部分分数分解

代数学において、有理分数（分子と分母がともに多項式である分数）の部分分数分解または部分分数展開は、分数を多項式（ゼロの場合もある）と、より単純な分母を持つ1つまたは複数の分数との和として表す演算である。^[1]

部分分数分解の重要性は、有理関数を用いた様々な計算のためのアルゴリズムを提供するという点にあり、これには積分^[2]、テイラー級数展開、逆Z変換、逆ラプラス変換の明示的な計算が含まれる。この概念は1702年にヨハン・ベルヌーイとゴットフリート・ライプニッツの両者によって独立に発見された。^[3]

記号では、fとgが多項式である形式の有理分数の部分分数分解は、有理分数の次の表現である。 ${\textstyle {\frac {f(x)}{g(x)}},}$

$${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=p(x)+\sum _{j}{\frac {f_{j}(x)}{g_{j}(x)}}}$$

ここで、 _{p(x)は多項式であり、各jに対して、分母gj} ( x )は既約_{多項式の累乗（つまり、正の次数の多項式に因数分解できない）であり、分子fj} ( x ) はこの既約多項式の次数よりも小さい次数の多項式です。

明示的な計算が関係する場合、結果の説明で「既約多項式」を「二乗なし多項式」に置き換える、より粗い分解が好まれることがよくあります。これにより、多項式因数分解を、計算がはるかに簡単な二乗なし因数分解に置き換えることができます。これはほとんどのアプリケーションで十分であり、入力多項式の係数が整数または有理数である場合に無理係数が導入されるのを防ぎます。

を有理分数 とし、 FとGを体上の 不定元xの一変数多項式とします。部分分数の存在は、次の簡約手順を帰納的に適用することで証明できます。$${\displaystyle R(x)={\frac {F}{G}}}$$

2 つの多項式EとF ₁が 存在し 、 は多項式Pの次数を表します。 $${\displaystyle {\frac {F}{G}}=E+{\frac {F_{1}}{G}},}$$$${\displaystyle \deg F_{1}<\deg G,}$$${\displaystyle \deg P}$

これは、 F のGによるユークリッド除算から直接導かれ、​​ EとF ₁が存在し、${\displaystyle F=EG+F_{1}}$${\displaystyle \deg F_{1}<\deg G.}$

これにより、次のステップでは、${\displaystyle \°F<\°G.}$

および G ₁とG _{2 が}互いに素な多項式で ある場合、およびとなる 多項式およびが存在する 。 ${\displaystyle \°F<\°G,}$$${\displaystyle G=G_{1}G_{2},}$$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$$${\displaystyle {\frac {F}{G}}={\frac {F_{1}}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}}{G_{2}}},}$$$${\displaystyle \deg F_{1}<\deg G_{1}\quad {\text{and}}\quad \deg F_{2}<\deg G_{2}.}$$

これは次のように証明できます。ベズーの恒等式は 、(仮定により、1 はG ₁とG ₂の最大公約数である)となる 多項式CとDの存在を主張します。 $${\displaystyle CG_{1}+DG_{2}=1}$$

DFのユークリッド除算を とすると、となる。 最後の分数の和を共通分母に換算すると、 となり 、 したがって${\displaystyle DF=G_{1}Q+F_{1}}$${\displaystyle \deg F_{1}<\deg G_{1}}$${\displaystyle G_{1}.}$${\displaystyle F_{2}=CF+QG_{2},}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F}{G}}&={\frac {F(CG_{1}+DG_{2})}{G_{1}G_{2}}}={\frac {DF}{G_{1}}}+{\frac {CF}{G_{2}}}\\&={\frac {F_{1}+G_{1}Q}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}-G_{2}Q}{G_{2}}}\\&={\frac {F_{1}}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}}{G_{2}}}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \deg F_{2}<\deg G_{2}.}$${\displaystyle F=F_{2}G_{1}+F_{1}G_{2},}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\deg F_{2}&=\deg(F-F_{1}G_{2})-\deg G_{1}\leq \max(\deg F,\deg( F_{1}G_{2}))-\度 G_{1}\\&<\max(\度 G,\度(G_{1}G_{2}))-\度G_{1}=\度 G_{2}\end{整列}}}$$

