リサージュ曲線

リサジュー曲線 / ˈ l ɪ s ə ʒ uː /は、リサジュー図形またはボウディッチ曲線 / ˈ b aʊ d ɪ tʃ /とも呼ばれ、パラメトリック方程式のシステムのグラフです。

${\displaystyle x=A\sin(at+\delta ),\quad y=B\sin(bt),}$

これは、異なる角周波数 ( aとb)の x 方向と y 方向の 2 つの直交振動の重ね合わせを表します。結果として生じる曲線族は、 1815 年にNathaniel Bowditchによって調査され、その後 1857 年にJules Antoine Lissajous (この曲線は彼にちなんで命名されました) によってさらに詳細に調査されました。このような運動は、特定の種類の複素調和運動と見なすことができます。

図形の見た目は比率に敏感である⁠1つの/b⁠。比が 1 の場合、頻度が a=b に一致すると図形は楕円になり、特殊なケースでは円( A = B、 δ = ⁠π/2⁠ ラジアン）と直線（ δ = 0）です。周波数の1つに小さな変化があると、1サイクル後のx振動がy運動とわずかに同期しなくなり、楕円は閉じることができず、次の軌道中にわずかに隣接する曲線を描き、楕円の歳差運動として表示されます。周波数が整数比の場合、パターンは閉じます。つまり、 ⁠1つの/b⁠ は合理的です。

もう一つの単純なリサジュー図形は放物線（⁠b/1つの⁠ = 2、 δ = ⁠π/4⁠）。再び、比率 2 から 1 つの周波数をわずかにシフトすると、トレースは閉じず、比率が前と同じように有理数である場合にのみ閉じる複数のループが連続してシフトされます。複雑で密なパターンが形成される場合があります (以下を参照)。

このような曲線の視覚的な形は、多くの場合、3 次元の結び目を連想させます。実際、リサジュー結び目として知られるものを含む多くの種類の結び目が、リサジュー図形として平面に投影されます。

視覚的に見ると、比率⁠1つの/b⁠ は図形の「葉」の数を決定します。たとえば、 ⁠の比率は3/1⁠または⁠1/3⁠ は、 3つの主要な葉を持つ図形を生成します（画像を参照）。同様に、⁠の比率は、5/4⁠ は、 5 つの水平ローブと 4 つの垂直ローブを持つ図形を生成します。有理比は閉じた (接続された) または「静止した」図形を生成しますが、無理比は回転しているように見える図形を生成します。比率⁠あ/B⁠ は曲線の相対的な幅と高さの比率を決定します。たとえば、 ⁠の比率は2/1⁠ は、高さの 2 倍の幅の図形を生成します。最後に、δの値によって、図形の見かけの「回転」角度が決定され、実際に 3 次元曲線であるかのように表示されます。たとえば、δ = 0では、x 成分とy成分が正確に同位相になり、結果として得られる図形は、正面 (0°) から見た 3 次元図形のように見えます。対照的に、 δ がゼロ以外の場合は、図形が回転しているように見えます (比率に応じて、左右または上下に回転しているように見えます) 。1つの/b⁠）。

リサージュ図形、a = 1、b = N（Nは自然数）であり、

${\displaystyle \delta ={\frac {N-1}{N}}{\frac {\pi }{2}}}$

は、 N次の第一種チェビシェフ多項式です。この性質を利用して、パドヴァ点と呼ばれる点の集合を生成します。パドヴァ点では、関数をサンプリングして、領域[−1,1]×[−1,1]上の関数の2変量補間または求積法を計算することができます。

いくつかのリサジュー曲線とチェビシェフ多項式の関係は、それぞれのリサジュー曲線を生成するリサジュー曲線を正弦関数ではなく余弦関数を使用して表現すると、より明確に理解できるようになります。

${\displaystyle x=\cos(t),\quad y=\cos(Nt)}$

アニメーションは、継続的に増加する曲線の適応を示しています。1つの/b⁠ 0から1までの0.01刻みの分数（ δ = 0）。

以下は、奇数の自然数 a、偶数の自然数 b、および| a − b | = 1 の場合のリサージュ図形の例です。

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  δ = ⁠π/2⁠、 a = 1、 b = 2 (1:2)
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  δ = ⁠π/2⁠、 a = 3、 b = 2 (3:2)
• 
  δ = ⁠π/2⁠、 a = 3、 b = 4 (3:4)
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  δ = ⁠π/2⁠、 a = 5、 b = 4（5：4）
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  リサージュ図形：さまざまな周波数関係と位相差

現代の電子機器が登場する以前は、リサージュ曲線はハーモノグラフによって機械的に生成できました。

リサージュ曲線は、オシロスコープを使用して生成することもできます(図を参照)。オクトパス回路を使用して、オシロスコープの波形イメージを表示できます。位相シフトされた 2 つの正弦波入力が XY モードでオシロスコープに適用され、信号間の位相関係がリサージュ図として表示されます。

