2つの力

2 の累乗は、 2 n^という形式の数です。ここでnは整数です。つまり、数2を底とし、整数 n を指数として累乗した結果です。

^指数が負でない2の累乗は整数である: 2 ⁰ = 1、2 1 = 2、そして2 ⁿは2をn回掛け合わせたものである。^{[1] [2]} nが負でない値の場合の2の最初の10の累乗は次の通りである:

1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、...（OEISの配列A000079 ）​​​​​​​​​​​​​​​

比較すると、負の指数を持つ2の累乗は分数です。負の整数nの場合、2 ^{n は}半分をn回掛けたものです。したがって、 nが負である2の累乗の最初のいくつかは、⁠1/2⁠、⁠1/4⁠、⁠1/8⁠、⁠1/16⁠など。それぞれが2 の正の累乗の 逆数であるため、これらは2 の逆累乗と呼ばれることもあります。

2 は2 進数の基本であるため、コンピュータ サイエンスでは 2 の累乗が一般的です。2 進数で表すと、2 の累乗は、 10 進数での 10 の累乗と同様に、常に 100...000 または 0.00...001 という形式になります。

2 のn乗( 2 ⁿ ) は、長さnのバイナリ ワードのビットの配置方法の数です。 ワードは符号なし整数として解釈され、 0 ( 000...000 ₂ )から2 ⁿ − 1  ( 111...111 ₂ ) までの値を表すことができます。 対応する符号付き整数値は、正、負、および 0 になります。符号付き数値表現を参照してください。 いずれにしても、2 の累乗より 1 少ない数が、バイナリ コンピュータの整数の上限になることがよくあります。 その結果、この形式の数値はコンピュータ ソフトウェアで頻繁に使用されます。 たとえば、 8 ビット システムで実行されるビデオ ゲームでは、スコアまたはプレーヤーが保持できるアイテムの数が 255 に制限される場合があります。これは、数値を格納するために8 ビット長のバイトを使用する結果であり、最大値は2 ⁸ − 1 = 255になります。たとえば、オリジナルの『ゼルダの伝説』では、主人公が一度に持ち運べるルピー（ゲームの通貨）は 255 個までに制限されていました。また、ビデオゲーム『パックマン』では、レベル 256 にキル スクリーンが表示されることで有名です。

2 の累乗は、コンピュータのメモリを測定するためによく使用されます。現在、1 バイトは 8 ビット (オクテット)と見なされ、256 個の値 (2 ⁸ )が可能になります。(バイトという用語は、かつては (場合によっては現在でも) 8 ビット単位だけでなく、通常 5 から 32 ビットのビットの集合を意味していました。) 接頭辞kilo は、 byteと組み合わせて、1,024 (2 ^{10 ) を意味する場合があり、伝統的にその意味で使用されてきました。ただし、一般に、}キロという用語は、国際単位系では1,000 (10 ³ )を意味するために使用されています。2 進数の接頭辞は標準化されており、例えばkibi  (Ki) は 1,024 を意味します。ほぼすべてのプロセッサ レジスタのサイズは 2 の累乗であり、32 または 64 が非常に一般的です。

2 の累乗は、他のさまざまな場所でも発生します。多くのディスク ドライブでは、セクター サイズ、トラックあたりのセクター数、および表面あたりのトラック数の少なくとも 1 つが 2 の累乗です。論理ブロック サイズは、ほぼ常に 2 の累乗です。

2 の累乗ではない数字は、ビデオ解像度など、さまざまな状況で発生しますが、多くの場合、2 の累乗 2 つまたは 3 つ、または 2 の累乗から 1 を引いた数の合計または積です。たとえば、640 = 32 × 20、480 = 32 × 15です。言い換えると、これらはかなり規則的なビット パターンを持っています。

2 の累乗より 1 少ない素数はメルセンヌ素数と呼ばれます。たとえば、素数31 は32 (2 ⁵ )より 1 少ないのでメルセンヌ素数です。同様に、 2 の正の累乗より 1大きい素数 ( 257など) はフェルマー素数と呼ばれ、指数自体が 2 の累乗です。分母が 2 の累乗である分数は、二項有理数と呼ばれます。連続する正の整数の合計として表せる数はポライト数と呼ばれ、まさに 2 の累乗ではない数です。

等比数列1、2、4、8、16、32、... (または、2進記数法では、1、10、100、1000、10000、100000、...) は、数論において重要です。『原論』第 IX 巻、命題 36 は、この数列の最初のn項の和が素数 (したがって、前述のようにメルセンヌ素数) である場合、この和にn番目の項を掛けると完全数になることを証明しています。たとえば、数列 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 の最初の 5 項の和は素数です。和 31 に 16 (数列の 5 番目の項) を掛けると 496 になり、これは完全数です。