前述の分解を帰納的に用いると、 の形の分数が得られる。ここで、Gは既約多項式である。 k > 1の場合、 を用いてさらに分解することができる。既約多項式は平方根のない多項式、つまり、 は多項式とその導関数の最大公約数である。 がGの導関数である場合、ベズーの恒等式はとなる多項式CとD を与える。したがって、を でユークリッド除算すると、となる 多項式とが得られる。と設定すると、が得られる 。${\displaystyle {\frac {F}{G^{k}}},}$${\displaystyle \度 F<\度 G^{k}=k\度 G,}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle CG+DG'=1}$${\displaystyle F=FCG+FDG'.}$${\displaystyle FDG'}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H_{k}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle FDG'=QG+H_{k}}$${\displaystyle \deg H_{k}<\deg G.}$${\displaystyle F_{k-1}=FC+Q,}$$${\displaystyle {\frac {F}{G^{k}}}={\frac {H_{k}}{G^{k}}}+{\frac {F_{k-1}}{G^{k-1}}},}$$${\displaystyle \deg H_{k}<\deg G.}$

を の代わりに でこのプロセスを繰り返すと、最終的に次の定理が導かれます。 ${\displaystyle {\frac {F_{k-1}}{G^{k-1}}}}$${\displaystyle {\frac {F}{G^{k}}}}$

一意性は次のように証明できます。d = max(1 + deg f , deg g )とします。bとa _ijを合わせると、d個の係数を持ちます。分解の形状は、係数ベクトルからd未満の次数の多項式fへの線型写像を定義します。存在証明は、この写像が全射であることを意味します。2 つのベクトル空間は同じ次元を持つため、写像は単射でもあり、これは分解の一意性を意味します。ところで、この証明は、線型代数を通じて分解を計算するアルゴリズムを誘導します。

K が複素数体である場合、代数の基本定理は、すべての p _iが 1 次であり、すべての分子が定数であることを意味します。K が実数体である場合、一部のp i_は2 次である可能性があるため、部分分数分解では、2 次多項式の累乗による線形多項式の商も発生する可能性があります。 ${\displaystyle a_{ij}}$

前述の定理では、「異なる既約多項式」を「導関数と互いに素なペアワイズな多項式」に置き換えることができます。たとえば、p _{i は}gの平方なし因数分解の因数である可能性があります。K が有理数体である場合 (これはコンピュータ代数で典型的に当てはまります) 、これにより、部分分数分解を計算するために 因数分解を最大公約数の計算に置き換えることができます。

記号積分のために、前述の結果は次のように改良される。

これにより、有理関数の原始積分の計算が最後の和の積分に簡略化されます。原始積分は対数の線形結合であるため、 対数部分と呼ばれます。

定理の分解を計算するには、さまざまな方法があります。 1 つの簡単な方法は、エルミート法と呼ばれます。 まず、b は、 fをgでユークリッド除算してすぐに計算され、 deg( f ) < deg( g )の場合に簡約されます。 次に、 deg( c _ij ) < deg( p _i ) であることがわかっているので、各c _{ij を}未知の係数を持つ多項式として記述できます。 定理の分数の合計を共通分母に簡約し、2 つの分子のxの各累乗の係数を等しくすると、未知の係数の目的の (一意の) 値を取得するために解くことができる 線形方程式のシステムが得られます。

2 つの多項式および があり、 α _{n が}異なる定数で、deg P < n である場合、 および を仮定してc _i定数 について解くか、代入するか、xの累乗を含む項の係数を等しくするか、その他の方法で求めることで、部分分数の明示的な表現を得ることができます 。 (これは、未定係数法の変形です。方程式の両辺に Q(x) を掛けると、方程式の片辺は特定の多項式になり、もう片方の辺は未定係数を持つ多項式になります。この等式は、 xの同類の累乗の係数が等しい場合にのみ可能です。これにより、 n 個の未知数 c _{k を}持つ n 個の方程式が生成されます。) ${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle Q(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n})}$$${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha _{1}}}+{\frac {c_{2}}{x-\alpha _{2}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{x-\alpha _{n}}}}$$

