ヴェルシン

通常の正弦関数（語源に関する注記を参照）は、歴史的には正弦関数（ sinus versus ）と対比して、sinus rectus （「ストレート正弦」）と呼ばれることもあった。^{[ 31 ]}これらの用語の意味は、定義の元の文脈である単位円で関数を見れば明らかである。

単位円の垂直弦ABに対して、角度θの正弦(張られる角度Δの半分を表す) は距離AC (弦の半分) です。一方、θの逆正弦は、弦の中心から弧の中心までの距離CDです。したがって、 cos( θ ) (線分OCの長さに等しい) とversin( θ ) (線分CDの長さに等しい) の和は半径OD (長さ 1) になります。このように図示すると、正弦は垂直 ( rectus、文字通り「まっすぐ」) であり、逆正弦は水平 ( versus、文字通り「反対方向、場違い」) であり、どちらもCから円までの距離です。

この図は、ヴェルサインがラテン語で矢を意味するサギッタと呼ばれることがあった理由も示しています。^{[ 17 ] [ 30 ]} 2倍角Δ = 2θの弧ADBを「弓」、弦ABをその「弦」と見なすと、ヴェルサインCDは明らかに「矢の軸」です。 

さらに、正弦を「垂直」、横正弦を「水平」と解釈するのと同様に、sagitta はabscissa (グラフの水平軸)の廃れた同義語でもある。 ^{[ 30 ]}

1821年、コーシーは正弦をsinus versus ( siv )、余弦をcosinus versus ( cosiv )という用語で表した。^{[ 15 ] [ 16 ] [ nb 1 ]}

θがゼロに近づくと、 versin( θ )はほぼ等しい 2 つの量の差となるため、コサインのみの三角関数表を使用するユーザーは、壊滅的な相殺を避けるために、versin を求めるのに非常に高い精度が必要となり、後者の別々の表が便利になります。^{[ 12 ]}電卓やコンピュータを使用しても、丸め誤差があるため、小さなθにはsin ^{2 の}公式を使用することをお勧めします。 

正弦のもう一つの歴史的な利点は、常に非負であるため、その対数は、ゼロとなる単一の角度（θ = 0、2π 、 …）を除いて、あらゆる場所で定義されるということです。したがって、正弦を含む公式の乗算には対数表を使用できます。

実際、プトレマイオスや他のギリシャの著述家が表にした弦とは対照的に、現存する最古の正弦（半弦）値の表は、紀元前3世紀に遡るインドのスーリヤ・シッダーンタから計算されたもので、正弦と逆正弦の値の表（0から90°まで3.75°刻み）であった。^{[ 31 ]}

ベルサインは、プトレマイオスによって導き出された半角公式sin ² ( ⁠ θ / 2 ⁠ ) = ⁠ 1 / 2 ⁠ versin( θ )を適用する際の中間段階として現れ、この公式はそのような表を作成するために使用されました。

特にハバーサインは、天体楕円体上の距離を角度位置（経度や緯度など）からかなり正確に計算するために使用されるハバーサイン公式に現れるため、航海において重要でした（地球の半径と球体に関する問題を参照）。sin 2 ( ⁠ θ / 2 ⁠ )^を直接使用することもできますが、ハバーサインの表があれば、平方根を計算する必要がなくなります。^{[ 12 ]}

ホセ・デ・メンドーサ・イ・リオスによる、後にハバーサインと呼ばれることになるものの初期の使用は、1801年に記録されている。 ^{[ 14 ] [ 32 ]}

ハバーサイン表に相当する最初の英語の表は、1805年にジェームズ・アンドリューによって「自然半弦の平方」という名前で出版された。^{[ 33 ] [ 34 ] [ 17 ]}

1835年、ハバーサイン（自然表記ではhav.、底10の対数表記ではlog. haversineまたはlog. havers.と表記）という用語が、ジェームズ^・インマン^{[ 14 ] [ 36 ] [ 37 ]}によって、航海における応用のために球面^三角法を用いて地球表面上の2点間の距離の計算を簡略化するために、彼の著書『 Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen』の第3版で^{造語された[ 35 ] 。}インマンはまた、バーサインを表す用語としてnat. versineとnat. vers.も使用した^{[ 3 ] 。}

他に高く評価されているハバーサイン表としては、1856年のリチャード・ファーリー^{[ 33 ] [ 38 ]}と1876年のジョン・コールフィールド・ハニングトン^{[ 33 ] [ 39 ]のものがある。}

ハバーサインは航法で引き続き使用されており、近年では新たな応用例も見出されている。例えば、1995年以来、ガウス対数を利用した月面距離のクリアリングに関するブルース・D・スタークの方法^{[ 40 ] [ 41 ]}や、 2014年以来、よりコンパクトな視差縮小法^{[ 29 ]などが挙げられる。}

正弦、正弦、正反弦、およびそれらの逆関数の使用は数世紀前に遡ることができるが、他の5つの余関数の名称ははるかに新しい起源を持つようだ。

バーサイン波形、またはより一般的にはハバーサイン波形の1 周期 ( 0 < θ < 2 π ) は、パルスまたはウィンドウ関数( Hann、Hann-Poisson、Tukey ウィンドウを含む)の形状として信号処理および制御理論でもよく使用されます。これは、ハバーサインの場合、ゼロから1に滑らかに (値と傾きが連続的に) オンになり、再びゼロに戻るためです。^{[ nb 2 ]}これらのアプリケーションでは、 Hann 関数またはレイズド コサイン フィルタと呼ばれます。

これらの関数は、互いに円回転の関係にある。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {versin} (\theta )&=\operatorname {coversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\operatorname {vercosin} \left(\theta +\pi \right)\end{aligned}}}$$

arcversine ( arcversin、arcvers、^{[ 8 ]} avers、^{[ 43 ] [ 44 ]} aver)、arcvercosine (arcvercosin、arcvercos、avercos、avcs)、arccoversine (arccoversin、arccovers、^{[ 8 ]} acovers、^{[ 43 ] [ 44 ]} acvs)、arccovercosine (arccovercosin、arccovercos、acovercos、acvc)、archaversine (archaversin、archav、haversin ⁻¹、^{[ 45 ]} invhav、^{[ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]} ahav、^{[ 43 ] [ 44 ]} ahvs、ahv、hav ^{−1 [ 49 ] [ 50 ]} )、archavercosine (archavercosin、 archavercos、ahvc）、archacoversine（archacoversin、ahcv）、またはarchacovercosine（archacovercosin、archacovercos、ahcc）も存在する。

これらの関数は複素平面に拡張できます。^{[ 42 ] [ 19 ] [ 24 ]}

マクローリン級数：^{[ 24 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {versin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{(2k)!}}\\\operatorname {haversin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{\theta }}=0}$^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )}{\operatorname {exsec} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta )}}&={\frac {2\operatorname {versin} (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}\\[3pt][\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {exsec} (\theta )]\,[\operatorname {coversin} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )]&=\sin(\theta )\cos(\theta )\end{aligned}}}$^{[ 8 ]}