第 9 巻、命題 35 は、等比級数において、最初の項を数列の 2 番目で最後の項から減算すると、2 番目の項の超過分が最初の項に対して等しいのと同様に、最後の項の超過分もそれ以前のすべての項に対して等しいことを証明しています。 (これは、上記の等比級数の公式を言い換えたものです。) これを等比級数 31、62、124、248、496 (1、2、4、8、16 のすべての項に 31 を掛けたもの) に適用すると、62 から 31 を引くと 31 になり、496 から 31 を引くと 31、62、124、248 の合計になることがわかります。したがって、1、2、4、8、16、31、62、124、248 の数字を足すと 496 になり、さらに、これらはすべて 496 を割り切れる数字です。たとえば、pが496を割り切れるが、これらの数字の中に含まれていないとします。p qが16 × 31に等しい、または 31 とq の比がpと 16 の比と同じであると仮定します。ここでp は16 を割り切れず、そうでなければ 1、2、4、8、16 のいずれかの数になります。したがって、31 はq を割り切れません。また、31 はq を割り切れず、q は496 なので、算術の基本定理によれば、q は16 を割り切れ、1、2、4、8、16 のいずれかの数になります。qを4 とすると、p は124 になりますが、これは不可能です。なぜなら、仮定によりp は1、2、4、8、16、31、62、124、248 のいずれかの数ではないからです。

（OEISの配列A000079）

2 から始まる最後の桁は周期 4 で周期的であり、周期は 2–4–8–6– であり、 4 から始まる最後の 2 つの桁は周期 20 で周期的である。これらのパターンは、一般に、任意の基数に関して、任意の累乗に当てはまる。このパターンは、各パターンの開始点が2 ^kであるところで続き、周期は2 を法として 5 ^kを法とする乗法順序、つまりφ (5 ^k ) = 4 × 5 ^{k −1}である（n を法とする整数の乗法群を参照）。^{[引用が必要]}

（OEISの配列A140300）

^{2 10}の最初のいくつかの累乗は、同じ 1000 の累乗 (10 ³ ) よりもわずかに大きくなります。偏差が 27% 未満の 2 ^{10の累乗値を以下に示します。}

50%の偏差に達するには1024の約17乗、1000の同じ乗数の100%の偏差に達するには1024の約29乗が必要です。^[3]バイナリプレフィックスとIEEE 1541-2002も参照してください。

データ (具体的には整数) とデータのアドレスは同じハードウェアを使用して保存され、データは 1 つ以上のオクテット ( 2 ³ ) に保存されるため、 2 の二重指数が一般的です。最初の 20 個は次のとおりです。

フェルマー数、テトレーション、低級ハイパー演算も参照してください。

4 を超えるこれらの数はすべて 6 で終わります。16 から始まる最後の 2 桁は 4 周期で周期的になり、サイクルは 16–56–36–96– です。また、16 から始まる最後の 3 桁は 20 周期で周期的になります。これらのパターンは、一般に、任意の基数に関して、任意の累乗に当てはまります。このパターンは、各パターンの開始点が2 ^kで、周期が2 を法として 5 ^{k を}法とする乗法順序、つまりφ (5 ^k ) = 4 × 5 ^{k −1}であるところで続きます ( n を法とする整数の乗法群を参照)。^{[出典が必要]}

数との関連で、これらの数はフェルマーの2 乗と呼ばれることがよくあります。

数は無理数列を形成する。すべての正の整数列に対して、数列${\displaystyle 2^{2^{n}}}$${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{i}}x_{i}}}={\frac {1}{2x_{0}}}+{\frac {1}{4x_{1}}}+{\frac {1}{16x_{2}}}+\cdots }$

無理数に収束する。この数列は急速に増加するにもかかわらず、知られている無理数列の中で最もゆっくりと増加する数列である。^[4]

コンピュータのデータ型は2 の累乗のサイズを持つことが一般的であるため、これらの数値はその型の表現可能な値の数を数えます。たとえば、4 バイトで構成される 32 ビット ワードは2 ^{32 の}異なる値を表すことができます。これは単なるビット パターンとみなすこともできますが、より一般的には 0 から2 ³² − 1までの符号なし数値、または-2 ³¹から2 ³¹ − 1までの符号付き数値の範囲として解釈されます。符号付き数値の表現の詳細については、2 の補数を参照してください。

