三角関数の恒等式の一覧

三角法において、三角恒等式は三角関数を含む等式であり、等式の両辺が定義されている発生変数のすべての値に対して真です。幾何学的には、これらは1 つ以上の角度の特定の関数を含む恒等式です。これらは三角形の恒等式とは異なります。三角形の恒等式は、角度を含む可能性がある恒等式ですが、三角形の辺の長さやその他の長さも含みます。

これらの恒等式は、三角関数を含む式を簡略化する必要がある場合に便利です。重要な応用例として、非三角関数の積分が挙げられます。一般的な手法としては、まず三角関数で置換規則を使用し、次に結果の積分を三角恒等式で簡略化します。

正弦と余弦の基本的な関係は、ピタゴラスの定理によって与えられます。

$${\displaystyle \sin^{2}\theta +\cos^{2}\theta =1,}$$

ここで、手段と手段${\displaystyle \sin^{2}\theta }$${\displaystyle (\sin \theta )^{2}}$${\displaystyle \cos^{2}\theta }$${\displaystyle (\cos \theta )^{2}.}$

これはピタゴラスの定理の一種とみなすことができ、単位円の方程式から導かれます。この方程式は正弦または余弦のどちらについても解くことができます。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1- \sin ^{2}\theta }}.\end{整列}}}$$

ここで、符号は象限によって決まります${\displaystyle \theta .}$

この恒等式を、、またはその両方で割ると、次の恒等式が得られます。 ${\displaystyle \sin^{2}\theta }$${\displaystyle \cos^{2}\theta }$$${\displaystyle {\begin{aligned}&1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \\&1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \\&\sec ^{2}\theta +\csc ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \csc ^{2}\theta \end{aligned}}}$$

これらの恒等式を使用すると、任意の三角関数を他の任意の関数（プラスまたはマイナスの符号 まで）で表現できます。

単位円を調べることによって、三角関数の次の特性を確立することができます。

ユークリッドベクトルの方向が角度で表される場合、これは自由ベクトル（原点から始まる）と正の- 単位ベクトルによって決定される角度です。同じ概念はユークリッド空間の線にも適用できます。この場合、角度は原点と正の- 軸を通る指定された線に対する平行線によって決定されます。方向を持つ線（ベクトル）が方向を持つ線について反射される場合、この反射された線（ベクトル）の方向角は値を持ちます。 ${\displaystyle \theta ,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle \theta ^{\prime }}$$${\displaystyle \theta ^{\prime }=2\alpha -\theta .}$$

これらの角度の三角関数の特定の角度に対する値は、単純な恒等式を満たします。つまり、等しいか、反対の符号を持つか、相補三角関数を使用します。これらは縮小公式としても知られています。^[2]${\displaystyle \theta ,\;\theta ^{\prime }}$${\displaystyle \alpha }$

三角関数の符号は角度の象限に依存する。sgnが符号関数である場合、 ${\displaystyle {-\pi }<\theta \leq \pi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sin \theta )=\operatorname {sgn}(\csc \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ 0<\theta <\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <0\\0&{\text{if}}\ \ \theta \in \{0,\pi \}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\cos \theta )=\operatorname {sgn}(\sec \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr \}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\tan \theta )=\operatorname {sgn}(\cot \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ 0<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <0\ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },0,{\tfrac {1}{2}}\pi ,\pi {\bigr \}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$

三角関数は共通周期で周期的であるため、区間外のθの値については繰り返し値を取ります (上記の § シフトと周期性を参照)。 ${\displaystyle 2\pi ,}$${\displaystyle ({-\pi },\pi ],}$

これらは角度の加減定理（または公式）としても知られています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\sin(\alpha -\beta )&=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha -\beta )&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}}$$

およびの角度差恒等式は、およびという事実を使用して、を に代入して と と とを代入することで、角度和恒等式から導くことができます。これらは、角度和恒等式の図をわずかに修正したものを使用して導くこともできます。ここでは、その両方を示します。 ${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )}$${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )}$${\displaystyle -\beta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \sin(-\beta )=-\sin(\beta )}$${\displaystyle \cos(-\beta )=\cos(\beta )}$

