単振動

力学および物理学において、単振動（ SHMと略されることもある）は、物体が平衡位置からの距離に比例し、平衡位置に向かって作用する復元力によって受ける周期運動の特殊なタイプである。その結果、摩擦やその他のエネルギー散逸によって妨げられない限り無限に続く正弦波で表される振動が生じる。^{[ 1 ]}

単振動はさまざまな運動の数学的モデルとして使用できますが、フックの法則で与えられる線形弾性復元力を受けるばね上の質量の振動がその典型例です。この運動は時間的に正弦波状であり、単一の共振周波数を示します。単振動は、単振り子の運動など、他の現象もモデル化できますが、正確なモデルにするには、振り子の先端にある物体にかかる正味の力が変位に比例する必要があります（それでも、振り子の角度が小さい場合にのみ良い近似となります。小角近似を参照してください）。単振動は分子振動のモデル化にも使用できます。

単純調和運動は、フーリエ解析の手法を用いてより複雑な周期運動を特徴づけるための基礎となる。

直線上を移動する粒子の運動で、その加速度の方向が常に直線上の固定点に向かい、その大きさが固定点からの変位に比例する運動を単振動と呼ぶ。 ^{[ 2 ]}

図には、ばねの一端に重りを取り付けた単振動体が示されています。ばねのもう一方の端は、壁などの剛性のある支持体に接続されています。システムが平衡位置で静止している場合、質量には正味の力が作用しません。しかし、質量が平衡位置から変位すると、ばねはフックの法則に従う復元弾性力を及ぼします。

数学的には、 $${\displaystyle \mathbf {F} =-k\mathbf {x} ,}$$ ここで、Fはばねによって加えられる復元弾性力（SI単位：N）、kはばね定数（N・m ⁻¹）、xは平衡位置からの変位（メートル）です。

単純な機械的調和振動子の場合：

• システムが平衡位置からずれると、フックの法則に従う復元力が働き、システムを直線運動に戻そうとする傾向がある。

質量が平衡位置からずれると、正味の復元力が働きます。その結果、質量は加速して平衡位置に戻り始めます。質量が平衡位置に近づくにつれて、復元力は減少します。平衡位置では、正味の復元力はゼロになります。しかし、x = 0では、復元力によって与えられた加速のため、質量は運動量を持っています。そのため、質量は平衡位置を過ぎてバネを圧縮し続けます。すると、正味の復元力が働き、質量の速度がゼロになるまで減速し、その後再び加速して平衡位置に戻ります。

系にエネルギー損失がない限り、質量は振動を続ける。したがって、単振動は周期運動の一種である。系にエネルギー損失が生じると、質量は減衰振動を示す。

実空間と位相空間のプロットが同一直線上にない場合、位相空間の運動は楕円形になることに注意してください。囲まれた領域は、振幅と最大運動量に依存します。

ニュートン力学では、一次元単振動の場合、定数係数を持つ2階線形常微分方程式である運動方程式は、ニュートンの第2法則とばねに取り付けられた質量に対するフックの法則によって得られます。

$${\displaystyle F_{\mathrm {net} }=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx,}$$ ここで、 mは振動体の慣性質量、 xは平衡位置（または平均位置）からの変位、kは定数（ばねに取り付けられた質量のばね定数）である。

したがって、 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x}$$

上記の微分方程式を解くと、正弦関数となる解が得られます。 ${\displaystyle x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right),}$どこ${\textstyle {\omega }={\sqrt {{k}/{m}}}.}$ 定数の意味${\displaystyle c_{1}}$そして${\displaystyle c_{2}}$簡単に見つけることができます: 設定${\displaystyle t=0}$上記の式を見ると、${\displaystyle x(0)=c_{1}}$、 となることによって${\displaystyle c_{1}}$は粒子の初期位置です。${\displaystyle c_{1}=x_{0}}$その方程式を微分してゼロで評価すると、次のようになります。$\displaystyle {\dot {x}}(0)=\omega c_{2}}$、 となることによって${\displaystyle c_{2}}$は粒子の初期速度を角周波数で割った値である。${\displaystyle c_{2}={\frac {v_{0}}{\omega }}}$したがって、次のように書くことができます。 $${\displaystyle x(t)=x_{0}\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)+{\frac {v_{0}}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right).}$$

この方程式は、次の形式でも表すことができます。 $${\displaystyle x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right),}$$ どこ

• ${\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}}}$
• ${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {c_{2}}{c_{1}}},}$
• ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {c_{2}}{A}},\;\cos \varphi ={\frac {c_{1}}{A}}}$

または同等に

• ${\displaystyle A=|c_{1}+c_{2}i|,}$
• ${\displaystyle \varphi =\arg(c_{1}+c_{2}i)}$

解において、c ₁とc ₂は初期条件によって決定される 2 つの定数です (具体的には、時刻t = 0における初期位置はc ₁であり、初期速度はc ₂ ωです)。原点は平衡位置に設定されます。^[A]これらの定数はそれぞれ運動の物理的意味を持ちます。Aは振幅(平衡位置からの最大変位)、ω = 2 πfは角周波数、φは初期位相です。^[B]

微積分学の手法を用いると、時間の関数としての 速度と加速度を求めることができる。$${\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi ),}$$

• スピード：${\displaystyle {\omega }{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}$
• 最高速度：v = ωA（平衡点において）

$${\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi ).}$$

• 最大加速度：Aω ²（極値点）

定義によれば、質量mの物体が単振動をしている場合、その加速度は変位に正比例する。 $${\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x.}$$ どこ $${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}}$$

ω = 2πfなので、 $${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}},}$$ また、T = 1 / fなので、ここでTは時間周期であり 、$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}.}$$

これらの式は、単振動が等時性であること（周期と周波数が振幅と初期位相に依存しないこと）を示している。

ω ^{2 を}⁠ k / m ⁠で置き換えると、時刻tにおけるシステムの運動エネルギーK は次のようになる。 $${\displaystyle K(t)={\tfrac {1}{2}}mv^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi )={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi ),}$$ そして位置エネルギーは $${\displaystyle U(t)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t-\varphi ).}$$ 摩擦やその他のエネルギー損失がない場合、全機械エネルギーは一定値となる。 $${\displaystyle E=K+U={\tfrac {1}{2}}kA^{2}.}$$

以下の物理システムは、単純調和振動子の例です。

スコッチヨーク

スコッチヨーク機構は、回転運動と直線往復運動の変換に使用できます。直線運動はスロットの形状によって様々な形をとりますが、一定の回転速度を持つ基本的なヨークは、単純な調和振動の直線運動を生み出します。

• フォウルズ、グラント・R.、キャシディ、ジョージ・L. (2005).解析力学（第7 版）. トムソン・ブルックス/コール. ISBN 0-534-49492-7。
• テイラー、ジョン・R. (2005).古典力学. ユニバーシティ・サイエンス・ブックス. ISBN 1-891389-22-X。
• ソーントン、スティーブン・T.、マリオン、ジェリー・B. (2003).粒子と系の古典力学（第5 版）. ブルックス・コール. ISBN 0-534-40896-6。
• ウォーカー、ジェール（2011）。物理学の原理（第9 版）。ニュージャージー州ホーボーケン：ワイリー。ISBN 978-0-470-56158-4。

• HyperPhysicsによる単振動
• Javaによるバネ・質量振動子のシミュレーション
• ばね質量系に関するGeoGebraアプレット。単振動、駆動/減衰振動子、摩擦のあるばね質量系に関する3つのPDFファイルが添付されています。