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Jyā、koṭi-jyā、 utkrama-jyā は、インドの数学者と天文学者によって導入された3 つの三角関数です。これらの関数への言及を含む最も古いインドの論文は、Surya Siddhantaです。[1]これらは円弧の関数であり、角度の関数ではありません。Jyā と koti-jyā は、現代の三角関数であるsinとcosineに密接に関連しています。実際、現代の用語「sin」と「cosine」の起源は、サンスクリット語の jyā と koti-jyāにまで遡ります。[1]
意味
「円弧 AB」は、中心が「O」である円の両端が A と B である 円弧を表します。垂直な BM を B から OA に落とすと、次のようになります。
- 円弧AB = BMのjyā
- 弧 AB = OM のkoti-jyā
- 弧 AB = MA のutkrama-jyā
円の半径がRで円弧 AB の長さがsの場合、円弧 AB が O で囲む角度はラジアンで測ると θ = s / Rになります。3 つのインド関数は、現代の三角関数と次のように関連しています。
- jyā ( 弧 AB ) = R sin ( s / R )
- koti-jyā ( 弧 AB ) = R cos ( s / R )
- utkrama-jyā ( arc AB ) = R ( 1 - cos ( s / R ) ) = R versin ( s / R )
用語
円弧は弓に似ているため、サンスクリット語で「弓」を意味するdhanuまたはchapaと呼ばれます。円弧の両端を結ぶ直線は弓の弦に似ており、この線が円の弦です。この弦はサンスクリット語で「弓弦」を意味するjyāと呼ばれ、おそらくヒッパルコスのχορδή を 同じ意味に翻訳したものと思われます[要出典] 。 jīváという単語は、幾何学文献ではjyāの同義語としても使用されています。[2] ある時点で、インドの天文学者と数学者は、弦全体ではなく弦の半分を使用し、半弦を円弧の半分に関連付けると計算がより便利になることに気付きました。[1] [3]半弦はardha-jyāまたはjyā-ardhaと呼ばれました。これらの用語は、「半分」を意味する 修飾語ardha を省略して、再びjyāに短縮されました。
サンスクリット語のkoṭi は「先端、尖端」、特に「弓の曲がった端」の意味を持つ。三角法では、「90° の円弧の補角」を表すようになった。したがって、 koṭi-jyāは「補角円弧のjyā 」である。インドの論文、特に注釈では、 koṭi-jyā はしばしばkojyāと省略される。 koṭiという用語は「直角三角形の辺」も表す。したがって、koṭi-jyā は直角三角形のもう一方のcathetus を意味することもあり、最初の cathetus はjyāである。[説明が必要] [1]
Utkrama は「反転」を意味し、したがって utkrama-jyā は「反転した弦」を意味します。utkrama -jyāの表の値は、jyāの表の値から 逆の順序で半径から要素を減算することによって得られます。[説明が必要]これは実際には[説明が必要]弓と弦の間の矢印であり、したがって「矢印」を意味するbāṇa、iṣu、śaraとも呼ばれています。[1]
中心で 90° の角度を成す円弧は、vritta-pāda (円の四角形) と呼ばれます。各星座は 30° の弧を定義し、3 つの連続する星座はvritta-pādaを定義します。vritta -pādaのjyāは円の半径です。インドの天文学者は、基本円の半径を表すためにtri-jyāという用語を造りました。tri -jyāという用語は「3 つの星座のjyā 」を示しています。半径は、vyāsārdha、viṣkambhārdha、vistarārdhaなどとも呼ばれ、すべて「半径」を意味します。[1]
ある慣例によれば、関数jyāとkoti-jyā はそれぞれ「Rsin」と「Rcos」で表され、単一の単語として扱われます。[1]他の慣例によれば、関数 jyāとkoti-jyā はそれぞれ「Sin」と「Cos」で表されます（通常の正弦関数と余弦関数の最初の文字が小文字であるのとは対照的に、最初の文字は大文字です）。[3]
jyāからsineへ
現代の用語「sine」の起源は、サンスクリット語の「jyā」 [ 4] [5] 、より具体的には同義語の「 jīvá 」に遡る。この用語は中世イスラム数学で採用され、アラビア語で「jība (جيب)」と音訳された。アラビア語は短母音なしで書かれ、借用語として長母音はここでは「yāʾ 」で示されるため、これは同音異義語の「 jaib , jayb (جيب)」と解釈され、「胸」を意味する。このテキストの12世紀の ラテン語翻訳者は、「胸」に相当するラテン語「sinus 」を使用した[6]。jyāがsinusになった とき、類推によりkojyāがco-sinusになったと示唆されている。しかし、中世初期の文献では、コサインはcomplementi sinus「補数の正弦」と呼ばれており、kojyāとの類似性は偶然であることを示唆している。[7]
参照
参考文献
- ^ abcdefg BB ダッタと AN シン (1983)。 「ヒンドゥー三角法」(PDF)。インド科学史ジャーナル。18 (1): 39–108 。2022 年6 月 2 日に取得。
- ^ 辞書編集者によると、これは「弓弦」を意味する同義語だが、文献ではその幾何学的な意味のみが証明されている。モニエ・ウィリアムズ『サンスクリット辞典』（1899年）：「jīvá n.（geom. = jyā）弧の弦、弧の正弦Suryasiddhanta 2.57」; 一般的な形容詞としてのjīváは「生きている、生きている」という意味を持つ（英語のquickと同源）
- ^ ab Glen Van Brummelen (2009).天と地の数学：三角法の初期の歴史。プリンストン大学出版局。pp. 95–97。ISBN 978-0-691-12973-0。
- ^ 「三角関数の名前の由来」。数学博士に聞く。ドレクセル大学。2010 年3 月 2 日閲覧。
- ^ JJ O'Connor および EF Robertson (1996 年 6 月)。「三角関数」。2010 年3 月 2 日閲覧。
- ^さまざまな情報源によると、 sinusの最初の使用は次のいずれかによるものと考えられています。
- プラトン・ティブルティヌスによる1116年のアル・バッターニの天文学の翻訳
- クレモナのジェラルドによる1150 年頃のアル・ホリズミー代数学の翻訳
- ロバート・オブ・チェスターによる1145年のアル・フワーリズミーの表の翻訳
の名を冠した以前の語源については、Maor (1998) の第 3 章を参照。Katx , Victor (2008 年 7 月)
参照。A history of mathematical (3rd ed.)。Boston: Pearson。p. 210 (サイドバー) 。ISBN 978-0321387004。 - ^ 「コサイン」。