これらの恒等式は次の表の最初の 2 行にまとめられています。この表には、他の三角関数の和恒等式と差恒等式も含まれています。

級数が絶対収束すると ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sin }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggl )}&=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\!\!\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}\\{\cos }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggr )}&=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}(-1)^{\frac {k}{2}}\,\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}.\end{aligned}}}$$

この級数は絶対収束するので、必然的に かつ となります 。特に、これら 2 つの恒等式では、有限個の角度の和の場合には見られない非対称性が現れます。つまり、各積において、正弦因子は有限個しかありませんが、余弦因子は余有限個あります。正弦因子が無限個ある項は必然的に 0 になります。 ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$${\textstyle \lim _{i\to \infty }\theta _{i}=0,}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\sin \theta _{i}=0,}$${\textstyle \lim _{i\to \infty }\cos \theta _{i}=1.}$

角度のうち、有限個のみが非ゼロである場合、右側の項のうち、有限個のみが非ゼロになります。これは、正弦係数のうち有限個以外はすべて消えるためです。さらに、各項において、余弦係数のうち有限個以外はすべて 1 です。 ${\displaystyle \theta _{i}}$

（に対して）を変数の k次基本対称多項式とする と、 ${\displaystyle e_{k}}$${\displaystyle k=0,1,2,3,\ldots }$$${\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i}}$$${\displaystyle i=0,1,2,3,\ldots ,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&\ \ \vdots &&\ \ \vdots \end{aligned}}}$$

それから

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tan }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {{\sin }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}{{\cos }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}}\\[10pt]&={\frac {\displaystyle \sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}{\displaystyle \sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[10pt]{\cot }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}$$

上記の正弦と余弦の合計の公式を使用します。

右側の項の数は左側の項の数によって決まります。

例えば： $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}}$$

などなど。項が有限個の場合は数学的帰納法で証明できる。^[14]項が無限個の場合はいくつかの基本的な不等式を使って証明できる。^[15]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sec }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]{\csc }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}$$

ここで、はn変数のk次基本対称多項式であり、分母の項の数と分子の積の因数の数は、左側の和の項の数に依存します。^[16]項が有限個の場合は、そのような項の数に関する数学的帰納法によって証明できます。 ${\displaystyle e_{k}}$${\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i},}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$

例えば、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}}$$

プトレマイオスの定理は三角関数の恒等式の歴史において重要な定理である。これは、正弦と余弦の和と差の公式と同等の結果が初めて証明された方法だからである。それは、図に示すように、円周四辺形において、対辺の長さの積の和は対角線の長さの積に等しいことを述べている。対角線または辺の1つが円の直径である特殊なケースでは、この定理から角度の和と差の三角関数の恒等式が直接導かれる。^[17]ここに示すように、円の直径が長さ1になるように作図すると、関係が最も簡単にわかる。 ${\displaystyle ABCD}$

タレスの定理によれば、、およびはともに直角です。直角三角形および はともに長さ 1 の斜辺を共有しています。したがって、辺、、および です。 ${\displaystyle \angle DAB}$${\displaystyle \angle DCB}$${\displaystyle DAB}$${\displaystyle DCB}$${\displaystyle {\overline {BD}}}$${\displaystyle {\overline {AB}}=\sin \alpha }$${\displaystyle {\overline {AD}}=\cos \alpha }$${\displaystyle {\overline {BC}}=\sin \beta }$${\displaystyle {\overline {CD}}=\cos \beta }$

円周角の定理により、円の中心の弦によって囲まれる中心角は、角度 の 2 倍、つまり です。したがって、対称的な 1 組の赤い三角形はそれぞれ、中心に角度 を持ちます。これらの三角形の斜辺の長さはそれぞれ であるため、 の長さは、 つまり単に です。四辺形のもう 1 つの対角線は直径で長さ 1 であるため、対角線の長さの積も です。 ${\displaystyle {\overline {AC}}}$${\displaystyle \angle ADC}$${\displaystyle 2(\alpha +\beta )}$${\displaystyle \alpha +\beta }$${\textstyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle {\overline {AC}}}$${\textstyle 2\times {\frac {1}{2}}\sin(\alpha +\beta )}$${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )}$${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )}$