プロフェッショナルオーディオの世界では、この方法はステレオオーディオ信号の左チャンネルと右チャンネル間の位相関係をリアルタイムで分析するために使用されます。より大型で高度なオーディオミキシングコンソールには、この目的のためにオシロスコープが組み込まれている場合があります。

オシロスコープでは、xが CH1、yが CH2、Aが CH1 の振幅、Bが CH2 の振幅、aが CH1 の周波数、b がCH2 の周波数であると仮定します。したがって、⁠1つの/b⁠ は2つのチャンネルの周波数の比であり、 δ はCH1 の位相シフトです。

a = 1、b = 2のリサージュ曲線の純粋に機械的な応用は、 1900 年代半ばに鉄道で人気を博したマーズ ライトタイプの振動ビーム ランプの駆動機構にあります。いくつかのバージョンのビームは、側面に不均一な 8 の字パターンを描きます。

LTI システムへの入力が正弦波の場合、出力は同じ周波数の正弦波になりますが、振幅が異なり、位相が多少ずれることがあります。1つの信号を別の信号に対してプロットできるオシロスコープ(1 つの信号を時間に対してプロットするのではなく) を使用して、LTI システムの出力を LTI システムへの入力に対してプロットすると、a = bの特殊なケースのリサージュ図形である楕円が生成されます。結果として得られる楕円のアスペクト比は、入力と出力の間の位相シフトの関数であり、アスペクト比 1 (完全な円) は ±90° の位相シフトに対応し、アスペクト比 ∞ (直線) は 0° または 180° の位相シフトに対応します。^{[引用が必要]}

下の図は、リサージュ図形がさまざまな位相シフトでどのように変化するかをまとめたものです。位相シフトはすべて負であるため、遅延 セマンティクスは因果LTIシステムで使用できます（-270°は+90°に相当することに注意してください）。矢印はリサージュ図形の回転方向を示しています。^{[引用が必要]}

リサージュ曲線は、デバイスがメモリスタとして適切に分類できるかどうかを判断するための実験テストで使用されます。^{[引用が必要]}また、既知の基準信号とテスト対象の信号という2つの異なる電気信号を比較するためにも使用されます。^{[1] [2]}

• リサージュ波形は、1960年代から1970年代にかけてのSFテレビ番組や映画の中で、ハイテク機器をシミュレートするためのオシロスコープ上に表示されることがありました。^[3]

• アルフレッド・ヒッチコックの1958年の長編映画『めまい』のジョン・ホイットニーによるタイトルシーケンスはリサジュー図形に基づいています。^[4]

リサージュ図形は、グラフィック デザインでロゴとして使用されることがあります。例には次のものがあります。

• オーストラリア放送協会（a = 1、b = 3、δ = ⁠π/2⁠） ^[5]
• MITリンカーン研究所（a = 3、b = 4、δ = ⁠π/2⁠） ^[6]
• ベルリンの野外クラブElse （a = 3、b = 2、δ = ⁠π/2⁠ )
• 電気通信大学、日本（a = 5、b = 6、δ = ⁠π/2⁠）。 ^[要出典]
• ディズニーのMovies Anywhereストリーミングビデオアプリケーションは、曲線の様式化されたバージョンを使用しています
• FacebookのMeta Platformsへのブランド変更もリサージュ曲線であり、大文字のMの形を反映しています（a = 1、b = -2、δ = ⁠π/20⁠）。
• Home State Brewing co. のロゴに使用され、一瞬と時間の経過を表しています -一期一会

• ダダイズムの芸術家マックス・エルンストは、 穴の開いた絵の具の入ったバケツをキャンバスの上で振り回すことで、リサジュー図形を直接描いた。 ^[7]

リサージュ曲線は、過去にはハーモノグラフ^[8]という異なる周波数比で振動する振り子で構成された装置を使って音程をグラフィカルに表すために使われてきました。異なる調律システムでは異なる周波数比で音程を定義するため、リサージュ曲線を使って比較し、その違いを観察することができます。^[9]そのため、リサージュ曲線は音程間や調律システム間の違いをグラフィカルに表すことで音楽教育に応用されています。

• リサージュ軌道
• ブラックバーン振り子
• ジェロノのレムニスケート
• スピログラフ

ウィキメディア・コモンズには、リサージュ曲線に関連するメディアがあります。

• Mathworld のリサージュ曲線

• オシロスコープでのリサジュー曲線の構築を示す 3D Java アプレット:
  • NHMFLからのチュートリアル
  • Chiu-king Ng による物理アプレット
• 詳細なリサージュ図形のシミュレーション Javascript でインタラクティブなスライダーを使用してリサージュ図形を描画する
• リサージュ曲線: 音程と振動弦のグラフィカル表現のインタラクティブなシミュレーション
• インタラクティブなリサージュ曲線ジェネレーター - JSXGraph を使用した Javascript アプレット
• アニメーションリサージュ図形
• Wolfram Mathematicaのインタラクティブ スライダーを使用したリサージュ図形のデモンストレーション