付加合成

加算合成は、正弦波を足し合わせることで音色を作り出す音響合成技術である。^{[ 1 ] [ 2 ]}

楽器の音色は、フーリエ理論の観点から見ると、複数の倍音または非倍音から構成されていると考えることができます。各倍音は、異なる周波数と振幅を持つ正弦波であり、4つのパラメータを持つアタック、ディケイ、サステイン、リリースのエンベロープ（ADSRエンベロープ）または低周波発振器による変調によって、時間とともに膨張および減衰します。

加算合成は、複数の正弦波発生器の出力を加算することで、最も直接的に音を生成する方式です。代替的な実装方法としては、事前に計算された波形テーブルや逆高速フーリエ変換を用いる方法もあります。

日常生活で耳にする音は、単一の周波数で特徴づけられるものではありません。むしろ、それぞれ振幅の異なる複数の正弦波周波数の和で構成されています。人間はこれらの周波数を同時に聞くことで、その音を認識することができます。これは、「非音楽的」な音（例えば、水しぶきの音、木の葉のざわめきなど）にも、「音楽的」な音（例えば、ピアノの音、鳥のさえずりなど）にも当てはまります。これらのパラメータ（周波数、相対振幅、および相対振幅が時間とともにどのように変化するか）は、音色によって表現されます。フーリエ解析は、音信号全体からこれらの正確な音色パラメータを決定するために使用される手法です。逆に、結果として得られる周波数と振幅のセットは、元の音信号のフーリエ級数と呼ばれます。

音符の場合、その音色の最低周波数は、その音の基本周波数と呼ばれます。簡単に言うと、その音符はその基本周波数で鳴っていると言うことがよくあります（例：「中央のドは261.6 Hzです」）^{[ 3 ]} 。ただし、その音符の音は他にも多くの周波数で構成されています。残りの周波数の集合は、その音の倍音（または、周波数が基本周波数の整数倍である場合は高調波）と呼ばれます。 ^{[ 4 ]}言い換えれば、基本周波数のみが音符のピッチを決定し、倍音は音色を決定します。中央のドを演奏するピアノの倍音は、同じ音を演奏するバイオリンの倍音とはかなり異なります。これが、2つの楽器の音を区別できる理由です。同じ楽器の異なるバージョン（たとえば、アップライトピアノとグランドピアノ）の間にも、音色に微妙な違いがあります。

加算合成は、音のこの特性を利用して、音色をゼロから構築することを目的としています。周波数と振幅が異なる純粋な周波数（正弦波）を加算することで、作り出したい音の音色を正確に定義することができます。

高調波加算合成は、周期関数を共通の基本周波数の整数倍の周波数を持つ正弦波関数の和として表現する方法であるフーリエ級数の概念と密接に関連しています。これらの正弦波は、高調波、倍音、または一般的に部分音と呼ばれます。一般に、フーリエ級数は無限個の正弦波成分を含み、正弦波関数の周波数に上限はなく、直流成分（周波数が0 Hzのもの）を含みます。 加算合成では、人間の可聴範囲外の周波数は省略できます。その結果、加算合成では、可聴範囲内の周波数を持つ有限個の正弦波項のみがモデル化されます。

波形または関数が周期的であるとは、

${\displaystyle y(t)=y(t+P)}$

すべての人々のために${\displaystyle t}$そして一定期間${\displaystyle P}$。

周期関数のフーリエ級数は、数学的に次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left[a_{k}\cos(2\pi kf_{0}t)-b_{k}\sin(2\pi kf_{0}t)\right]\\&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }r_{k}\cos \left(2\pi kf_{0}t+\phi _{k}\right)\\\end{aligned}}}$

どこ

• ${\displaystyle f_{0}=1/P}$は波形の基本周波数であり、周期の逆数に等しい。
• ${\displaystyle a_{k}=r_{k}\cos(\phi _{k})=2f_{0}\int _{0}^{P}y(t)\cos(2\pi kf_{0}t)\,dt,\quad k\geq 0}$
• ${\displaystyle b_{k}=r_{k}\sin(\phi _{k})=-2f_{0}\int _{0}^{P}y(t)\sin(2\pi kf_{0}t)\,dt,\quad k\geq 1}$
• ${\displaystyle r_{k}={\sqrt {a_{k}^{2}+b_{k}^{2}}}}$は​​${\displaystyle k}$第 1 次高調波、
• ${\displaystyle \phi _{k}=\オペレーター名 {atan2} (b_{k},a_{k})}$位相オフセットは${\displaystyle k}$th 次高調波。atan2は4 象限逆正接関数です。

聞こえないDC成分は、${\displaystyle a_{0}/2}$、そして有限の限界を超える周波数を持つすべての成分、${\displaystyle Kf_{0}}$、は、以下の加算合成の式では省略されます。

