Analysin Infinitorum の紹介

『無限解析入門』（ラテン語： ^[1] 無限の解析入門）は、レオンハルト・オイラーによる数学解析の基礎をなす。ラテン語で書かれ、1748年に出版されたこの『無限の解析入門』は、第1部に18章、第2部に22章から構成されている。エネストロム番号はE101とE102である。[ ^{2] [3]}

第 1 章では変数と関数の概念について説明します。第 2 章と第 3 章では関数の変換について説明します。第 4 章では有理関数を通じて無限級数を紹介します。

ヘンク・ボスによれば、

この序論は、微分積分学の研究の予備として、解析学と解析幾何学の概念と方法の概要をまとめたものである。[オイラー]はこの概要を、微分や積分を使わずに解析学をできるだけ多く紹介する見事な演習とした。特に、彼は積分に頼ることなく、基本的な超越関数、対数、指数関数、三角関数とその逆関数を紹介した。これは決して簡単なことではなかった。なぜなら、対数は伝統的に双曲線の求積法と結び付けられ、三角関数は円の弧長と結び付けられていたからである。^[4]

オイラーは、正の実数における任意の定数aに対するべき乗 a ^{x を}導入することでこの偉業を成し遂げました。彼は、このようにxを写像することは代数関数ではなく、超越関数であると指摘しました。a > 1 の場合、これらの関数は単調増加し、正の実数を持つ実数直線の全単射を形成します。次に、第 6 章で、各底a は底aの対数と呼ばれる逆関数に対応します。第 7 章で、オイラーは、双曲対数が 1 である数として e を導入します。ここでの参照は、双曲対数の記述を通じて双曲線y = 1/ xの求積法を実行したグレゴワール ド サン ヴァンサンです。第 122 節では、底 e の対数を「自然対数または双曲対数...双曲線の求積法はこれらの対数で表現できるため」としています。ここで、彼は指数級数も示しています。

${\displaystyle \exp(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{z^{k} \over k!}=1+z+{z^{2} \over 2}+{z ^{3} \over 6}+{z^{4} \over 24}+\cdots }$

そして第 8 章では、オイラーは古典的な三角関数を「円から生じる超越量」として扱う準備をしています。彼は単位円を使用し、オイラーの公式を提示しています。第 9 章では、多項式の三項式因数を考察します。第 16 章では、数論のトピックである分割について取り上げます。連分数は第 18 章のトピックです。

カール・ベンジャミン・ボイヤーは1950年の国際数学者会議での講義で、オイラーの『数学入門』とユークリッドの『原論』の影響を比較し、『原論』を古代の最も重要な教科書、 『数学入門』を「現代の最も重要な教科書」と呼んだ。^[5]ボイヤーはまた次のようにも書いている。

オイラーの分析は、無限過程、特に無限級数による関数の研究という現代の正統な学問に近いものです。

本質的に教訓的な作品で、今日の大学の授業で使用されているオリジナルの資料をこれほど多く含んでいるものがあるかどうかは疑わしい...現代の学生が比較的容易に読むことができる...現代の教科書の原型。

英語への最初の翻訳は、1988年に出版されたジョン・D・ブラントンによるものである。^[6] 2番目の翻訳はイアン・ブルースによるもので、オンラインで入手可能である。^[7] Introductioの版のリストは、 V・フレデリック・リッキーによってまとめられている。^[8]

• JC Scriba (2007) 1885 年ドイツ語版MR 715928の 1983 年再版のレビュー

• ドル・ステファネスクMR 1025504
• マルコ・パンサ (2007) MR 2384380
• リカルド・キンテロ・ザズエタ (1999) MR 1823258
• エルンスト・ヘアラー& ゲルハルト・ワナー (1996) 『歴史による分析』、第 1 章、pp 1 ～ 79、Undergraduate Texts in Mathematics #70、ISBN 978-0-387-77036-9 MR 1410751