ヴェルシーヌ

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正弦（バースドサイン）は、最も古い（サンスクリット語の『アーリヤバーティア』 [ ^1] 第1章）三角関数表に見られる三角関数です。角度の正弦は、1からその余弦を引いたものです。

関連する関数はいくつかありますが、最も有名なのはカバーサインとハーフサインです。後者は、半分のバーサインであり、航海の ハーフサインの公式において特に重要です。

versine ^{[3] [4] [5] [6] [7]}またはversed sine ^{[8] [9] [ 10] [11] [12]}は、いくつかの最も古い三角関数表にすでに登場している三角関数です。これは、versin、sinver、^{[13] [14]} vers、ver ^[15]またはsivなどの略語を使用して数式で表されます。^{[16] [17]}ラテン語では、 sinus versus（反転した正弦）、versinus、versors、またはsagitta（矢印）として知られています。 ^[18]

一般的な三角関数の正弦、余弦、正接で表すと、正弦は $${\displaystyle \operatorname {versin} \theta =1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}=\sin \theta \,\tan {\frac {\theta }{2}}}$$

詩節に対応する関連機能がいくつかあります。

• versed cosine [ ^19] [ ^{nb 1]}またはvercosineはvercosin、vercos、vcsと略される。
• 被覆正弦またはカバーサイン^[20]（ラテン語ではcosinus versusまたはcoversinus）、略称はcoversin、^[21]、 covers、^{[22] 、[ 23] [24]、} cosiv、またはcvs ^[25]
• 被覆コサイン^[26]またはカバーコサイン、略してカバーコシン、カバーコズ、またはcvc

上記の 4 つの関数と完全に類似して、別の 4 つの「半値」関数のセットも存在します。

• 正弦波[ ^27]またはハバーサイン（ラテン語semiversus）^{[28] [29]}は、略称haversin、semiversin、semiversinus、havers、hav、^{[30] [31]} hvs、^[注2] sem、hv ^[32]は、歴史的に航海で使われたハバーサインの公式から最も有名である。
• ハーバードコサイン^[33]またはハバーコサイン、略称ハバーコシン、ハバーコス、ハック、またはhvc
• hacoversed sine、hacoversine、^[21]またはcohaversine、略してhacoversin、semicoversin、hacovers、hacov ^[34]またはhcv
• ハカバードコサイン[ ^35] 、ハカバーコサイン、またはコハバーコサイン、略してハカバーコシン、ハカバーコs 、またはhcc

通常の正弦関数（語源の注釈を参照）は、歴史的には、正弦関数（正弦対正弦）と対比するために、直線正弦（ sinus rectus 、「直線正弦」）と呼ばれることもあった。^[37]これらの用語の意味は、関数を定義の元の文脈、つまり単位円で見れば明らかである。

単位円の垂直弦 ABの場合、角度θ (対角Δの半分を表す) の正弦は距離AC (弦の半分) です。一方、θの逆正弦は弦の中心から円弧の中心までの距離CDです。したがって、cos( θ ) (線OCの長さに等しい) と versin( θ ) (線CDの長さに等しい) の合計は半径OD (長さ 1) です。このように図示すると、正弦は垂直 ( rectus、文字通り「まっすぐ」) で、正弦は水平 ( versus、文字通り「反対向き、場違い」) です。どちらもCから円までの距離です。

この図は、ヴェルシネがラテン語で矢を意味するサジッタと呼ばれることもある理由も示しています。^{[18] [36]}倍角Δ  = 2 θの弧ADBを「弓」、弦ABを「弦」と見なすと、ヴェルシネCDは明らかに「矢の軸」です。

さらに、正弦を「垂直」、正弦を「水平」と解釈することと合わせて、サジッタは横座標（グラフの水平軸）の古い同義語でもあります。 ^[36]