2 ² = 4

2 の平方数。また、2 の 1 乗のテトレーション。

2 ⁸ = 256

バイト内の8ビットによって表される値の数。より具体的にはオクテットと呼ばれます。(バイトという用語は、キロバイトという用語で示されるように、8 ビット量の厳密な定義ではなく、ビットの集合として定義されることが多いです。)

2 ¹⁰ = 1,024

キロバイト、つまり 1,000 乗数の 2 進近似値。これにより接頭辞が変更されます。例: 1,024 バイト= 1 キロバイト(またはキビバイト)。

2 ¹² = 4,096

Intel x86互換プロセッサのハードウェアページサイズ。

2 ¹⁵ = 32,768

符号付き16 ビット整数の非負値の数。

2 ¹⁶ = 65,536

オリジナルのx86プロセッサなどの16ビットプロセッサ上で1ワードで表現できる異なる値の数。^[5]

C#、Java、およびSQLプログラミング言語におけるshort integer変数の最大範囲。Pascalプログラミング言語におけるWordまたはSmallint変数の最大範囲。

4 要素セット上の2 項関係の数。

2 ²⁰ = 1,048,576

メガ、つまり 1,000,000 乗数の 2 進近似値。これによりプレフィックスが変更されます。例: 1,048,576 バイト= 1 メガバイト(またはメビバイト)。

2 ²⁴ = 16,777,216

一般的なコンピュータ モニターで使用されるTrueColorで表示できる固有の色の数。

この数値は、3 チャンネルRGBシステムを使用した結果です。このシステムでは、色は 0 ( 00) から 255 ( FF) までの範囲の 3 つの値 (赤、緑、青) で独立して定義されます。これにより、チャンネルごとに 8 ビット、つまり合計 24 ビットが割り当てられます。たとえば、純粋な黒は#000000、純粋な白は です#FFFFFF。可能なすべての色の空間 16,777,216 は、16 ⁶ (6 桁でそれぞれ 16 個の値が可能)、256 ³ (3 チャンネルでそれぞれ 256 個の値が可能)、または 2 ²⁴ (24 ビットでそれぞれ 2 個の値が可能) で決定できます。

24 ビットレジスタまたはデータ バスを備えたコンピューターにおける最大の符号なし整数またはアドレスのサイズ。

2 ³⁰ = 1,073,741,824

ギガ、つまり 1,000,000,000 の乗数の 2 進近似値。これにより接頭辞が変更されます。たとえば、1,073,741,824バイト= 1 ギガバイト(またはギビバイト) です。

2 ³¹ = 2,147,483,648

符号付き32 ビット整数の非負値の数。Unix時間は 1970 年 1 月 1 日からの秒数で測定されるため、Unix を実行する 32 ビット コンピューターでは、2038 年 1 月 19 日火曜日の 2,147,483,647 秒、つまり UTC の 03:14:07 に終了します。これは2038 年問題として知られている問題です。

2 ³² = 4,294,967,296

32ビットプロセッサ上の1ワードで表現できる異なる値の数。^{[6]または、オリジナルの}x86プロセッサなどの16ビットプロセッサ上のダブルワードで表現できる値の数。^[5]

Java、C#、SQLintプログラミング言語における変数の範囲。

PascalCardinalプログラミング言語の変数またはInteger変数の範囲。

CおよびC++プログラミング言語における長整数変数の最小範囲。

IPv4のIP アドレスの総数。一見大きな数に見えますが、使用可能な 32 ビットIPv4 アドレスの数は使い果たされています(ただし、IPv6アドレスは使い果たされていません)。

GF (4)などの任意の4要素集合に等しい定義域を持つ二項演算の数。

2 ⁴⁰ = 1,099,511,627,776

テラ、つまり 1,000,000,000,000 の乗数の 2 進近似値。これにより接頭辞が変更されます。たとえば、1,099,511,627,776バイト= 1テラバイトまたはテビバイトです。

2 ⁵⁰ = 1,125,899,906,842,624

ペタ、つまり 1,000,000,000,000,000 乗数のバイナリ近似値。1,125,899,906,842,624バイト= 1ペタバイトまたはペビバイト。

2 ⁵³ = 9,007,199,254,740,992

すべての整数値が IEEE倍精度浮動小数点形式で正確に表現できる数値。また、10 進数で数字 9 から始まる最初の 2 の累乗。

2 ⁵⁶ = 72,057,594,037,927,936

廃止された 56 ビットDES対称暗号で使用可能な異なるキーの数。

2 ⁶⁰ = 1,152,921,504,606,846,976

エクサバイト、つまり 1,000,000,000,000,000,000 の乗数の 2 進近似値。1,152,921,504,606,846,976バイト= 1エクサバイトまたはエクスビバイト。

