逆三角関数

6つの三角関数はいずれも1対1対応ではないため、逆関数を持つためには、それらの関数に何らかの制限を設ける必要があります。したがって、逆関数の計算結果の範囲は、元の関数の定義域の真部分集合（すなわち厳密な部分集合）となります。

例えば、多値関数の意味で関数を使う場合、平方根関数のように${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$定義できる${\displaystyle y^{2}=x,}$機能${\displaystyle y=\arcsin(x)}$は次のように定義される。${\displaystyle \sin(y)=x.}$与えられた実数に対して${\displaystyle x,}$と${\displaystyle -1\leq x\leq 1,}$複数の（実際には可算無限個の）数が存在する${\displaystyle y}$そのため${\displaystyle \sin(y)=x}$; 例えば、${\displaystyle \sin(0)=0,}$だけでなく、${\displaystyle \sin(\pi )=0,}$${\displaystyle \sin(2\pi )=0,}$など。 1 つの値のみが必要な場合は、関数をその主分岐に制限することができます。 この制限により、各${\displaystyle x}$ドメインでは、式${\displaystyle \arcsin(x)}$逆三角関数は、その主値と呼ばれる単一の値のみに評価されます。これらの性質は、すべての逆三角関数に当てはまります。

主要な逆関数を以下の表に示します。

注: 一部の著者はアークセカントの範囲を次のように定義しています(${\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}}}$または${\textstyle \pi \leq y<{\frac {3\pi }{2}}}$）^{[ 12 ]}なぜなら、この領域ではタンジェント関数が非負だからです。これにより、いくつかの計算がより一貫性のあるものになります。たとえば、この範囲を使用すると、${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}},}$一方、範囲では（${\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}}}$または${\textstyle {\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi }$)、私たちは書かなければならない${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))=\pm {\sqrt {x^{2}-1}},}$接線は非負であるため${\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}},}$しかし、${\textstyle {\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi .}$同様の理由で、同じ著者らはアークコセカントの範囲を次のように定義している。${\textstyle (-\pi <y\leq -{\frac {\pi }{2}}}$または${\textstyle 0<y\leq {\frac {\pi }{2}}).}$

各三角関数は引数の実部に関して周期的であり、各区間でその値をすべて2回通過します。${\displaystyle 2\pi$ :}

• サインとコセカントは、周期を${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}}}$（どこ${\displaystyle k}$は整数です)、で終了してください${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$そして、${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$に${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
• コサインとセカントは、${\displaystyle 2\pi k,}$終了${\displaystyle 2\pi k+\pi .}$そして、${\displaystyle 2\pi k+\pi }$に${\displaystyle 2\pi k+2\pi .}$
• Tangent は、${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}},}$ それを終える${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$そしてそれを（順方向に）繰り返す${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$に${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
• コタンジェントは、${\displaystyle 2\pi k,}$それを終える${\displaystyle 2\pi k+\pi ,}$そしてそれを（順方向に）繰り返す${\displaystyle 2\pi k+\pi }$に${\displaystyle 2\pi k+2\pi .}$

この周期性は一般逆数に反映され、${\displaystyle k}$は整数です。

以下の表は、逆三角関数を用いて6つの標準三角関数を含む等式を解く方法を示しています。与えられた値は${\displaystyle \theta ,}$${\displaystyle r,}$${\displaystyle s,}$${\displaystyle x,}$そして${\displaystyle y}$すべて適切な範囲内にあるため、以下の関連する式は明確に定義されます。「ある場合」に注意してください。${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$「」は「ある整数に対して」と言う別の言い方です${\displaystyle k.}$「

シンボル${\displaystyle \,\iff \,}$これは論理等価性であり、左辺が真であれば右辺も真であり、逆に右辺が真であれば左辺も真であることを示します（この概念の詳細と例については、この脚注^{[注1 ]を参照してください）。}

最初の4つの解は、展開すると次のようになります。

例えば、${\displaystyle \cos \theta =-1}$それから${\displaystyle \theta =\pi +2\pi k=-\pi +2\pi (1+k)}$一部の人にとって${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$もし${\displaystyle \sin \theta =\pm 1}$それから${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}+\pi k=-{\frac {\pi }{2}}+\pi (k+1)}$一部の人にとって${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,}$どこ${\displaystyle k}$たとえ${\displaystyle \sin \theta =1}$そしてそれは奇妙でしょう${\displaystyle \sin \theta =-1.}$方程式${\displaystyle \sec \theta =-1}$そして${\displaystyle \csc \theta =\pm 1}$同じ解決策があります${\displaystyle \cos \theta =-1}$そして${\displaystyle \sin \theta =\pm 1,}$それぞれ。上記の方程式のうち、先ほど解いたものを除くすべて（つまり、${\displaystyle \sin }$/${\displaystyle \csc \theta =\pm 1}$そして${\displaystyle \cos }$/${\displaystyle \sec \theta =-1}$）、整数${\displaystyle k}$解の式は一意に決定されます${\displaystyle \theta }$（固定の場合）${\displaystyle r,s,x,}$そして${\displaystyle y}$)