現代の加算合成の実装は主にデジタル方式である。（基礎となる離散時間理論については、「離散時間方程式」の項を参照のこと。）

録音された音の周波数成分を解析して「正弦波の和」表現を得ることが可能です。この表現は加算合成を使用して再合成できます。音を時間的に変化する正弦波部分音に分解する方法の1つは、短時間フーリエ変換（STFT）に基づくマコーレー・クアティエリ解析です。^{[ 17 ] [ 18 ]}

正弦波表現の合計を変更することで、再合成の前に音色の変化を加えることができます。たとえば、調和音を非調和音に再構成したり、その逆も可能です。音のハイブリッド化、または「モーフィング」は、加算再合成によって実現されています。^{[ 19 ]}

^{加算分析/再合成は、正弦波モデリング[ 20 ]} 、スペクトルモデリング合成（SMS）^{[ 19 ]}、再割り当て帯域幅強化加算サウンドモデル^{[ 21 ]}など、多くの技術で採用されています。加算分析/再合成を実装するソフトウェアには、SPEAR ^{[ 22 ]}、LEMUR、LORIS ^{[ 23 ] 、SMSTools [ 24 ]}、ARSS ^{[ 25 ]などがあります。}

製品

音色フレーム連結を用いた加算合成：

クロスフェードによる連結（シンクラヴィアの場合）

スペクトル包絡線補間による連結（ボーカロイドの場合）

ニューイングランド・デジタル・シンクラヴィアには、サンプルを分析して「音色フレーム」に変換する再合成機能があり、これは加算合成エンジンの一部でした。 1987年に発売されたテクノス・アクセルは、 FFT実装において加算分析／再合成モデルを採用しました。

ボーカルシンセサイザーであるVocaloidは、加算分析/再合成に基づいて実装されています。そのスペクトル音声モデルは、励起プラス共鳴（EpR）モデル^{[ 26 ] [ 27 ]}と呼ばれ、スペクトルモデリング合成（SMS）に基づいて拡張されています。また、そのダイフォン連結合成は、 修正位相ロックボコーダー^{[ 29 ]}（フォルマント処理のための改良された位相ボコーダー） ^{[ 30 ]}と同様のスペクトルピーク処理（SPP）^{[ 28 ]}技術を使用して処理されます。これらの技術を使用すると、純粋な倍音部分音で構成されるスペクトル成分（フォルマント）をサウンドモデリングに適した形式に適切に変換でき、目的のフレーズを構成する短いサンプル（ダイフォンまたは音素）のシーケンスを、異なるサンプル間の挿入された遷移領域で一致する部分音とフォルマントピークをそれぞれ補間することによってスムーズに接続できます。（ダイナミックティンバーも参照）

ケルビン卿の潮汐予測機

ハーモニックシンセサイザー

高調波アナライザー

調和解析はジョセフ・フーリエによって発見され^{[ 42 ]}、彼は1822年に熱伝達の文脈で自身の研究に関する広範な論文を発表しました^{[ 43 ]。}この理論は潮汐予測に早くから応用されました。1876年頃^{[ 44 ]} 、ウィリアム・トムソン（後にケルビン卿として貴族に叙せられる）は機械式の潮汐予測器を製作しました。これは、19世紀にはすでにそう呼ばれていた調和解析器と調和合成器で構成されていました^{[ 45 ] [ 46 ]} 。潮汐測定の解析は、ジェームズ・トムソンの積分機を使用して行われました。得られたフーリエ係数は合成器に入力され、合成器はコードと滑車のシステムを使用して調和正弦波部分音を生成および加算し、将来の潮汐を予測しました。1910年には、音の周期波形の解析のために同様の機械が作られました。^{[ 47 ]}シンセサイザーは組み合わせ波形のグラフを描画し、これは主に解析の視覚的検証に使用された。^{[ 47 ]}

ヘルムホルツ共鳴器

それを利用した音源発生器

ゲオルク・オームは1843年にフーリエの理論を音に適用した。この研究はヘルマン・フォン・ヘルムホルツによって大きく進展し、彼は8年間の研究成果を1863年に発表した。^{[ 48 ]}ヘルムホルツは、音色の心理的知覚は学習の影響を受けるが、感覚的な聴覚は純粋に生理的であると信じていた。^{[ 49 ]}彼は、音の知覚は基底膜の神経細胞からの信号に由来し、これらの細胞の弾性付属器は適切な周波数の純粋な正弦波音によって共鳴振動するという考えを支持した。^{[ 47 ]}ヘルムホルツは、特定の音源には非調和振動モードがあるという1787年のエルンスト・クラドニの発見に同意した。 ^{[ 49 ]}

ルドルフ・ケーニッヒのサウンドアナライザーとシンセサイザー

サウンドシンセサイザー

サウンドアナライザー

ヘルムホルツの時代には、電子増幅は利用できませんでした。倍音部分音による音の合成のために、ヘルムホルツは、倍音の振幅を調整できる電気的に励起された音叉アレイと音響共鳴室を構築しました。 ^{[ 50 ]}少なくとも1862年には構築されていたこれらの装置は、^{[ 50 ]}ルドルフ・ケーニッヒによって改良され、彼は1872年に自身の装置を実演しました。^{[ 50 ]}倍音合成のために、ケーニッヒはウェーブサイレンを基にした大型装置も構築しました。これは空気圧式で、切り抜きトーンホイールを使用しており、倍音の純度が低いと批判されました。^{[ 44 ]}また、パイプオルガンの脛管はほぼ正弦波の波形を持ち、加算合成の方法で組み合わせることができます。^{[ 44 ]}