これらの値をプトレマイオスの定理の に代入すると、正弦の角度の和の三角関数恒等式が得られます。の角度差の公式は、の代わりに を直径として同様に導くことができます。^[17]${\displaystyle |{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {AD}}|\cdot |{\overline {BC}}|}$${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )}$${\displaystyle {\overline {CD}}}$${\displaystyle {\overline {BD}}}$

角度の2倍の公式。^[20]

三角角の公式。^[20]

多重角度の公式。^[21]

チェビシェフ法は、番目と番目の値がわかっている場合にn番目の倍数角度の式を見つけるための再帰 アルゴリズムです。^[22]${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle (n-2)}$

${\displaystyle \cos(nx)}$は 、、、およびから計算でき、${\displaystyle \cos((n-1)x)}$${\displaystyle \cos((n-2)x)}$${\displaystyle \cos(x)}$

$${\displaystyle \cos(nx)=2\cos x\cos((n-1)x)-\cos((n-2)x).}$$

これは、次の式を足し合わせることで証明できる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos((n-1)x+x)&=\cos((n-1)x)\cos x-\sin((n-1)x)\sin x\\\cos((n-1)x-x)&=\cos((n-1)x)\cos x+\sin((n-1)x)\sin x\end{aligned}}}$$

帰納的に、 はいわゆる第一種チェビシェフ多項式の多項式であることがわかります。チェビシェフ多項式#三角関数の定義を参照してください。 ${\displaystyle \cos(nx)}$${\displaystyle \cos x,}$

同様に、は、およびから計算できます。 これは、および の公式を追加することで証明できます。${\displaystyle \sin(nx)}$${\displaystyle \sin((n-1)x),}$ ${\displaystyle \sin((n-2)x),}$${\displaystyle \cos x}$$${\displaystyle \sin(nx)=2\cos x\sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)}$$${\displaystyle \sin((n-1)x+x)}$${\displaystyle \sin((n-1)x-x).}$

チェビシェフ法と同様の目的を果たす接線については、次のように記述できます。

$${\displaystyle \tan(nx)={\frac {\tan((n-1)x)+\tan x}{1-\tan((n-1)x)\tan x}}\,.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\cos {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=\csc \theta -\cot \theta ={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\\[6mu]&=\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {-1+\operatorname {sgn}(\cos \theta ){\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}\\[3pt]\cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}=\csc \theta +\cot \theta =\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\\sec {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1+\cos \theta }}}\\\csc {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1-\cos \theta }}}\\\end{aligned}}}$$ ^{[23] [24]}

また $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\eta \pm \theta }{2}}&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[3pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[3pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\end{aligned}}}$$

これらは、和と差の恒等式、または倍数角度の公式のいずれかを使用して表示できます。

正弦と余弦の三重角の公式には単一の関数の累乗しか含まれていないという事実により、コンパスと定規を使用して角の三等分を作成するという幾何学の問題を、三次方程式を解くという代数の問題に関連付けることができます。これにより、与えられたツールを使用した三等分は一般に不可能であることを証明できます。

1/3 角の三角恒等式を計算する公式は存在しますが、3 次方程式 4 x ³ − 3 x + d = 0の零点を見つける必要があります。ここで、 は1/3 角における余弦関数の値、d は全角における余弦関数の既知の値です。ただし、この方程式の判別式は正であるため、この方程式には 3 つの実根があります (そのうち 1 つだけが 1/3 角の余弦の解です)。これらの解はいずれも、 3 次根の下で中間の複素数を使用するため、実数式に還元できません。 ${\displaystyle x}$

余弦二倍角の公式の 2 番目と 3 番目のバージョンを解くことによって得られます。

一般にまたはの累乗に関して、次が真であり、ド・モアブルの公式、オイラーの公式、および二項定理を使用して導くことができます。 ${\displaystyle \sin \theta }$${\displaystyle \cos \theta }$