整数パリティの助けを借りて$${\displaystyle \operatorname {Parity} (h)={\begin{cases}0&{\text{if }}h{\text{ is even }}\\1&{\text{if }}h{\text{ is odd }}\\\end{cases}}}$$ 解決策を書くことは可能です${\displaystyle \cos \theta =x}$それは「プラスマイナス」とは関係ありません${\displaystyle \,\pm \,}$シンボル：

${\displaystyle cos\;\theta =x\quad }$かつその場合に限り${\displaystyle \quad \theta =(-1)^{h}\arccos(x)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad }$一部の人にとって${\displaystyle h\in \mathbb {Z} .}$

そして同様に、割線関数についても、

${\displaystyle sec\;\theta =r\quad }$かつその場合に限り${\displaystyle \quad \theta =(-1)^{h}\operatorname {arcsec}(r)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad }$一部の人にとって${\displaystyle h\in \mathbb {Z} ,}$

どこ${\displaystyle \pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)}$等しい${\displaystyle \pi h}$整数${\displaystyle h}$偶数であり、等しい${\displaystyle \pi h+\pi }$奇妙な時。

上記の式は、反射とシフトの恒等式を使用して変換できます。^{[ 13 ]}

これらの公式は、特に以下のことが成り立つことを示唆している。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=-\sin(-\theta )&&=-\sin(\pi +\theta )&&={\phantom {-}}\sin(\pi -\theta )\\&=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&={\phantom {-}}\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\cos \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\cos \theta &={\phantom {-}}\cos(-\theta )&&=-\cos(\pi +\theta )&&=-\cos(\pi -\theta )\\&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\sin \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\tan \theta &=-\tan(-\theta )&&={\phantom {-}}\tan(\pi +\theta )&&=-\tan(\pi -\theta )\\&=-\cot \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cot \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\end{aligned}}}$$

交換する場所${\displaystyle \sin \leftrightarrow \csc ,}$スワッピング${\displaystyle \cos \leftrightarrow \sec ,}$そして交換する${\displaystyle \tan \leftrightarrow \cot }$類似の方程式を与える${\displaystyle \csc ,\sec ,{\text{ and }}\cot ,}$それぞれ。

例えば、等号を使うと${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta ,}$方程式${\displaystyle \cos \theta =x}$変換できる${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=x,}$これにより、方程式の解が得られます。${\displaystyle \;\sin \varphi =x\;}$（どこ${\textstyle \varphi$ :={\frac {\pi }{2}}-\theta } ) を使用する。その解は次のとおりである。 ${\displaystyle \varphi =(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\;{\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} ,}$ これは次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\theta ~=~(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} }$$ 事実を利用して${\displaystyle (-1)^{k}=(-1)^{-k}}$そして代入する${\displaystyle h:=-k}$もう一つの解決策を証明する${\displaystyle \;\cos \theta =x\;}$は： $${\displaystyle \theta ~=~(-1)^{h+1}\arcsin(x)+\pi h+{\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ for some }}h\in \mathbb {Z} .}$$ 代替${\displaystyle \;\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x\;}$上記の式の右辺を で表すために使用できます。${\displaystyle \;\arccos x\;}$の代わりに${\displaystyle \;\arcsin x.\;}$

逆三角関数の三角関数を以下の表に示します。これらはピタゴラスの定理から導き出すことができます。別の方法としては、一辺の長さが 1、もう一辺の長さが 1 の直角三角形の幾何学を考える方法があります。${\displaystyle x,}$次に、ピタゴラスの定理と三角比の定義を適用します。アークセカントとアークコセカントについては、図は次のように仮定していることに注意する価値があります。${\displaystyle x}$は正の値であるため、絶対値と符号（sgn）演算を使用して結果を補正する必要があります。

補角：

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}}$

否定的な議論：

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\end{aligned}}}$

相互的な議論：

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)&\\[0.3em]\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)&\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)-\pi &=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)+\pi &={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x<0\end{aligned}}}$

上記の恒等式は、以下の事実と併用（およびそこから導出）することができる。${\displaystyle \sin }$そして${\displaystyle \csc }$逆数である（つまり${\displaystyle \csc ={\tfrac {1}{\sin }}}$）${\displaystyle \cos }$そして${\displaystyle \sec ,}$そして${\displaystyle \tan }$そして${\displaystyle \cot .}$

正弦表の一部しか持っていない場合に役立つ恒等式：

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(1-2x^{2}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&=\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\\arccos(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(2x^{2}-1\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arccos(x)&=\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right)\\\arccos(x)&=\arcsin \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1{\text{ , from which you get }}\\\arccos &\left({\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}\right)=\arcsin \left({\frac {2x}{1+x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin &\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {sgn}(x)\arcsin(x)\\\arctan(x)&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\\\operatorname {arccot}(x)&=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\end{aligned}}}$

