 積 は 、閉じた式で決定される。
1つの
1
1つの
2
1つの
3
⋯
1つの
ん
=
1つの
1
（
1つの
1
+ d ） （
1つの
1
+ 2 d ） 。 。 。 （
1つの
1
+ （ ん − 1 ） d ） =
∏
け = 0
ん − 1
（
1つの
1
+ け d ） =
d
ん
Γ
（
1つの
1
d
+ ん
）
Γ
（
1つの
1
d
）
{\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)...(a_{1}+(n-1)d)=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}
ここで、 は ガンマ関数 を表します。 が負またはゼロ
の場合、この式は無効です。
Γ
{\displaystyle \Gamma }
a
1
/
d
{\displaystyle a_{1}/d}
これは、累乗の積が 階乗 で与えられ 、積が
1
×
2
×
⋯
×
n
{\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n}
n
!
{\displaystyle n!}
m
×
(
m
+
1
)
×
(
m
+
2
)
×
⋯
×
(
n
−
2
)
×
(
n
−
1
)
×
n
{\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n}
正の整数 に対しては 次のように与えられる
。
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
n
!
(
m
−
1
)
!
.
{\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}
導出
a
1
a
2
a
3
⋯
a
n
=
∏
k
=
0
n
−
1
(
a
1
+
k
d
)
=
∏
k
=
0
n
−
1
d
(
a
1
d
+
k
)
=
d
(
a
1
d
)
d
(
a
1
d
+
1
)
d
(
a
1
d
+
2
)
⋯
d
(
a
1
d
+
(
n
−
1
)
)
=
d
n
∏
k
=
0
n
−
1
(
a
1
d
+
k
)
=
d
n
(
a
1
d
)
n
¯
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)\\&=\prod _{k=0}^{n-1}d\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({\frac {a_{1}}{d}}+(n-1)\right)\\&=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}\end{aligned}}}
ここで は 上昇階乗 を表します 。
x
n
¯
{\displaystyle x^{\overline {n}}}
複素数 に対して有効な 漸化式により 、
Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}
z
>
0
{\displaystyle z>0}
Γ
(
z
+
2
)
=
(
z
+
1
)
Γ
(
z
+
1
)
=
(
z
+
1
)
z
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z+2)=(z+1)\Gamma (z+1)=(z+1)z\Gamma (z)}
、
Γ
(
z
+
3
)
=
(
z
+
2
)
Γ
(
z
+
2
)
=
(
z
+
2
)
(
z
+
1
)
z
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z+3)=(z+2)\Gamma (z+2)=(z+2)(z+1)z\Gamma (z)}
、 となることによって
Γ
(
z
+
m
)
Γ
(
z
)
=
∏
k
=
0
m
−
1
(
z
+
k
)
{\displaystyle {\frac {\Gamma (z+m)}{\Gamma (z)}}=\prod _{k=0}^{m-1}(z+k)}
正の整数と 正の複素数
の場合。
m
{\displaystyle m}
z
{\displaystyle z}
したがって 、
a
1
/
d
>
0
{\displaystyle a_{1}/d>0}
∏
k
=
0
n
−
1
(
a
1
d
+
k
)
=
Γ
(
a
1
d
+
n
)
Γ
(
a
1
d
)
{\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}
、 そして最後に、
a
1
a
2
a
3
⋯
a
n
=
d
n
∏
k
=
0
n
−
1
(
a
1
d
+
k
)
=
d
n
Γ
(
a
1
d
+
n
)
Γ
(
a
1
d
)
{\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}
例 例1 を例にとると 、 によって与えられる等差数列の 50番目の項までの項の積は
3
,
8
,
13
,
18
,
23
,
28
,
…
{\displaystyle 3,8,13,18,23,28,\ldots }
a
n
=
3
+
5
(
n
−
1
)
{\displaystyle a_{n}=3+5(n-1)}
P
50
=
5
50
⋅
Γ
(
3
/
5
+
50
)
Γ
(
3
/
5
)
≈
3.78438
×
10
98
.