積和恒等式^[28]またはプロスタファエレシス公式は、角度加法定理を使用して右辺を展開することで証明できます。歴史的には、これらの最初の4つは、天文学の計算に使用したヨハネス・ヴェルナーにちなんでヴェルナーの公式として知られていました。^{[29]積和公式の応用については}振幅変調を参照、和積公式の応用については ビート（音響）と位相検出器を参照してください。

和積の恒等式は以下の通りである: ^[30]

シャルル・エルミートは次のような等式を証明した。^[31]が複素数で、そのうちのどの2つもπの整数倍ではない とする。 ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

$${\displaystyle A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})}$$

（特に、空積なので、1です）。すると、 ${\displaystyle A_{1,1},}$

$${\displaystyle \cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).}$$

最も単純で自明でない例は、 n  = 2の場合です 。

$${\displaystyle \cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).}$$

互いに素な整数n、mの場合

$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left(2a+2\cos \left({\frac {2\pi km}{n}}+x\right)\right)=2\left(T_{n}(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(nx)\right)}$$

ここでT _{n は}チェビシェフ多項式である。^[要出典]

正弦関数には次の関係が成り立つ。

$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}.}$$

より一般的には整数n > 0の場合^[32]

$${\displaystyle \sin(nx)=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left({\frac {k}{n}}\pi +x\right)=2^{n-1}\prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {k}{n}}\pi -x\right).}$$

またはコード関数で記述すると、 ${\textstyle \operatorname {crd} x\equiv 2\sin {\tfrac {1}{2}}x}$

$${\displaystyle \operatorname {crd} (nx)=\prod _{k=1}^{n}\operatorname {crd} \left({\frac {k}{n}}2\pi -x\right).}$$

これは多項式を 線形因数に因数分解することから来ている（単位根を参照）。任意の複素数zと整数n > 0に対して、 ${\textstyle z^{n}-1}$

$${\displaystyle z^{n}-1=\prod _{k=1}^{n}\left(z-\exp {\Bigl (}{\frac {k}{n}}2\pi i{\Bigr )}\right).}$$

いくつかの目的のために、同じ周期または周波数で位相シフトが異なる正弦波の線形結合は、同じ周期または周波数で位相シフトが異なる正弦波でもあることを知っておくことが重要です。これは、測定または観測されたデータが以下の同相および直交成分基底の未知数aおよびbに線形関係にあるため、およびのものと比較して、より単純なヤコビアンが得られるため、正弦波 データのフィッティングに役立ちます。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle \varphi }$

正弦波と余弦波の線形結合、または高調波加算は、位相シフトと振幅のスケーリングされた単一の正弦波と同等である。^{[33] [34]}

$${\displaystyle a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi )}$$

ここで、およびは次のように定義されます。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}c&=\operatorname {sgn}(a){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\\\varphi &={\arctan }{\bigl (}{-b/a}{\bigr )},\end{aligned}}}$$

とすれば${\displaystyle a\neq 0.}$

より一般的には、任意の位相シフトに対して、

$${\displaystyle a\sin(x+\theta _{a})+b\sin(x+\theta _{b})=c\sin(x+\varphi )}$$

ここで、次を満たします。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \left(\theta _{a}-\theta _{b}\right),\\\tan \varphi &={\frac {a\sin \theta _{a}+b\sin \theta _{b}}{a\cos \theta _{a}+b\cos \theta _{b}}}.\end{aligned}}}$$

一般的なケースは次の通りである^[34]

$${\displaystyle \sum _{i}a_{i}\sin(x+\theta _{i})=a\sin(x+\theta ),}$$ どこで そして $${\displaystyle a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\theta _{i}-\theta _{j})}$$$${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sum _{i}a_{i}\sin \theta _{i}}{\sum _{i}a_{i}\cos \theta _{i}}}.}$$

これらの恒等式は、ジョゼフ・ルイ・ラグランジュにちなんで名付けられており、 以下の通りである。^{[35] [36] [37]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sin k\theta &={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}\theta -\cos \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\\[5pt]\sum _{k=0}^{n}\cos k\theta &={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}\theta +\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \theta \not \equiv 0{\pmod {2\pi }}.}$