ラグランジュ補間と深く関係するより直接的な計算は、 と書くことから成ります 。 ここで は多項式 の導関数です。 の係数はf/gの留数と呼ばれます。 $${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {P(\alpha _{i})}{Q'(\alpha _{i})}}{\frac {1}{(x-\alpha _{i})}}}$$${\displaystyle Q'}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle {\tfrac {1}{x-\alpha _{j}}}}$

このアプローチは他のいくつかのケースを考慮していませんが、それに応じて変更できます。

• すると、多項式長除法を使用してPをQでユークリッド除算する必要があり、P ( x ) = E ( x ) Q ( x ) + R ( x )となり、 deg R < nとなります。これをQ ( x )で割ると、剰余分の部分分数が得られます (定義により、deg R < deg Q を満たします)。${\displaystyle \deg P\geq \deg Q,}$$${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}=E(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)}},}$$
• Q ( x ) に与えられた体上で既約な因数が含まれている場合、分母にそのような因数F ( x ) を持つ各部分分数の分子N ( x ) は、定数としてではなく、 deg N < deg Fの多項式として求める必要があります。たとえば、R上の次の分解を考えます。$${\displaystyle {\frac {x^{2}+1}{(x+2)(x-1)\color {Blue}(x^{2}+x+1)}}={\frac {a}{x+2}}+{\frac {b}{x-1}}+{\frac {\color {OliveGreen}cx+d}{\color {Blue}x^{2}+x+1}}.}$$
• Q ( x ) = ( x − α ) ^r S ( x )かつS ( α ) ≠ 0、つまりα がQ ( x )の重複度 rの根であるとする。部分分数分解では、( x − α )のr乗が部分分数の分母として現れる（分子がゼロになる可能性もある）。例えば、S ( x ) = 1の場合、部分分数分解は次の形式になる。$${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {P(x)}{(x-\alpha )^{r}}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha }}+{\frac {c_{2}}{(x-\alpha )^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{r}}{(x-\alpha )^{r}}}.}$$

この手順の応用例として、(3 x + 5)/(1 − 2 x ) ^{2 は}次のように分解できる。

$${\displaystyle {\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {A}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {B}{(1-2x)}}.}$$

分母を消すと、 3 x + 5 = A + B (1 − 2 x )となります。xのべき乗の係数を展開して等しくすると、

この線形方程式をAとBについて解くと、 A = 13/2、B = −3/2となる。したがって、

$${\displaystyle {\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {13/2}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {-3/2}{(1-2x)}}.}$$

複素数上で、f ( x ) が有理真分数であると仮定し、次のように分解できる。

$${\displaystyle f(x)=\sum _{i}\left({\frac {a_{i1}}{x-x_{i}}}+{\frac {a_{i2}}{(x-x_{i})^{2}}}+\cdots +{\frac {a_{ik_{i}}}{(x-x_{i})^{k_{i}}}}\right).}$$

ローラン級数の一意性 に従って、a _ijは点x _iの周りのg _ij ( x )のローラン展開における項( x − x _i ) ⁻¹の係数、すなわちその留 数$${\displaystyle g_{ij}(x)=(x-x_{i})^{j-1}f(x),}$$ $${\displaystyle a_{ij}=\operatorname {Res} (g_{ij},x_{i}).}$$

これは式によって直接与えられるか 、またはx _{i が}単根である 特別な場合には 、 $${\displaystyle a_{ij}={\frac {1}{(k_{i}-j)!}}\lim _{x\to x_{i}}{\frac {d^{k_{i}-j}}{dx^{k_{i}-j}}}\left((x-x_{i})^{k_{i}}f(x)\right),}$$$${\displaystyle a_{i1}={\frac {P(x_{i})}{Q'(x_{i})}},}$$$${\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}.}$$

部分分数は、実変数 積分学において、有理関数の実数値不定積分を求めるのに用いられる。実有理関数の部分分数分解は、その逆ラプラス変換を求めるのにも用いられる。実数における部分分数分解の応用については、以下を参照のこと。

