直角三角形

直角三角形または直角三角形は、直交三角形または長方形三角形と呼ばれることもあり、 2辺が直交し、直角( 1 ⁄ 4回転または 90度) を形成する三角形です。

直角の反対側の辺は斜辺（図の辺）と呼ばれます。直角に隣接する辺は脚（またはカテティ、単数形：カテトゥス）と呼ばれます。辺は、角に隣接し、角と反対の（または反対の）辺として識別され、辺は、角に隣接し、角と反対の辺として識別されます。${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle b}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B.}$

すべての直角三角形は、長方形を対角線に沿って半分に分割したものです。長方形が正方形の場合、その直角三角形の半分は二等辺三角形で、 2 つの辺と 2 つの角が同値です。長方形が正方形でない場合は、直角三角形の半分は不等辺三角形です。

底辺が円の直径で、頂点が円の上にある三角形はすべて直角三角形であり、頂点が直角で、底辺が斜辺です。逆に、直角三角形の外接円は斜辺が直径です。これがタレスの定理です。

直角三角形の 3 辺と斜辺は、ピタゴラスの定理を満たします。つまり、2 辺上の正方形の面積の合計は、斜辺上の正方形の面積です。直角三角形の 3 辺の長さがすべて整数である場合、その三角形はピタゴラス三角形と呼ばれ、その辺の長さはまとめてピタゴラスの三つ組と呼ばれます。 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

直角三角形の辺と角度の関係は、長さと角度の間の計量関係を研究する 三角法を定義し理解するための 1 つの方法を提供します。

直角三角形の3辺はピタゴラスの定理によって関係付けられており、現代の代数記法では次のように表される。

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}$

ここで、は斜辺(直角の反対側の辺)の長さ、および は脚(残りの 2 辺)の長さです。ピタゴラスの定理は、この等式を満たすの整数値です。この定理は古代に証明されており、ユークリッドの『原論』の命題 I.47 です。「直角三角形では、直角を囲む辺の正方形は、直角を含む辺の正方形に等しい。」 ${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a,b,c}$

あらゆる三角形と同様に、面積は底辺の半分と対応する高さの積に等しい。直角三角形では、1辺を底辺とすると、もう1辺は高さとなるため、直角三角形の面積は2辺の積の半分となる。面積は公式で次のように表される 。${\displaystyle T}$

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab}$

ここで、 と は三角形の辺です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

内接円が点で斜辺に接している場合、半周をとすれ ば、面積は次のように表される。 ${\displaystyle AB}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),}$${\displaystyle |PA|=s-a}$${\displaystyle |PB|=s-b,}$

${\displaystyle T=|PA|\cdot |PB|=(s-a)(s-b).}$

この公式は直角三角形にのみ適用されます。^[1]

頂点から斜辺まで直角に高さを引くと、三角形は 2 つの小さな三角形に分割されます。これらの三角形はどちらも元の三角形に相似であり、したがって互いに相似です。このことから、次のことがわかります。

• 斜辺の高さは、斜辺の2つの線分の幾何平均（平均比例）である。 ^{[2] ：243}
• 三角形の各辺は、斜辺と、その辺に隣接する斜辺の部分との平均比例関係にあります。

方程式では、

${\displaystyle f^{2}=de,}$（これは直角三角形の高度定理と呼ばれることもあります）

${\displaystyle b^{2}=ce,}$

${\displaystyle a^{2}=cd}$

ここで、図に示されている通りである。^[3]したがって ${\displaystyle a,b,c,d,e,f}$

${\displaystyle f={\frac {ab}{c}}.}$

さらに、斜辺の高さは直角三角形の辺と次の関係がある^{[4] [5]}

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.}$

この方程式の整数値における解については、ここを参照してください。 ${\displaystyle a,b,c,f,}$

いずれかの辺の高さは、他の辺の高さと一致します。これらは直角の頂点で交差するため、直角三角形の垂心(3 つの高さの交点) は直角の頂点と一致します。

直角三角形の辺と斜辺の内接円の半径は ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}$

外接円の半径は斜辺の長さの半分であり、

${\displaystyle R={\frac {c}{2}}.}$

したがって、円周半径と内接半径の合計は、脚の合計の半分になります。^[6]