関連する関数としてディリクレ核がある。

$${\displaystyle D_{n}(\theta )=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos k\theta ={\frac {\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}.}$$

同様のアイデンティティは^[38]

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha ={\frac {\sin(2n\alpha )}{2\sin \alpha }}.}$$

証明は次の通りです。角度の和と差の恒等式を使って、 次の式を調べてみましょう。 $${\displaystyle \sin(A+B)-\sin(A-B)=2\cos A\sin B.}$$

$${\displaystyle 2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha +2\sin \alpha \cos 3\alpha +2\sin \alpha \cos 5\alpha +\ldots +2\sin \alpha \cos(2n-1)\alpha }$$ この式は上記の等式を使って次のように書くことができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}&2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha \\&\quad =\sum _{k=1}^{n}(\sin(2k\alpha )-\sin(2(k-1)\alpha ))\\&\quad =(\sin 2\alpha -\sin 0)+(\sin 4\alpha -\sin 2\alpha )+(\sin 6\alpha -\sin 4\alpha )+\ldots +(\sin(2n\alpha )-\sin(2(n-1)\alpha ))\\&\quad =\sin(2n\alpha ).\end{aligned}}}$$

したがって、この式を で割ると証明が完了します。 ${\displaystyle 2\sin \alpha }$

が線形分数変換で与えられ 、同様 に ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},}$$$${\displaystyle g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},}$$$${\displaystyle f{\big (}g(x){\big )}=g{\big (}f(x){\big )}={\frac {{\big (}\cos(\alpha +\beta ){\big )}x-\sin(\alpha +\beta )}{{\big (}\sin(\alpha +\beta ){\big )}x+\cos(\alpha +\beta )}}.}$$

もっと簡潔に言えば、もし私たちが上で述べたことをすべて認めるならば、 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle f_{\alpha }}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.}$$

が直線の傾きである場合、 はその直線を角度 で回転させた傾きです。${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle -\alpha .}$

オイラーの公式によれば、任意の実数xに対して^[39]、 iは虚数単位 である。xに−xを代入すると次のようになる。 $${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$$${\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x.}$$

これら2つの方程式は、指数関数を用いてコサインとサインを求めるのに使えます。具体的には、^{[40] [41]} $${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$$ $${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$$

これらの公式は他の多くの三角関数の等式を証明するのに有用である。例えば、 e ^{i ( θ + φ )} = e ^iθ e ^iφは、

左辺の実部が右辺の実部に等しいことは、コサインの角度の加算公式です。虚部が等しいことは、サインの角度の加算公式になります。

次の表は、三角関数とその逆関数を指数関数と複素対数で表したものです。

三角関数は複素引数を持つ双曲関数から演繹される。その関係式を以下に示す^{[43] [44]}。$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=-i\sinh(ix)\\\cos x&=\cosh(ix)\\\tan x&=-i\tanh(ix)\\\cot x&=i\coth(ix)\\\sec x&=\operatorname {sech} (ix)\\\csc x&=i\operatorname {csch} (ix)\\\end{aligned}}}$$

三角関数を定義するためにべき級数展開を使用すると、次の恒等式が得られます。^[45]

$${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},}$$$${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.}$$

特殊関数への応用では、三角関数の次の無限積公式が有用である: ^{[46] [47]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cos x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right),\\[10mu]\sinh x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cosh x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

次の等式は三角関数と逆三角関数を合成した結果を与える。^[48]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\arcsin x)&=x&\cos(\arcsin x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\tan(\arcsin x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\sin(\arccos x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\cos(\arccos x)&=x&\tan(\arccos x)&={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\sin(\arctan x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\arctan x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\arctan x)&=x\\\sin(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{x}}&\cos(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\tan(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\\\sin(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\cos(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {1}{x}}&\tan(\operatorname {arcsec} x)&={\sqrt {x^{2}-1}}\\\sin(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\operatorname {arccot} x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{x}}\\\end{aligned}}}$$