• 上記の記号積分への応用
• ラプラス変換における部分分数

を実数上の任意の有理関数とする。言い換えると、実多項式関数およびが存在し、 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle q(x)\neq 0}$$${\displaystyle f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}}$$

分子と分母の両方を の主係数で割ることで、一般性を失うことなくが単数であると仮定することができます。代数の基本定理により、次のように書くことができます。 ${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle q(x)}$

$${\displaystyle q(x)=(x-a_{1})^{j_{1}}\cdots (x-a_{m})^{j_{m}}(x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{k_{1}}\cdots (x^{2}+b_{n}x+c_{n})^{k_{n}}}$$

ここで、、、は実数で、、は正の整数です。項はの線形因子であり、その実根に対応します。また、項はの既約な二次因子であり、その複素共役根の ペアに対応します。 ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{m}}$${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{n}}$${\displaystyle b_{i}^{2}-4c_{i}<0}$${\displaystyle j_{1},\dots ,j_{m}}$${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$${\displaystyle (x-a_{i})}$${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle (x_{i}^{2}+b_{i}x+c_{i})}$${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle q(x)}$

の部分分数分解は 次のようになります。 ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}=P(x)+\sum _{i=1}^{m}\sum _{r=1}^{j_{i}}{\frac {A_{ir}}{(x-a_{i})^{r}}}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{r=1}^{k_{i}}{\frac {B_{ir}x+C_{ir}}{(x^{2}+b_{i}x+c_{i})^{r}}}}$$

ここで、P ( x ) は（ゼロの場合もある）多項式であり、A _ir、B _ir、C _irは実定数です。定数を求める方法はいくつかあります。

最も簡単な方法は、共通分母q ( x )を掛けることです。すると、左辺が単にp ( x ) で、右辺の係数が定数A _ir、B _ir、およびC _irの線形表現である多項式方程式が得られます。2 つの多項式が等しいのは、対応する係数が等しい場合のみであるため、同類項の係数を等しくすることができます。このようにして、常に一意の解を持つ線形方程式のシステムが得られます。この解は、線形代数の標準的な方法のいずれかを使用して求めることができます。また、極限を使用して求めることもできます(例 5 を参照)。

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}}$$

ここで、分母は 2 つの異なる線形因子に分割されます。

$${\displaystyle q(x)=x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1)}$$

部分分数分解は次のようになります

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {A}{x+3}}+{\frac {B}{x-1}}}$$

左辺の分母を掛け合わせると多項式の恒等式が得られる。

$${\displaystyle 1=A(x-1)+B(x+3)}$$

この式にx = −3を代入するとA = −1/4となり、x = 1を代入するとB = 1/4となるので、

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {1}{4}}\left({\frac {-1}{x+3}}+{\frac {1}{x-1}}\right)}$$

$${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}}$$

長除算をすると、

$${\displaystyle f(x)=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}}$$

因子x ² − 4 x + 8 は、判別式 (−4) ² − 4×8 = −16が負であるため、実数上では既約である。したがって、実数上の部分分数分解は、次の形になる。

$${\displaystyle {\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}-4x+8}}}$$

x ³ − 4 x ² + 8 xを掛け合わせると、多項式の恒等式が得られる。

$${\displaystyle 4x^{2}-8x+16=A\left(x^{2}-4x+8\right)+\left(Bx+C\right)x}$$

x = 0とすると、16 = 8 Aとなるので、A = 2 となります。x 2 の係数を比較すると、^{4 =} A + B = 2 + Bとなるので、B = 2 となります。線形係数を比較すると、−8 = −4 A + C = −8 + Cとなるので、C = 0 となります。

$${\displaystyle f(x)=1+2\left({\frac {1}{x}}+{\frac {x}{x^{2}-4x+8}}\right)}$$

この分数は複素数を使って完全に分解できます。代数の基本定理によれば、n次複素多項式にはn 個の (複素) 根があります(そのうちのいくつかは重複できます)。2 番目の分数は次のように分解できます。

$${\displaystyle {\frac {x}{x^{2}-4x+8}}={\frac {D}{x-(2+2i)}}+{\frac {E}{x-(2-2i)}}}$$