ここで複素数の平方根を用いる場合、正の実部を持つ根（二乗が負の実部を持つ場合は正の虚部を持つ根）を選択します。

上記の表から直接導き出される便利な形式は次のとおりです。

${\displaystyle \arctan(x)=\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\,,{\text{ if }}x\geq 0}$。

それは、${\displaystyle \cos \left(\arctan \left(x\right)\right)={\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}=\cos \left(\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\right)}$。

半角の公式から、${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)={\tfrac {\sin(\theta )}{1+\cos(\theta )}}}$すると、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)\\[0.5em]\arccos(x)&=2\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\right)\,,{\text{ if }}-1<x\leq 1\\[0.5em]\arctan(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle \arctan(u)\pm \arctan(v)=\arctan \left({\frac {u\pm v}{1\mp uv}}\right){\pmod {\pi }}\,,\quad uv\neq 1\,.}$

これは接線加算公式から導き出される。

${\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan(\alpha )\pm \tan(\beta )}{1\mp \tan(\alpha )\tan(\beta )}}\,,}$

許可することによって

${\displaystyle \alpha =\arctan(u)\,,\quad \beta =\arctan(v)\,.}$

zの複素数値に対する導関数は以下のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}\arcsin(z)&{}={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arccos(z)&{}=-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arctan(z)&{}={\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arcsec}(z)&{}={\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccsc}(z)&{}=-{\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\end{aligned}}}$

xの実数値の場合のみ：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec}(x)&{}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc}(x)&{}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\end{aligned}}}$

これらの公式は、三角関数の導関数を用いて導出できます。例えば、${\displaystyle x=\sin \theta }$、 それから${\textstyle dx/d\theta =\cos \theta ={\sqrt {1-x^{2}}},}$それで

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

導関数を積分し、ある一点で値を固定すると、逆三角関数を定積分として表す式が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arccos(x)&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arctan(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arccot}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arcsec}(x)&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\pi +\int _{-x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\operatorname {arccsc}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\int _{-\infty }^{-x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\end{aligned}}}$

xが1に等しい場合、定義域が限定された積分は広義積分となるが、それでも定義は可能である。

正弦関数や余弦関数と同様に、逆三角関数もべき級数を用いて以下のように計算できます。逆正弦の場合、導関数を展開することで級数を導出できます。${\textstyle {\tfrac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}}$二項級数として、項ごとに積分します（上記の積分定義を使用）。逆正接の級数も同様に、導関数を展開することによって導出できます。${\textstyle {\frac {1}{1+z^{2}}}}$等比級数において、上記の積分定義を適用する（ライプニッツ級数を参照）。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}$$ 逆正接のテイラー級数は、逆正接級数またはグレゴリー級数 とも呼ばれます。$${\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i}$$

他の逆三角関数の級数は、上記の関係に従ってこれらを用いて表すことができます。例えば、${\displaystyle \arccos(x)=\pi /2-\arcsin(x)}$、${\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)=\arcsin(1/x)}$など。別のシリーズは次のように与えられます。^{[ 14 ]}

$${\displaystyle 2\left(\arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)\right)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}.}$$

レオンハルト・オイラーは、逆正接関数のテイラー級数よりも速く収束する級数を発見した。

$${\displaystyle \arctan(z)={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.}$$^{[ 15 ]} ( n= 0 の場合の和の項空積ので、1 です。)

あるいは、これは次のように表現できます。

$${\displaystyle \arctan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}{\frac {z^{2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}.}$$

逆正接関数の別の級数は次のように表される。

$${\displaystyle \arctan(z)=i\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\left({\frac {1}{(1+2i/z)^{2n-1}}}-{\frac {1}{(1-2i/z)^{2n-1}}}\right),}$$

どこ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$は虚数単位である。^{[ 16 ]}

zの実数値および複素数値について：

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin(z)\,dz&{}=z\,\arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arccos(z)\,dz&{}=z\,\arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arctan(z)\,dz&{}=z\,\arctan(z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\end{aligned}}}$

実数x ≥ 1 の場合:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}}$

-1と1の間にないすべての実数xについて：

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\end{aligned}}}$

絶対値は、アークセカント関数とアークコセカント関数の負の値と正の値の両方を補正するために必要です。また、 2つの関数の導関数に絶対値が含まれるため、符号関数も必要です。これにより、xの正の値と負の値に対して2つの異なる解が生成されます。これらは、逆双曲線関数の対数定義を使用することでさらに簡略化できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\end{aligned}}}$

arcosh関数の引数の絶対値は、そのグラフの負の半分を作成するため、上記の符号付き対数関数と同一になります。

これらの原始関数はすべて、部分積分と上記に示した単純な微分形式を用いて導出できる。