${\displaystyle R+r={\frac {a+b}{2}}.}$

片方の脚は内接円で表すことができ、もう片方の脚は次のように表すことができます。

${\displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.}$

辺、半周 、面積、最長の辺の反対側の高さ、外接半径 、内接半径、外接半径、中線を持つ三角形は、次の 6 つのカテゴリのいずれか 1 つが真である場合に限り、直角三角形となります。したがって、これらの各カテゴリは、任意の直角三角形が持つ特性でもあります。 ${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle a\leq b<c}$ ${\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle h_{c}}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c}}$${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}}$

• ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad ({\text{Pythagorean theorem}})}$
• ${\displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)}$
• ${\displaystyle s=2R+r.}$^[7]
• ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.}$^[8]

• ${\displaystyle A}$それらは相補的である。^[9]${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.}$^{[8] [10]}
• ${\displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.}$^{[8] [10]}
• ${\displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.}$^[10]
• ${\displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.}$

• ${\displaystyle T={\frac {ab}{2}}}$
• ${\displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}}$
• ${\displaystyle T=r(2R+r)}$
• ${\displaystyle T={\frac {(2s-c)^{2}-c^{2}}{4}}=s(s-c)}$
• ${\displaystyle T=|PA|\cdot |PB|,}$内接円の最長辺の接点はどこにあるか^[11]${\displaystyle P}$${\displaystyle AB.}$

• ${\displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2}$
• ${\displaystyle r_{a}=s-b=(a-b+c)/2}$
• ${\displaystyle r_{b}=s-a=(-a+b+c)/2}$
• ${\displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2}$
• ${\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c}$
• ${\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
• ${\displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}.}$^[12]

• ${\displaystyle h_{c}={\frac {ab}{c}}}$
• ${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}.}$^{[6] : Prob.954、p.26}
• 1 つの中線の長さは、円周半径に等しくなります。
• 最も短い高さ（角度が最大の頂点からの高さ）は、反対側（最長）の辺を分割する線分の幾何平均です。これが直角三角形の高さの定理です。

• 三角形は半円に内接することができ、その一辺は直径全体と一致する（タレスの定理）。
• 外心は最も長い辺の中点です。
• 最も長い辺は外接円の直径である ${\displaystyle (c=2R).}$
• 外接円は9点円に接する。^[8]
• 垂心は外接円上に位置する。^[6]
• 内心と垂心の間の距離は等しい。^[6]${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$

鋭角の三角関数は、直角三角形の辺の比として定義できます。与えられた角度に対して、この角度と、この角度を基準として上記の定義に従って反対側、隣接、斜辺とラベル付けされた辺で直角三角形を作成できます。これらの辺の比は、選択された特定の直角三角形には依存せず、与えられた角度のみに依存します。これは、このようにして作成されたすべての三角形が相似であるためです。与えられた角度 α に対して、反対側、隣接、斜辺にそれぞれ とのラベルが付けられている場合、三角関数は次のようになります。 ${\displaystyle O,}$ ${\displaystyle A,}$${\displaystyle H,}$

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {O}{H}},\,\cos \alpha ={\frac {A}{H}},\,\tan \alpha ={\frac {O}{A}},\,\sec \alpha ={\frac {H}{A}},\,\cot \alpha ={\frac {A}{O}},\,\csc \alpha ={\frac {H}{O}}.}$