上記の各式の両辺の逆数を取ると、 の式が得られます 。 上記の式の右辺は常に反転されます。 たとえば、 の式は次のようになります。 一方、との 式は次のようになります。 ${\displaystyle \csc ={\frac {1}{\sin }},\;\sec ={\frac {1}{\cos }},{\text{ and }}\cot ={\frac {1}{\tan }}.}$${\displaystyle \cot(\arcsin x)}$$${\displaystyle \cot(\arcsin x)={\frac {1}{\tan(\arcsin x)}}={\frac {1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}$$${\displaystyle \csc(\arccos x)}$${\displaystyle \sec(\arccos x)}$$${\displaystyle \csc(\arccos x)={\frac {1}{\sin(\arccos x)}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\qquad {\text{ and }}\quad \sec(\arccos x)={\frac {1}{\cos(\arccos x)}}={\frac {1}{x}}.}$$

反射恒等式によって次の恒等式が暗示されます。これらは、関連する関数のドメイン内にあるときは常に成立します。 ${\displaystyle x,r,s,-x,-r,{\text{ and }}-s}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}{\frac {\pi }{2}}~&=~\arcsin(x)&&+\arccos(x)~&&=~\arctan(r)&&+\operatorname {arccot}(r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arccsc}(s)\\[0.4ex]\pi ~&=~\arccos(x)&&+\arccos(-x)~&&=~\operatorname {arccot}(r)&&+\operatorname {arccot}(-r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arcsec}(-s)\\[0.4ex]0~&=~\arcsin(x)&&+\arcsin(-x)~&&=~\arctan(r)&&+\arctan(-r)~&&=~\operatorname {arccsc}(s)&&+\operatorname {arccsc}(-s)\\[1.0ex]\end{alignedat}}}$$

また、^[49] $${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan x+\arctan {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\-{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\\\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\{\frac {3\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \arccos {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcsec} x\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}=\arccos x}$$ $${\displaystyle \arcsin {\frac {1}{x}}=\operatorname {arccsc} x\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}=\arcsin x}$$

逆正接関数は級数的に展開できる: ^[50] $${\displaystyle \arctan(nx)=\sum _{m=1}^{n}\arctan {\frac {x}{1+(m-1)mx^{2}}}}$$

逆正接関数に関しては^[49] $${\displaystyle \arctan {\frac {1}{2}}=\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.}$$

モリーの法則として知られる奇妙な同一性、 $${\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}},}$$

は、1 つの変数を含む恒等式の特殊なケースです。 $${\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}\cos \left(2^{j}x\right)={\frac {\sin \left(2^{k}x\right)}{2^{k}\sin x}}.}$$

同様に、 は との恒等式の特殊なケースです。 $${\displaystyle \sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}}$$${\displaystyle x=20^{\circ }}$$${\displaystyle \sin x\cdot \sin \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \sin \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\sin 3x}{4}}.}$$

この場合、 ${\displaystyle x=15^{\circ }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 15^{\circ }\cdot \sin 45^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}}$$

この場合、 ${\displaystyle x=10^{\circ }}$$${\displaystyle \sin 10^{\circ }\cdot \sin 50^{\circ }\cdot \sin 70^{\circ }={\frac {1}{8}}.}$$

同じコサイン恒等式は $${\displaystyle \cos x\cdot \cos \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \cos \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\cos 3x}{4}}.}$$

同様に、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos 10^{\circ }\cdot \cos 50^{\circ }\cdot \cos 70^{\circ }&={\frac {\sqrt {3}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}}$$

同様に、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }&=\tan 80^{\circ },\\\tan 40^{\circ }\cdot \tan 30^{\circ }\cdot \tan 20^{\circ }&=\tan 10^{\circ }.\end{aligned}}}$$

以下は、変数を含む恒等式に簡単に一般化できるものではないかもしれません (ただし、以下の説明を参照してください)。 $${\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.}$$

分母が 21 であるこの等式を考慮すると、度測定はラジアン測定よりも適切ではなくなります。 $${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.}$$