{\displaystyle P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.}
例2 最初の10個の奇数の積は 次のように表される。
(
1
,
3
,
5
,
7
,
9
,
11
,
13
,
15
,
17
,
19
)
{\displaystyle (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)}
1
⋅
3
⋅
5
⋯
19
=
∏
k
=
0
9
(
1
+
2
k
)
=
2
10
⋅
Γ
(
1
2
+
10
)
Γ
(
1
2
)
{\displaystyle 1\cdot 3\cdot 5\cdots 19=\prod _{k=0}^{9}(1+2k)=2^{10}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+10\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}}
= 654,729,075
標準偏差 等差数列の標準偏差は
σ
=
|
d
|
(
n
−
1
)
(
n
+
1
)
12
{\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}
ここで、 は数列の項の数、 は項間の公差です。この式は、 離散一様分布 の標準偏差の式と本質的に同じであり、等差数列を等確率の結果の集合として解釈します。
n
{\displaystyle n}
d
{\displaystyle d}
交差点 任意の2つの二重無限等差数列の交差点は空か別の等差数列のいずれかであり、これは中国剰余定理を使用して見つけることができます 。 二 重 無限等差数列の族内の各数列のペアが空でない交差点を持つ場合、それらすべてに共通する数が存在する、つまり、無限等差数列は ヘリー族を 形成します。 [10] ただし、無限に多くの無限等差数列の交差点は、それ自体が無限数列ではなく、単一の数である可能性があります。
長さの算術部分集合の量 け 集合{1,...,n}の 集合から作成できる 長さの部分集合の数を表し 、 次 のように定義されます。
a
(
n
,
k
)
{\displaystyle a(n,k)}
k
{\displaystyle k}
{
1
,
⋯
,
n
}
{\displaystyle \{1,\cdots ,n\}}
ϕ
(
η
,
κ
)
{\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )}
ϕ
(
η
,
κ
)
=
{
0
if
κ
∣
η
(
[
η
(
mod
κ
)
]
−
2
)
(
κ
−
[
η
(
mod
κ
)
]
)
if
κ
∤
η
{\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )={\begin{cases}0&{\text{if }}\kappa \mid \eta \\\left(\left[\eta \;({\text{mod }}\kappa )\right]-2\right)\left(\kappa -\left[\eta \;({\text{mod }}\kappa )\right]\right)&{\text{if }}\kappa \not \mid \eta \\\end{cases}}}
それから：
a
(
n
,
k
)
=
1
2
(
k
−
1
)
(
n
2
−
(
k
−
1
)
n
+
(
k
−
2
)
+
ϕ
(
n
+
1
,
k
−
1
)
)
=
1
2
(
k
−
1
)
(
(
n
−
1
)
(
n
−
(
k
−
2
)
)
+
ϕ
(
n
+
1
,
k
−
1
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}a(n,k)&={\frac {1}{2(k-1)}}\left(n^{2}-(k-1)n+(k-2)+\phi (n+1,k-1)\right)\\&={\frac {1}{2(k-1)}}\left((n-1)(n-(k-2))+\phi (n+1,k-1)\right)\end{aligned}}}
例えば、算術部分集合 を期待し 、直接数えると9個あることが分かる。これらは
(
n
,
k
)
=
(
7
,
3
)
{\textstyle (n,k)=(7,3)}
a
(
7
,
3
)
=
9
{\textstyle a(7,3)=9}
{
1
,
2
,
3
}
,
{
2
,
3
,
4
}
,
{
3
,
4
,
5
}
,
{
4
,
5
,
6
}
,
{
5
,
6
,
7
}
,
{
1
,
3
,
5
}
,
{
3
,
5
,
7
}
,
{
2
,
4
,
6
}
,
{
1
,
4
,
7
}
.
{\textstyle \{1,2,3\},\{2,3,4\},\{3,4,5\},\{4,5,6\},\{5,6,7\},\{1,3,5\},\{3,5,7\},\{2,4,6\},\{1,4,7\}.}
参照
参考文献
^ Hayes, Brian (2006). 「Gauss's Day of Reckoning」. American Scientist . 94 (3): 200. doi :10.1511/2006.59.200. 2012年1月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年 10月16日 閲覧 。 ^ トロプフケ、ヨハネス (1924)。 解析、ジオメトリの解析 。ウォルター・デ・グルイテル。 3～15ページ。 ISBN 978-3-11-108062-8 。 ^ トロプフケ、ヨハネス (1979)。 算術と代数 。ウォルター・デ・グルイテル。 344–354ページ。 ISBN 978-3-11-004893-3 。 ^ Problems to Sharpen the Young、ジョン・ハドリー、デイヴィッド・シングマスター、 「The Mathematical Gazette」 、 76 、#475（1992年3月）、pp.102–126。 ^ Ross, HE & Knott, BI (2019) Dicuil (9世紀) の三角数と平方数に関する考察、 British Journal for the History of Mathematics 、34:2、79-94、https://doi.org/10.1080/26375451.2019.1598687 ^ シグラー、ローレンス E. (翻訳) (2002)。 フィボナッチのリベルアバチ 。スプリンガー・フェルラーク。 259-260ページ。 ISBN
0-387-95419-8 。
^ Katz, Victor J. (編) (2016). Sourcebook in the Mathematics of Medieval Europe and North Africa . Princeton University Press. pp. 91, 257. ISBN
9780691156859 。
^ スターン、M. (1990)。74.23 中世における等差数列の和の導出。数学雑誌、74(468)、157-159。doi:10.2307/3619368 ^ Høyrup, J. 「知られざる遺産」：忘れ去られた数学的洗練の痕跡。Arch. Hist. Exact Sci. 62, 613–654 (2008). https://doi.org/10.1007/s00407-008-0025-y ^ Duchet、Pierre (1995)、「Hypergraphs」、グラハム、RL; グレッチェル、M. ; L. Lovász (編)、 組合せ論ハンドブック、Vol. 1、2 、アムステルダム: エルゼビア、381–432 ページ、 MR 1373663 特にセクション2.5「Helly Property」の393～394ページを参照してください。
外部リンク
![{\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5623eb3a2ee603f741a2971ba17fe28149c61fec)
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}[a+a+(n-1)d].\\&={\frac {n}{2}}(a+a_{n}).\\&={\frac {n}{2}}({\text{最初の項}}+{\text{最後の項}}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52fc0b115eb3520322146fe69746f34caad8a589)
![{\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )={\begin{cases}0&{\text{if }}\kappa \mid \eta \\\left(\left[\eta \;({\text{mod }}\kappa )\right]-2\right)\left(\kappa -\left[\eta \;({\text{mod }}\kappa )\right]\right)&{\text{if }}\kappa \not \mid \eta \\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b205747ab4840a5349dcd0852dfd3d8b5b630f6)