直角三角形の辺の比としての双曲関数の表現については、双曲扇形の双曲三角形を参照してください。

三角関数の値は、特別な角度を持つ直角三角形を使用して、特定の角度に対して正確に評価できます。これには、任意の倍数の三角関数を評価するために使用できる 30-60-90 三角形と、任意の倍数の三角関数を評価するために使用できる二等辺直角三角形または 45-45-90 三角形が含まれます。${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi ,}$${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi .}$

とを2つの正の数ととの調和平均、幾何平均、算術平均とする。直角三角形の辺がとで、斜辺が2つある場合 、[ 13 ^]${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle G,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a>b.}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A,}$

${\displaystyle {\frac {A}{H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi ,\qquad {\frac {a}{b}}=\phi ^{3},}$

は黄金比です。この直角三角形の辺は等比数列になっているので、これはケプラーの三角形です。 ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}{\bigr )}}$

タレスの定理によれば、 が円の直径で が円上の他の点である場合、 はで直角を持つ直角三角形になります。逆に、直角三角形の斜辺は外接円の直径になります。結果として、外接円の中心は直径の中点にあるため、直角の頂点を通る中線は半径であり、外接半径は斜辺の長さの半分になります。 ${\displaystyle BC}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle A.}$

直角三角形の 中線については次の式が成り立ちます。

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.}$

直角三角形の斜辺上の中線は、斜辺の半分に等しいため、三角形を 2 つの二等辺三角形に分割します。

中央線と脚は^{[6]を満たす：p.136、#3110}${\displaystyle m_{a}}$${\displaystyle m_{b}}$

${\displaystyle 4c^{4}+9a^{2}b^{2}=16m_{a}^{2}m_{b}^{2}.}$

直角三角形では、オイラー直線は斜辺上に中線を含みます。つまり、オイラー直線は直角頂点とその頂点の反対側の辺の中点の両方を通ります。これは、直角三角形の垂心、つまり高さの交点が直角頂点にあり、外心、つまり辺の垂直二等分線の交点が斜辺の中点にあるためです。

直角三角形では、内接円の直径は斜辺の半分より小さく、より厳密には斜辺の倍以下である^{[14] ：p.281}${\displaystyle ({\sqrt {2}}-1).}$

直角三角形の脚と斜辺${\displaystyle a,b}$${\displaystyle c,}$

${\displaystyle c\geq {\frac {\sqrt {2}}{2}}(a+b)}$

等式は二等辺三角形の場合のみ成立する。^{[14] : p.282, p.358}

斜辺からの高さが次のように 示される場合${\displaystyle h_{c},}$

${\displaystyle h_{c}\leq {\frac {\sqrt {2}}{4}}(a+b)}$

等式は二等辺三角形の場合のみ成立する。^{[14] : p.282}

頂点から発する長さの線分が斜辺を長さの線分に三等分する場合、^{[2] ：pp. 216–217}${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}c,}$

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.}$

直角三角形は、1つや3つではなく、2つの明確に区別できる内接正方形を持つ唯一の三角形です。^[15]

任意の2つの正の数とが与えられ、と を斜辺 を持つ直角三角形の2つの内接正方形の辺とすると、 ${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$${\displaystyle h>k.}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$${\displaystyle c.}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}.}$

これらの辺と内接円の半径は、同様の式で関係付けられます。 ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}=-{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{h}}+{\frac {1}{k}}.}$

直角三角形の周囲の長さは、内接円と 3 つの外接円の半径の合計に等しくなります。

${\displaystyle a+b+c=r+r_{a}+r_{b}+r_{c}.}$

• 鋭角三角形と鈍角三角形（斜三角形）
• テオドロスの螺旋
• 三角長方形球面三角形

• Weisstein、Eric W.「直角三角形」。MathWorld。
• ウェントワース、ジョージア州 (1895)。幾何学の教科書。Ginn & Co.

ウィキメディア・コモンズには、直角三角形に関連するメディアがあります。

• 直角三角形の計算機 2017-09-30 にWayback Machineでアーカイブされました
• 高度な直角三角形計算機