数学 において、オイラー数は テイラー級数 展開 によって定義される整数 の数列 E n ( OEIS の数列 A122045 ) である。1 コッシュ t = 2 e t + e − t = ∑ n = 0 ∞ E n n ! ⋅ t n 、 {\displaystyle {\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n},} コッシュ （ t ） {\displaystyle \cosh(t)} は双曲線余弦関数 です。オイラー数は、オイラー多項式 の特別な値、すなわち、 E n = 2 n E n （ 1 2 ） 。 {\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}})。}
オイラー数は、正割関数 および双曲線正割 関数のテイラー級数展開に現れる。後者は定義式にある関数である。また、オイラー数は組み合わせ論 、特に偶数個の要素を持つ集合の交代順列 の数を数える際にも現れる。
例 奇数インデックスのオイラー数はすべてゼロ です。偶数インデックスのオイラー数（ OEIS の A028296 列） は符号が交互に変わります。いくつかの値は次のとおりです。
一部の著者は、値がゼロの奇数番目のオイラー数を除外したり、すべての符号を正に変更したりするために、数列のインデックスを再設定しています（ OEIS の数列 A000364 ） 。本稿では、上記の慣例に従います。
第二種スターリング数の観点から 以下の 2 つの式は、オイラー数を第 2 種のスターリング数 で表したものです。[ 1 ] [ 2 ]
E n = 2 2 n − 1 ∑ ℓ = 1 n （ − 1 ） ℓ S （ n 、 ℓ ） ℓ + 1 （ 3 （ 1 4 ） ℓ 。 ¯ − （ 3 4 ） ℓ 。 ¯ ） 、 {\displaystyle E_{n}=2^{2n-1}\sum _{\ell =1}^{n}{\frac {(-1)^{\ell }S(n,\ell )}{\ell +1}}\left(3\left({\frac {1}{4}}\right)^{\overline {\ell {\phantom {.}}}}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{\overline {\ell {\phantom {.}}}}\right),} E 2 n = − 4 2 n ∑ ℓ = 1 2 n （ − 1 ） ℓ ⋅ S （ 2 n 、 ℓ ） ℓ + 1 ⋅ （ 3 4 ） ℓ 。 ¯ 、 {\displaystyle E_{2n}=-4^{2n}\sum _{\ell =1}^{2n}(-1)^{\ell }\cdot {\frac {S(2n,\ell )}{\ell +1}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{\overline {\ell {\phantom {.}}}},} どこS （ n 、 ℓ ） {\displaystyle S(n,\ell )} は第2種スターリング数 を表し、x ℓ 。 ¯ = （ x ） （ x + 1 ） ⋯ （ x + ℓ − 1 ） {\displaystyle x^{\overline {\ell {\phantom {.}}}}=(x)(x+1)\cdots (x+\ell -1)} 上昇階乗 を表します。
再帰として オイラー数は、次の再帰によって定義できます。
E 2 n = − ∑ k = 1 n （ 2 n 2 k ） E 2 （ n − k ） 、 {\displaystyle E_{2n}=-\sum _{k=1}^{n}{\binom {2n}{2k}}E_{2(nk)},}
または同等に
1 = − ∑ k = 1 n （ 2 n 2 k ） E 2 k 、 {\displaystyle 1=-\sum _{k=1}^{n}{\binom {2n}{2k}}E_{2k},}
これらの再帰はどちらも、次の事実を利用することで見つけることができます。
コス （ x ） 秒 （ x ） = 1. {\displaystyle \cos(x)\sec(x)=1.}
2倍の金額として 以下の2つの式は、オイラー数を二重和として表しています[ 3 ]
E 2 n = （ 2 n + 1 ） ∑ ℓ = 0 2 n （ − 1 ） ℓ 1 2 ℓ （ ℓ + 1 ） （ 2 n ℓ ） ∑ q = 0 ℓ （ ℓ q ） （ 2 q − ℓ ） 2 n 、 {\displaystyle E_{2n}=(2n+1)\sum _{\ell =0}^{2n}(-1)^{\ell }{\frac {1}{2^{\ell }(\ell +1)}}{\binom {2n}{\ell }}\sum _{q=0}^{\ell }{\binom {\ell }{q}}(2q-\ell )^{2n},} E 2 n = ∑ k = 0 2 n （ − 1 ） k 1 2 k ∑ ℓ = 0 2 k （ − 1 ） ℓ （ 2 k ℓ ） （ k − ℓ ） 2 n 。 {\displaystyle E_{2n}=\sum _{k=0}^{2n}(-1)^{k}{\frac {1}{2^{k}}}\sum _{\ell =0}^{2k}(-1)^{\ell }{\binom {2k}{\ell }}(k-\ell )^{2n}。}
反復和として オイラー数の明示的な公式は次のとおりです。
E 2 n = 私 ∑ k = 1 2 n + 1 ∑ ℓ = 0 k （ k ℓ ） （ − 1 ） ℓ （ k − 2 ℓ ） 2 n + 1 2 k 私 k k 、 {\displaystyle E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{\ell =0}^{k}{\binom {k}{\ell }}{\frac {(-1)^{\ell }(k-2\ell )^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}},} ここで、i は 虚数単位 を表し、i 2 = −1[ 4 ]
分割ごとの合計として オイラー数E 2 n は 2 n 分割 の和として表すことができる。[ 5 ]
E 2 n = （ 2 n ） ! ∑ 0 ≤ k 1 、 … 、 k n ≤ n （ K k 1 、 … 、 k n ） δ n 、 ∑ m k m （ − 1 2 ! ） k 1 （ − 1 4 ! ） k 2 ⋯ （ − 1 （ 2 n ） ! ） k n 、 {\displaystyle E_{2n}=(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{n,\sum mk_{m}}\left(-{\frac {1}{2!}}\right)^{k_{1}}\left(-{\frac {1}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left(-{\frac {1}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},} また、2 n − 1 の奇数分割に関する和も含まれる。[ 6 ]