分母を掛けると次のようになります。

$${\displaystyle x=D(x-(2-2i))+E(x-(2+2i))}$$

この式の両辺のxの係数と定数（ xに関して）の係数を等しくすると、 DとEの2つの線形方程式の系が得られ、その解は次のようになる。

$${\displaystyle D={\frac {1+i}{2i}}={\frac {1-i}{2}},\qquad E={\frac {1-i}{-2i}}={\frac {1+i}{2}}.}$$

したがって、完全な分解が得られます。

$${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}=1+{\frac {2}{x}}+{\frac {1-i}{x-(2+2i)}}+{\frac {1+i}{x-(2-2i)}}}$$

残差法を使用して A、D、E を直接計算することもできます(以下の例 4 も参照)。

この例では、コンピュータ代数システムを参照しない限り、使用する必要がある可能性のあるほぼすべての「トリック」を示しています。

$${\displaystyle f(x)={\frac {x^{9}-2x^{6}+2x^{5}-7x^{4}+13x^{3}-11x^{2}+12x-4}{x^{7}-3x^{6}+5x^{5}-7x^{4}+7x^{3}-5x^{2}+3x-1}}}$$

長除算して分母を因数 分解すると、

$${\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}}$$

部分分数分解は次の形式をとる。

$${\displaystyle {\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{(x-1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}+{\frac {Fx+G}{(x^{2}+1)^{2}}}.}$$

左辺の分母を掛け合わせると多項式の恒等式が得られる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}&2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\[4pt]={}&A\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}+1\right)^{2}+B\left(x-1\right)\left(x^{2}+1\right)^{2}+C\left(x^{2}+1\right)^{2}+\left(Dx+E\right)\left(x-1\right)^{3}\left(x^{2}+1\right)+\left(Fx+G\right)\left(x-1\right)^{3}\end{aligned}}}$$

ここで、係数を計算するために xの異なる値を使用します。

$${\displaystyle {\begin{cases}4=4C&x=1\\2+2i=(Fi+G)(2+2i)&x=i\\0=A-B+C-E-G&x=0\end{cases}}}$$

これを解くと次のようになります:

$${\displaystyle {\begin{cases}C=1\\F=0,G=1\\E=A-B\end{cases}}}$$

これらの値を使用して次のように記述できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}&2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\[4pt]={}&A\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}+1\right)^{2}+B\left(x-1\right)\left(x^{2}+1\right)^{2}+\left(x^{2}+1\right)^{2}+\left(Dx+\left(A-B\right)\right)\left(x-1\right)^{3}\left(x^{2}+1\right)+\left(x-1\right)^{3}\\[4pt]={}&\left(A+D\right)x^{6}+\left(-A-3D\right)x^{5}+\left(2B+4D+1\right)x^{4}+\left(-2B-4D+1\right)x^{3}+\left(-A+2B+3D-1\right)x^{2}+\left(A-2B-D+3\right)x\end{aligned}}}$$

両側の x ⁶とx ⁵の係数を比較すると、次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{cases}A+D=2\\-A-3D=-4\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad A=D=1.}$$

したがって：

$${\displaystyle 2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x=2x^{6}-4x^{5}+(2B+5)x^{4}+(-2B-3)x^{3}+(2B+1)x^{2}+(-2B+3)x}$$

B = 0 となる。したがって部分分数分解は次のように表される。

$${\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {1}{(x-1)}}+{\frac {1}{(x-1)^{3}}}+{\frac {x+1}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}.}$$

あるいは、展開する代わりに、上記の多項式恒等式におけるいくつかの導関数を計算する係数に対する他の線形依存性を得ることもできる。（このために、（x − a）^m p（x）のx = aにおける導関数は、 m > 1の場合にはゼロになり、m = 1の場合にはp（a）だけになることを思い出してください。）例えば、 x = 1 における1次導関数は、${\displaystyle x=1,\imath }$