2 ⁶³ = 9,223,372,036,854,775,808

符号付き 64 ビット整数の非負値の数。

2 ⁶³ − 1、プログラミング言語における符号付き 64 ビット整数の一般的な最大値 (正の値の数に相当)。

2 ⁶⁴ = 18,446,744,073,709,551,616

64ビットプロセッサ上の1ワードで表現できる異なる値の数。または、32ビットプロセッサ上のダブルワードで表現できる値の数。または、オリジナルのx86プロセッサなどの16ビットプロセッサ上のクワッドワードで表現できる値の数。^[5]

JavaおよびC#プログラミング言語におけるlong変数の範囲。

Pascalプログラミング言語のInt64またはQWord変数の範囲。

通常、単一の LAN またはサブネットに割り当てられるIPv6 アドレスの合計数。

2 ⁶⁴ − 1 は、チェス盤上の米粒の数です。昔話によると、最初のマス目には米粒が 1 個あり、それに続くマス目はそれぞれ前のマス目の 2 倍の米粒が入っています。このため、この数は「チェス数」と呼ばれることもあります。

2 ^{64 − 1 は、伝説的な 64 枚のディスクを使った}ハノイの塔を完成させるのに必要な移動回数でもあります。

2 ⁶⁸ = 295,147,905,179,352,825,856

すべての 10 進数を含む最初の 2 の累乗。( OEISのシーケンスA137214 )

2 ⁷⁰ = 1,180,591,620,717,411,303,424

ゼッタ、つまり 1,000,000,000,000,000,000,000 乗数の 2 進近似値。1,180,591,620,717,411,303,424バイト= 1ゼタバイト(またはゼビバイト)。

2 ⁸⁰ = 1,208,925,819,614,629,174,706,176

ヨタ、つまり 1,000,000,000,000,000,000,000,000,000 の乗数の 2 進近似値。1,208,925,819,614,629,174,706,176バイト= 1ヨタバイト(またはヨビバイト)。

2 ⁸⁶ = 77,371,252,455,336,267,181,195,264

286^は10進数でゼロを含まない2の最大の累乗であると推測される。^[7]

2 ⁹⁶ = 79,228,162,514,264,337,593,543,950,336

通常、ローカル インターネット レジストリに付与されるIPv6 アドレスの総数。CIDR 表記では、 ISP には/ 32 が付与されます。これは、128-32=96 ビットがアドレスに使用できることを意味します (ネットワーク指定とは対照的)。したがって、アドレスは 2 ⁹⁶個になります。

2 ¹⁰⁸ = 324, 518, 553, 658, 426, 726, 783, 156, 020, 576, 256

10 進数で 9 を含まない 2 の累乗のうち最大のもの。( OEISのシーケンスA035064 )

2 ¹²⁶ = 85, 070, 591, 730, 234, 615 , 865, 843 , 651, 857, 942, 052, 864

連続する等しい数字のペアを含まない、2 の最大の累乗。( OEISのシーケンスA050723 )

2 ¹²⁸ = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456

IPv6で使用可能なIP アドレスの総数。また、固有のユニバーサルユニーク識別子 (UUID)の数。

2 ¹⁶⁸ = 374,144,419,156,711,147,060,143,317,175,368,453,031,918,731,001,856

すべての 10 進数字を含まない 2 の累乗のうち最大のもの（この場合は数字 2 が欠落しています）。（OEISのシーケンスA137214）

2 ¹⁹² = 6,277,101,735,386,680,763,835,789,423,207,666,416,102,355,444,464,034,512,896

AES 192 ビットキー スペース(対称暗号)内の可能な異なるキーの合計数。

2 ²²⁹ = 862,718,293,348,820,473,429,344,482,784,628,181,556,388,621,521,298,319,395,315,527,974,912

2 ^{229 は、} 2 の累乗の中で、その累乗数に対するゼロの数が最も少ない数として知られている最大の累乗数です。メティン・サリヤールは、2 の累乗の 10 進展開では、累乗が大きくなるにつれて、0 から 9 までの各数字が同じ回数出現する傾向があると推測しています。( OEISのシーケンスA330024 )