E 2 n = （ − 1 ） n − 1 （ 2 n − 1 ） ! ∑ 0 ≤ k 1 、 … 、 k n ≤ 2 n − 1 （ K k 1 、 … 、 k n ） δ 2 n − 1 、 ∑ （ 2 m − 1 ） k m （ − 1 1 ! ） k 1 （ 1 3 ! ） k 2 ⋯ （ （ − 1 ） n （ 2 n − 1 ） ! ） k n 、 {\displaystyle E_{2n}=(-1)^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left(-{\frac {1}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},} どちらの場合もK = k 1 + ··· + k n
（ K k 1 、 … 、 k n ） ≡ K ! k 1 ! ⋯ k n ! {\displaystyle {\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}} は多項係数 です。上記の式のクロネッカーデルタは、 k に関する和をそれぞれ 2 k 1 + 4 k 2 + ··· + 2 nk n = 2 n k 1 + 3 k 2 + ··· + (2 n − 1) k n = 2 n − 1 に制限します。
例えば、
E 10 = 10 ! （ − 1 10 ! + 2 2 ! 8 ! + 2 4 ! 6 ! − 3 2 ! 2 6 ! − 3 2 ! 4 ! 2 + 4 2 ! 3 4 ! − 1 2 ! 5 ） = 9 ! （ − 1 9 ! + 3 1 ! 2 7 ! + 6 1 ! 3 ! 5 ! + 1 3 ! 3 − 5 1 ! 4 5 ! − 10 1 ! 3 3 ! 2 + 7 1 ! 6 3 ! − 1 1 ! 9 ） = − 50 521. {\displaystyle {\begin{aligned}E_{10}&=10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {3}{2!\,4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}\,4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\[6pt]&=9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}\,7!}}+{\frac {6}{1!\,3!\,5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {1}{10!}}+{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac { {10}{1!^{3}\,3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}\,3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\[6pt]&=-50\,521.\end{aligned}}}
決定要因として E 2 n は行列式 によって与えられる
E 2 n = （ − 1 ） n （ 2 n ） ! | 1 2 ! 1 1 4 ! 1 2 ! 1 ⋮ ⋱ ⋱ 1 （ 2 n − 2 ） ! 1 （ 2 n − 4 ） ! 1 2 ! 1 1 （ 2 n ） ! 1 （ 2 n − 2 ） ! ⋯ 1 4 ! 1 2 ! | 。 {\displaystyle {\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}
積分として E 2 n
（ − 1 ） n E 2 n = ∫ 0 ∞ t 2 n コッシュ π t 2 d t = （ 2 π ） 2 n + 1 ∫ 0 ∞ x 2 n コッシュ x d x = （ 2 π ） 2 n ∫ 0 1 ログ 2 n （ タン π t 4 ） d t = （ 2 π ） 2 n + 1 ∫ 0 π / 2 ログ 2 n （ タン x 2 ） d x = 2 2 n + 3 π 2 n + 2 ∫ 0 π / 2 x ログ 2 n （ タン x ） d x = （ 2 π ） 2 n + 2 ∫ 0 π x 2 ログ 2 n （ タン x 2 ） d x 。 {\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{n}E_{2n}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{\cosh {\frac {\pi t}{2}}}}\;dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\cosh x}}\;dx\\[8pt]&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n}\int _{0}^{1}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {\pi t}{4}}\right)\,dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\pi \end{aligned}}
合同関係 W. Zhang [ 7 ] p {\displaystyle p}
（ − 1 ） p − 1 2 E p − 1 ≡ { − 0 モジュール p もし p ≡ 1 モジュール 4 ; − 2 モジュール p もし p ≡ 3 モジュール 4 。 {\displaystyle (-1)^{\frac {p-1}{2}}E_{p-1}\equiv \textstyle {\begin{cases}{\phantom {-}}0\mod p&{\text{if }}p\equiv 1{\bmod {4}};\\-2\mod p&{\text{if }}p\equiv 3{\bmod {4}}.\end{件}}} W. ZhangとZ. Xu [ 8 ] p ≡ 1 （ モジュール 4 ） {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}} α ≥ 1 {\displaystyle \alpha \geq 1}
E ϕ （ p α ） / 2 ≢ 0 （ モジュール p α ） 、 {\displaystyle E_{\phi (p^{\alpha })/2}\not \equiv 0{\pmod {p^{\alpha }}},} どこϕ （ n ） {\displaystyle \phi (n)} はオイラーのトーシェント関数 です。
下限値 オイラー数は、インデックスが大きいほど急速に増加します。なぜなら、下限が
| E 2 n | > 8 n π （ 4 n π e ） 2 n 。 {\displaystyle |E_{2n}|>8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}.}