1821年、コーシーは正弦に対して正弦（siv ）、カバーサインに対して余弦（cosiv ）という用語を使用した。 ^{[16] [17] [注 1]}

歴史的に、正弦は三角関数の中で最も重要な関数の一つと考えられていました。^{[12] [37] [38]}

θ がゼロに近づくと、正弦( θ )はほぼ等しい2つの量の差となるため、コサインのみの三角関数表を使用する場合、破滅的な相殺を避けるために正弦を求めるのに非常に高い精度が必要となり、後者には別の表を用意すると便利です。^[12]計算機やコンピューターを使用する場合でも、四捨五入誤差があるため、 θが小さい場合は sin ^{2 の}式を使用することをお勧めします。

バースサインのもう一つの歴史的な利点は、常に非負であるため、その対数はゼロになる単一の角度 ( θ = 0、2 π 、…) を除いてどこでも定義されることです。したがって、バースサインを含む式の乗算に 対数表を使用できます。

実際、プトレマイオスや他のギリシャの著者が作成した和音とは対照的に、紀元前3世紀に遡るインドのスーリヤ・シッダーンタから計算された、現存する最古の正弦（半和音）値の表は、正弦と逆正弦の値の表（0°から90°まで3.75°刻み）でした。^[37]

正弦は、半角の公式sin ² ( ⁠θ/2⁠ ) = ⁠1/2⁠ versin( θ ) はプトレマイオスによって導き出され、このような表を作成するために使用されました。

特に半正弦は航海において重要でした。半正弦の公式に現れるからです。この公式は、角度位置 (経度と緯度など) が与えられた場合に、天体回転楕円体(地球の半径と球面に関する問題を参照)上の距離をかなり正確に計算するために使用されます。また、 sin ² ( ⁠θ/2⁠ ）を直接計算することはできませんでしたが、半正弦関数の表があれば平方と平方根を計算する必要がなくなりました。^[12]

1801年には、ホセ・デ・メンドーサ・イ・リオスが後にハバーシンと呼ばれるようになるものを使用したことが記録されている。^{[14] [39]}

半正弦表に相当する最初の英語の文献は、1805年にジェームズ・アンドリューによって「Squares of Natural Semi-Chords」という名前で出版されました。^{[40] [41] [18]}

1835年、ジェームズ・インマン^[14] [ ^{43] [44]}が著書「Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen」の第3版で、球面三角法を使って地球表面上の2点間の距離を航海に応用する計算を簡素化するために、ハバーサイン（自然にはhav.、10を底とする対数ではlog. haversineまたはlog. havers.と表記）という造語[42]を作った。 [ 3 ] [ 42 ]インマンは、バー^{サインをnat} . versineおよびnat. vers.という用語も使用した。^[3]

他に高く評価されているハバーサイン表としては、1856年のリチャード・ファーリーの表^{[40] [45]}と1876年のジョン・コールフィールド・ハニントンの表^{[40] [46]がある。}

ハーフサイン法は航海に使用され続けており、1995年以来ブルース・D・スタークがガウス対数を利用して月までの距離を測定する方法^{[47] [48]}や、 2014年以来よりコンパクトな視力低下測定法^{[32]など、ここ数十年で新たな用途が見出されています。}

正弦、カバーサイン、半弦、およびその逆関数の使用は何世紀も前に遡ることができますが、他の 5 つの共関数の名前の起源はずっと新しいようです。

正弦波、またはより一般的には半正弦波（または半余弦波）の波形の1周期（0 < θ < 2 π ）は、信号処理や制御理論において、パルスや窓関数（ハン窓、ハン・ポアソン窓、テューキー窓を含む）の形状としてもよく使用されます。これは、この関数が滑らかに（値と傾きが連続的に） 0から1 （半正弦波の場合）に切り替わり、再び0に戻るためです。^{[注 2]これらの用途では、}ハン関数またはレイズドコサインフィルタと呼ばれます。同様に、半余弦波は確率論や統計学においてレイズドコサイン分布に使用されます。