1、2、4、5、8、10という因数からパターンが明らかになるかもしれません。これらは、⁠より小さい整数です。21/2⁠は 21と互いに素である（または共通の素因数を持たない）。最後のいくつかの例は、既約円分多項式に関する基本的事実の帰結です。つまり、余弦はそれらの多項式の零点の実数部であり、零点の合計は（上記の最後のケースでは）21 で評価されたメビウス関数であり、上記には零点の半分だけが存在しています。この最後の例の前の 2 つの恒等式は、21 をそれぞれ 10 と 15 に置き換えて同じように生じます。

その他のコサイン恒等式には以下が含まれる: ^[51] 奇数すべてに対して同様であり、したがって $${\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {\pi }{3}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{5}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{5}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {3\pi }{7}}&=1,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3}}+\cos {\frac {\pi }{5}}\times \cos {\frac {2\pi }{5}}+\cos {\frac {\pi }{7}}\times \cos {\frac {2\pi }{7}}\times \cos {\frac {3\pi }{7}}+\dots =1.}$$

これらの奇妙なアイデンティティの多くは、次のようなより一般的な事実から生じています。^[52 ] $${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}}$$$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\cos {\frac {k\pi }{n}}={\frac {\sin {\frac {\pi n}{2}}}{2^{n-1}}}.}$$

これらを組み合わせると $${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\tan {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{\sin {\frac {\pi n}{2}}}}}$$

nが奇数（ ）の場合には対称性を利用して ${\displaystyle n=2m+1}$$${\displaystyle \prod _{k=1}^{m}\tan {\frac {k\pi }{2m+1}}={\sqrt {2m+1}}}$$

バターワース ローパス フィルタの伝達関数は、多項式と極で表すことができます。周波数をカットオフ周波数として設定すると、次の恒等式が証明されます。 $${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\sin {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}=\prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}={\frac {\sqrt {2}}{2^{n}}}}$$

π を大きな桁数まで効率的に計算する方法は、マチンによる次の変数なしの恒等式に基づいています。これはマチンのような式として知られています。 または、レオンハルト・オイラー の恒等式を使用するか、 ピタゴラスの三つ組 を使用するかのいずれかです。 $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$$$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}}$$$${\displaystyle \pi =\arccos {\frac {4}{5}}+\arccos {\frac {5}{13}}+\arccos {\frac {16}{65}}=\arcsin {\frac {3}{5}}+\arcsin {\frac {12}{13}}+\arcsin {\frac {63}{65}}.}$$

その他には以下のものがある: ^{[53] [49]} $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}},}$$ $${\displaystyle \pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3,}$$ $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.}$$

一般に、 θ _n = Σとなる数t ₁ , ..., t _{n −1} ∈ (−1, 1)に対して、^{n −1}
_{k =1}arctan t _k ∈ ( π /4, 3 π /4)、t _n = tan( π /2 − θ _n ) = cot θ _nとします。この最後の式は、 t ₁、 ...、t _{n −1}の正接を持つ角度の合計のコタンジェントの公式を使用して直接計算でき、その値は(-1, 1)の範囲になります。特に、t ₁、 ...、t _{n −1の値が有理数である場合、計算された}t _{n は}有理数になります。これらの値を使用すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=1}^{n}\arctan(t_{k})\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {sgn}(t_{k})\arccos \left({\frac {1-t_{k}^{2}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arcsin \left({\frac {2t_{k}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arctan \left({\frac {2t_{k}}{1-t_{k}^{2}}}\right)\,,\end{aligned}}}$$

ここで、最初の式を除くすべての式では、正接半角の公式を使用しています。最初の 2 つの式は、t _k値の 1 つ以上が(−1, 1)の範囲外であっても機能します。t = p / qが有理数の場合、上記の式の(2 t、 1 − t ²、 1 + t ² )値は、ピタゴラスの三つ組(2 pq、q ² − p ²、q ² + p ² )に比例することに注意してください。