1938年、重要な新たな裏付け証拠とともに^{[ 51 ]}、人間の声帯は火災警報器のように機能して倍音豊かな音を生成し、それが声道によって濾過されてさまざまな母音の音を生成することが、ポピュラーサイエンス・マンスリー誌で報告された。 ^{[ 52 ]}その頃には、加算方式のハモンドオルガンはすでに市場に出回っていた。初期の電子オルガンメーカーのほとんどは、加算方式のオルガンに必要な複数の発振器を製造するのは費用がかかりすぎると考え、代わりに減算方式のオルガンを作り始めた。^{[ 53 ]} 1940年の無線技術者協会の会議で、ハモンド社の主任フィールドエンジニアは、同社の新しいノバコードについて、「最終的な音は音波を組み合わせることによって構築される」オリジナルのハモンドオルガンとは対照的に、 「減算方式」であると詳しく説明した。^{[ 54 ]}アラン・ダグラスは、 1948年に王立音楽協会に提出した論文で、さまざまな種類の電子オルガンを説明するために、加算方式と減算方式という修飾語を使用した。^{[ 55 ]}加法合成と減法合成という現代的な表現は、彼の 1957 年の著書『音楽の電気的生成』に見られ、その中で彼は音楽の音色を形成する 3 つの方法を「加法合成」、「減法合成」、「その他の組み合わせ形式」というタイトルのセクションで明確に列挙している。^{[ 56 ]}

典型的な現代の加算合成器は、電気信号、アナログ信号、またはデジタルオーディオとして出力を生成します。これは、2000 年頃に普及したソフトウェアシンセサイザーの場合に当てはまります。 ^{[ 57 ]}

加算合成のデジタル実装では、連続時間合成方程式の代わりに離散時間方程式が使用されます。離散時間信号の表記規則では、括弧が使用されます。${\displaystyle y[n]\,}$そして議論${\displaystyle n\,}$整数値のみ可能です。連続時間合成出力の場合${\displaystyle y(t)\,}$十分に帯域制限されていると予想される。サンプリングレートの半分以下または${\displaystyle f_{\mathrm {s} }/2\,}$連続時間表現を直接サンプリングするだけで離散合成方程式が得られます。連続合成出力は、後でデジタル-アナログ変換器を使用してサンプルから再構成できます。サンプリング周期は${\displaystyle T=1/f_{\mathrm {s} }\,}$。

（ ３ ）から始め、

${\displaystyle y(t)=\sum _{k=1}^{K}r_{k}(t)\cos \left(2\pi \int _{0}^{t}f_{k}(u)\ du+\phi _{k}\right)}$

離散的な時間でのサンプリング${\displaystyle t=nT=n/f_{\mathrm {s} }\,}$結果として

${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]&=y(nT)=\sum _{k=1}^{K}r_{k}(nT)\cos \left(2\pi \int _{0}^{nT}f_{k}(u)\ du+\phi _{k}\right)\\&=\sum _{k=1}^{K}r_{k}(nT)\cos \left(2\pi \sum _{i=1}^{n}\int _{(i-1)T}^{iT}f_{k}(u)\ du+\phi _{k}\right)\\&=\sum _{k=1}^{K}r_{k}(nT)\cos \left(2\pi \sum _{i=1}^{n}(Tf_{k}[i])+\phi _{k}\right)\\&=\sum _{k=1}^{K}r_{k}[n]\cos \left({\frac {2\pi }{f_{\mathrm {s} }}}\sum _{i=1}^{n}f_{k}[i]+\phi _{k}\right)\\\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle r_{k}[n]=r_{k}(nT)\,}$は離散時間変動振幅包絡線である

${\displaystyle f_{k}[n]={\frac {1}{T}}\int _{(n-1)T}^{nT}f_{k}(t)\ dt\,}$は離散時間後方差分瞬時周波数である。

これは以下と同等です

${\displaystyle y[n]=\sum _{k=1}^{K}r_{k}[n]\cos \left(\theta _{k}[n]\right)}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{k}[n]&={\frac {2\pi }{f_{\mathrm {s} }}}\sum _{i=1}^{n}f_{k}[i]+\phi _{k}\\&=\theta _{k}[n-1]+{\frac {2\pi }{f_{\mathrm {s} }}}f_{k}[n]\\\end{aligned}}}$すべての人々のために${\displaystyle n>0\,}$^{[ 15 ]}

そして

${\displaystyle \theta _{k}[0]=\phi _{k}.\,}$

• 周波数変調合成
• 減算合成
• 音声合成
• 倍音列（音楽）

• デジタルキーボードのシナジー