^{sin 2} ( θ )の形で、二倍角Δの半正弦は、有理三角法における広がりと角度の関係を記述します。有理三角法は、 2005年以来ノーマン・ジョン・ワイルドバーガーによって提案されている計量平面幾何学と立体幾何学の再定式化です。 ^[49]

関数は互いの円回転です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {versin} (\theta )&=\mathrm {coversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {vercosin} \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {covercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\\\mathrm {haversin} (\theta )&=\mathrm {hacoversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {havercosin} \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {hacovercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}$

逆関数には、arcversine ^[34] (arcversin、arcvers、^{[8] [34]} avers、^{[51] [52]} aver)、arcvercosine (arcvercosin、arcvercos、avercos、avcs)、arccoversine ^[34] (arccoversin、arccovers、^{[8] [34]} acovers、^{[51] [52]} acvs)、arccovercosine (arccovercosin、arccovercos、acovercos、acvc)、archaversine (archaversin、archav、^[34] haversin ⁻¹、^[53] invhav、^{[34] [54] [55] [56]} ahav、^{[34] [51] [52]} ahvs、ahv、hav ^{−1 [57] [58]} )、archavercosine (archavercosin、 archavercos、ahvc)、archacoversine (archacoversin、ahcv)、またはarchacovercosine (archacovercosin、archacovercos、ahcc) も存在します。

これらの関数は複素平面に拡張することができる。^{[50] [20] [27]}

マクローリン級数：^[27]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {versin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{(2k)!}}\\\operatorname {haversin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{\theta }}=0}$^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )}{\operatorname {exsec} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta )}}&={\frac {2\operatorname {versin} (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}\\[3pt][\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {exsec} (\theta )]\,[\operatorname {coversin} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )]&=\sin(\theta )\cos(\theta )\end{aligned}}}$^[8]

正弦vが半径rに比べて小さい場合、半弦長L（上に示した距離AC）から次の式で近似できる^[59]。 $${\displaystyle v\approx {\frac {L^{2}}{2r}}.}$$

あるいは、正弦が小さく、正弦、半径、半弦長がわかっている場合は、それらを使用して、次の式で弧の長さs（上図の AD ）を推定することができます。 この式は中国の数学者沈括が知っていたもので、2世紀後に郭守敬によって、矢状面も含めたより正確な式が開発されました。^[60]$${\displaystyle s\approx L+{\frac {v^{2}}{r}}}$$

工学で用いられるより正確な近似値^[61]は $${\displaystyle v\approx {\frac {s^{\frac {3}{2}}L^{\frac {1}{2}}}{8r}}}$$

正弦という用語は、任意の平面曲線の直線性からの偏差を説明するために使用されることもあります。上記の円は、その特殊なケースです。曲線の 2 点間の弦が与えられた場合、弦から曲線 (通常は弦の中点) までの垂直距離v は、正弦測定値と呼ばれます。直線の場合、どの弦の正弦も 0 であるため、この測定値は曲線の直線性を特徴付けます。弦の長さL が0 に近づく極限では、比率⁠8ボルト/L2 ^...⁠ は瞬間曲率を表します。この用法は特に鉄道輸送でよく使用され、線路の直線度の測定値を表します^{[62] 。また、これは}鉄道測量におけるハラード法の基礎となっています。

サジッタ（しばしばサグと略される）という用語は、光学において同様に、レンズや鏡の表面を説明するために使用されます。

• 三角関数の等式
• エクセカントとエクコセカント
• ヴェルシエラ（アグネージの魔女）
• 指数マイナス1
• 自然対数プラス1

• ホーキング、スティーブン・ウィリアム編（2002年）。『巨人たちの肩の上で：物理学と天文学の偉大な業績』フィラデルフィア、米国：ランニング・プレス。ISBN 0-7624-1698-X. LCCN  2002100441 . 2017年7月31日閲覧。

• Pegg, Jr., Ed . 「Sagitta、Apothem、および Chord」。Wolframデモンストレーション プロジェクト。
• GeoGebra.org の三角関数