たとえば、n = 3項の場合、 任意のa、b、c、d > 0です。 $${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)+\arctan \left({\frac {c}{d}}\right)+\arctan \left({\frac {bd-ac}{ad+bc}}\right)}$$

ユークリッドは『原論』第 13 巻命題 10 で、円に内接する正五角形の辺にある正方形の面積は、同じ円に内接する正六角形と正十角形の辺にある正方形の面積の合計に等しいことを示しました。現代の三角法の言葉で言えば、次のようになります。 $${\displaystyle \sin ^{2}18^{\circ }+\sin ^{2}30^{\circ }=\sin ^{2}36^{\circ }.}$$

プトレマイオスはこの命題を使って、『アルマゲスト』第 1 巻第 11 章の弦の表のいくつかの角度を計算しました。

これらの恒等式は三角関数の三角関数に関係している：^[54]

${\displaystyle \cos(t\sin x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }J_{2k}(t)\cos(2kx)}$

${\displaystyle \sin(t\sin x)=2\sum _{k=0}^{\infty }J_{2k+1}(t)\sin {\big (}(2k+1)x{\big )}}$

${\displaystyle \cos(t\cos x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k}(t)\cos(2kx)}$

${\displaystyle \sin(t\cos x)=2\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k+1}(t)\cos {\big (}(2k+1)x{\big )}}$

ここで、J _{i は}ベッセル関数です。

条件付き三角関数恒等式は、三角関数の引数に指定された条件が満たされる場合に成立する三角関数恒等式である。^[55]次の公式は任意の平面三角形に適用され、公式に現れる関数が明確に定義されている限り、から導かれる（後者は正接と余接が現れる公式にのみ適用される）。 ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ },}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma &=\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \\1&=\cot \beta \cot \gamma +\cot \gamma \cot \alpha +\cot \alpha \cot \beta \\\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)&=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\1&=\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\\\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+1\\-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)-1\\\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\-\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \\\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\\-\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\\-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \\\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\\-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\beta )+\sin ^{2}(2\gamma )&=-2\cos(2\alpha )\cos(2\beta )\cos(2\gamma )+2\\\cos ^{2}(2\alpha )+\cos ^{2}(2\beta )+\cos ^{2}(2\gamma )&=2\cos(2\alpha )\,\cos(2\beta )\,\cos(2\gamma )+1\\1&=\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)+2\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\end{aligned}}}$$

正弦、カバーサイン、半正弦、および正割は航海に使用されていました。たとえば、半正弦の公式は球面上の 2 点間の距離を計算するために使用されていました。現在ではほとんど使用されていません。

ディリクレ核 D _n ( x )は、次の恒等式の両辺に現れる関数である。 $${\displaystyle 1+2\cos x+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}x\right)}}.}$$

周期の任意の積分可能関数とディリクレ核の畳み込みは、関数の次のフーリエ近似と一致します。任意の測度または一般化関数についても同じことが言えます。 ${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle n}$

とすると^{[56] 、} cis xと略されることも  ある。 $${\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}},}$$ $${\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}};\qquad \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}};\qquad e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}};\qquad dx={\frac {2\,dt}{1+t^{2}}},}$$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

tan ⁠を に置き換えると、${\displaystyle t}$x/2⁠は微積分で使用されているため、 ⁠ は⁠に置き換えられ${\displaystyle \sin x}$2トン/1 + 2^です⁠ は⁠に置き換えられます${\displaystyle \cos x}$1 − t ²/1 + 2^です⁠そして微分d x は⁠に置き換えられます2日/1 + 2^です⁠ . これにより、およびの有理関数を の有理関数に変換して、それらの不定積分を求めることができます。 ${\displaystyle \sin x}$${\displaystyle \cos x}$${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}\cdot \cos {\frac {\theta }{4}}\cdot \cos {\frac {\theta }{8}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\theta }{2^{n}}}={\frac {\sin \theta }{\theta }}=\operatorname {sinc} \theta .}$$

• 3°と⁠5+5/8⁠°の整数倍、および同じ角度csc、sec、tanに対する、無理数で表されたsinとcosの値
• 三角関数の公式の完全なリスト