2 ²⁵⁶ = 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936

AES 256 ビットキー スペース(対称暗号)内の可能な異なるキーの合計数。

2 ^1,024 ≈ 1.79 × 10³⁰⁸

64 ビット IEEE倍精度浮動小数点形式に収まる最大数(したがって、 Microsoft Excelなどの多くのプログラムで表現できる最大数)。

2 ^16,384 ≈ 1.19 × 10 ^4,932

128ビットIEEE4倍精度浮動小数点形式に収まる最大数

2 ^262,144 ≈ 1.61 × 10 ^78,913

256ビットIEEE8倍精度浮動小数点形式に収まる最大数

2 ^82,589,933 ≈ 1.49 × 10 ^24,862,047

2023年6月時点で知られている最大の素数より1つ大きい^{[アップデート]}。^[8]

音楽記譜法では、変更されていない音符の長さはすべて、全音符を2 の累乗で割った値に等しくなります。たとえば、2 分音符(1/2)、4 分音符(1/4)、8 分音符(1/8)、16 分音符(1/16) などです。付点音符やその他の変更された音符の長さは異なります。拍子記号では、小数点の分母として表される小数の拍子単位は、ほとんどの場合 2 の累乗です。

2 つの音程の周波数の比が2 の累乗である場合、それらの音程間の音程は完全なオクターブです。この場合、対応する音符は同じ名前を持ちます。

からの数学的一致は、 平均律の7つの半音の音程と純正律の完全五度、 つまり約0.1%の精度で一致することに密接に関係している。純正五度はピタゴラス音律の基礎であり、 12の純正五度と7オクターブの差はピタゴラスコンマである。^[9]${\displaystyle 2^{7}\approx ({\tfrac {3}{2}})^{12}}$${\displaystyle {\frac {\log 3}{\log 2}}=1.5849\ldots \approx {\frac {19}{12}}}$${\displaystyle 2^{7/12}\approx 3/2}$

すべてのn選択二項係数の合計は2 ⁿに等しくなります。すべてのn桁の 2 進整数の集合を考えてみましょう。その濃度は2 ⁿです。これは、特定のサブセットの濃度の合計でもあります。つまり、1 のない整数のサブセット ( n個の0 と表記される単一の数で構成される)、1 が 1 つのサブセット、2 つの 1 を含むサブセット、など、n個の 1 を含むサブセット ( n個の 1と表記される数で構成される) まで続きます。これらのそれぞれは、nでインデックス付けされた二項係数と、考慮されている 1 の数に等しくなります (たとえば、10 桁でちょうど 3 つの 1 を含む 10 選択 3 二進数が存在します)。

現在、ほぼ完全な数として知られているのは 2 の累乗だけです。

集合aのべき集合の濃度は常に2 | a | です。^ここで、 | a |はaの濃度です。

n次元超立方体の頂点の数は2 ⁿです。同様に、 n次元交差多面体の( n − 1)面の数も2 ⁿであり、 n次元交差多面体が持つx面の数の式は${\displaystyle 2^{x}{\tbinom {n}{x}}.}$

2の累乗の和（ から始まる）は、 ${\displaystyle n}$${\displaystyle 1=2^{0}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}2^{k}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{n-1}=2^{n}-1}$

任意の正の整数です 。${\displaystyle n}$

したがって、累乗の合計は

${\displaystyle 1+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}}$

は、次のように評価するだけで計算できます(これは「チェス番号」です)。 ${\displaystyle 2^{64}-1}$

2 の累乗の逆数の合計は1です。2の2 乗(4 の累乗) の逆数の合計は 1/3 です。

10進数で7から始まる2の最小の自然数は次の通りである^[10]。

${\displaystyle 2^{46}=70\ 368\ 744\ 177\ 664.}$

2 の累乗（1 を除く）は、4 つの平方数の和として 24 通りの方法で表すことができます。2 の累乗は、4 つの平方数の和として表す方法が最も少ない 1 より大きい自然数です。

実多項式として、a ⁿ + b ^{n が}既約 となるのは、 nが2 の累乗である場合に限ります。 （ nが奇数の場合、a ⁿ + b ^{n は}a + bで割り切れます。また、n が偶数だが 2 の累乗でない場合は、n はn = mp（ただしmは奇数）と表すことができ、したがって となり、 a ^p + b ^pで割り切れます。）しかし、複素数の領域では、 n が2 の累乗であっ ても、多項式（n >=1）は常に と因数分解できます 。${\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}}$${\displaystyle a^{2n}+b^{2n}}$${\displaystyle a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)}$

ハフマンコードは、ソースシンボルの確率がすべて2の負の累乗である場合に最適なロスレスデータ圧縮を実現します。 ^[11]

• フェルミ・ディラック素数
• グールドのシーケンス
• 二進対数
• 3つの力
• 10の力