オイラーのジグザグ数 テイラーシリーズ 秒 x + タン x = タン （ π 4 + x 2 ） {\displaystyle \sec x+\tan x=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)}
∑ n = 0 ∞ A n n ! x n 、 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A_{n}}{n!}}x^{n},} ここでA n はオイラーのジグザグ数 であり、
1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... ( OEIS の シーケンス A000111 ) すべての偶数n に対して、
A n = （ − 1 ） n 2 E n 、 {\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}E_{n},} ここでE n n に対して、
A n = （ − 1 ） n − 1 2 2 n + 1 （ 2 n + 1 − 1 ） B n + 1 n + 1 、 {\displaystyle A_{n}=(-1)^{\frac {n-1}{2}}{\frac {2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1}},} ここで、B n はベルヌーイ数 である。
すべてのn に対して、
A n − 1 （ n − 1 ） ! 罪 （ n π 2 ） + ∑ m = 0 n − 1 A m m ! （ n − m − 1 ） ! 罪 （ m π 2 ） = 1 （ n − 1 ） ! 。 {\displaystyle {\frac {A_{n-1}}{(n-1)!}}\sin {\left({\frac {n\pi }{2}}\right)}+\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {A_{m}}{m!(n-m-1)!}}\sin {\left({\frac {m\pi }{2}}\right)}={\frac {1}{(n-1)!}}.}
参考文献 ↑ Jha, Sumit Kumar (2019). "オイラー数を含むベルヌーイ数の新しい明示的な公式" . Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory . 8 (4): 385– 387. doi : 10.2140/moscow.2019.8.389 . S2CID 209973489 . ↑ Jha, Sumit Kumar (2019年11月15日). 「第2種スターリング数によるオイラー数の新しい明示的な公式」 。 ↑ Wei, Chun-Fu; Qi, Feng (2015). "オイラー数のいくつかの閉じた表現" . Journal of Inequalities and Applications 219. doi : 10.1186/s13660-015-0738-9 . ↑ Tang, Ross (2012-05-11). "An Explicit Formula for the Euler zigzag numbers (Up/down numbers) from power series" (PDF) . Archived (PDF) from the original on 2014-04-09. ↑ Vella, David C. (2008). "ベルヌーイ数とオイラー数の明示的な公式" . Integers . 8 (1): A1. ↑ Malenfant, J. (2011). "Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers". arXiv : 1103.1585 [ math.NT ]. ↑ Zhang, WP (1998). "オイラー数と中心階乗数に関するいくつかの恒等式" (PDF) . Fibonacci Quarterly . 36 (4): 154– 157. doi : 10.1080/00150517.1998.12428950 . 2019年11月23日にオリジナルから アーカイブ (PDF) 。 ↑ Zhang, WP; Xu, ZF (2007). "オイラー数の予想について" . Journal of Number Theory . 127 (2): 283– 291. doi : 10.1016/j.jnt.2007.04.004 . 
![{\displaystyle {\begin{aligned}E_{10}&=10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {3}{2!\,4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}\,4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\[6pt]&=9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}\,7!}}+{\frac {6}{1!\,3!\,5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {1}{10!}}+{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac { {10}{1!^{3}\,3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}\,3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\[6pt]&=-50\,521.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eebe65e17bf7a388a247283db84ec59f60ed065)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{n}E_{2n}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{\cosh {\frac {\pi t}{2}}}}\;dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\cosh x}}\;dx\\[8pt]&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n}\int _{0}^{1}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {\pi t}{4}}\right)\,dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\pi \end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1628941c1d84b5ab1f5475623da7fc2d24469b03)
