宇宙（数学）

数学において、空間とは、集合の要素間の関係を定義する構造を備えた集合（宇宙と呼ばれることもある）である。部分空間とは、同じ構造を保持する親空間の部分集合である。現代数学では、ユークリッド空間、線型空間、位相空間、ヒルベルト空間、確率空間など、多くの種類の空間が使用されているが、「空間」という概念自体は定義されていない。^{[1] [a]}

空間は、点として扱われる選択された数学的対象と、これらの点間の選択された関係で構成されます。点の性質は多岐にわたります。たとえば、点は数、別の空間上の関数、または別の空間の部分空間を表すことができます。空間の性質を定義するのは関係です。より正確には、同型空間は同一であると見なされます。この場合、 2 つの空間間の同型性は、関係を保存する点間の 1 対 1 対応です。たとえば、3 次元ユークリッド空間の点間の関係は、ユークリッドの公理^[b]によって一意に決定され、すべての 3 次元ユークリッド空間は同一であると見なされます。

連続性などの位相概念は、あらゆるユークリッド空間に対して自然な定義を持ちます。しかし、位相は直線と曲線を区別しないため、ユークリッド空間と位相空間の関係は「忘れられやすい」ものとなります。この種の関係については、「空間の種類」のセクションで詳しく説明します。

与えられた数学的対象を幾何学的「空間」と見なすべきか、代数的「構造」と見なすべきかは必ずしも明らかではない。ブルバキ^[2]によって提案された「構造」の一般的な定義は、すべての一般的なタイプの空間を包含し、同型性の一般的な定義を提供し、同型構造間での特性の転送を正当化する。

古代ギリシャの数学では、「空間」は日常生活で観察される 3 次元の現実を幾何学的に抽象化したものです。紀元前 300 年頃、ユークリッドは空間の特性に関する公理を与えました。ユークリッドは、これらの幾何学的基礎の上にすべての数学を構築し、線分の長さと選択した基準線分の長さを比較して数値を定義するまでになりました。

座標法（解析幾何学）は1637年にルネ・デカルトによって採用されました。 ^[3]当時、幾何学の定理は自然科学の対象と同様に、直観と理性で知ることができる絶対的な客観的真理として扱われていました。^{[4] : 11}また、公理は定義の明白な含意として扱われていました。^{[4] : 15}

幾何学的図形間の2 つの同値関係、すなわち合同と相似が使用されました。平行移動、回転、反射は図形を合同図形に変換し、相似は相似図形に変換します。たとえば、すべての円は互いに相似ですが、楕円は円と相似ではありません。1795年にガスパール モンジュによって導入された 3 番目の同値関係は、射影幾何学で発生します。楕円だけでなく、放物線や双曲線も、適切な射影変換によって円に変換されます。これらはすべて射影的に同値な図形です。

ユークリッド幾何学と射影幾何学という二つの幾何学の関係は、数学的対象がその構造とともに与えられるのではないことを示している。^{[4] : 21 むしろ}、それぞれの数学理論は、その対象をその理論の基礎に公理として置かれている性質のいくつかによって記述するのである。 ^{[4] : 20}

距離と角度は射影幾何学の定理には現れません。なぜなら、これらの概念は射影幾何学の公理には記載されておらず、そこで記載された概念からも定義されていないからです。「三角形の 3 つの角度の合計はいくらか」という質問はユークリッド幾何学では意味がありますが、射影幾何学では意味がありません。

19 世紀には異なる状況が出現した。いくつかの幾何学では、三角形の 3 つの角度の合計は明確に定義されているが、古典的な値 (180 度) とは異なる。ニコライ ロバチェフスキーが 1829 年に、ヤーノシュ ボヤイが 1832 年に (カール フリードリヒ ガウスが 1816 年に未発表) [4] : 133 に導入した非ユークリッド双曲幾何学では、合計^は三角形に依存し、常に 180 度未満であると述べられている。エウジェニオ ベルトラミが1868 年に、フェリックス クラインが1871 年に、非ユークリッド双曲幾何学のユークリッド「モデル」を取得し、それによってこの理論が論理的に可能であることを完全に正当化した。^{[4] : 24  [5]}

この発見は、ユークリッド幾何学の絶対的真理への主張を放棄せざるを得なくなった。公理は「自明」でも「定義の含意」でもないことが示された。むしろ、それらは仮説である。それらは実験的現実にどの程度対応しているのだろうか？この重要な物理的問題は、もはや数学とは何の関係もない。たとえ「幾何学」が実験的現実に対応していなくても、その定理は「数学的真理」であることに変わりはない。^{[4] : 15}

非ユークリッド幾何学のユークリッドモデルは、ユークリッド空間に存在するいくつかのオブジェクトと、非ユークリッド幾何学のすべての公理 (したがって、すべての定理) を満たすこれらのオブジェクト間のいくつかの関係の選択です。これらのユークリッドオブジェクトと関係は、現代の俳優が古代の演劇を演じるのと同じように、非ユークリッド幾何学を「演じます」。俳優は、現実には決して起こらなかった状況を模倣できます。舞台上の俳優間の関係は、劇中の登場人物間の関係を模倣します。同様に、ユークリッドモデルの選択されたオブジェクト間の選択された関係は、非ユークリッド関係を模倣します。これは、オブジェクト間の関係が数学において不可欠であるが、オブジェクトの性質は重要ではないことを示しています。

「幾何学」という言葉（古代ギリシャ語の geo-「地球」、-metron「測定」に由来）は、当初は私たちが住んでいる空間内の長さ、領域、体積を処理する実用的な方法を意味していましたが、その後、（ここで問題となっている空間の概念と同様に）広く拡張されました。

^{ブルバキ[4]}によれば、 1795年（モンジュの『記述的幾何学^』 ）から1872年（クラインの「エアランゲン・プログラム」 ）までの期間は「幾何学の黄金時代」と呼ぶことができる。ユークリッドが研究した元の空間は現在、3次元ユークリッド空間と呼ばれている。23世紀前にユークリッドによって始められたその公理化は、ヒルベルトの公理、タルスキの公理、バーコフの公理によって改革された。これらの公理系は、いくつかの公理によって制約された基本概念（「点」、「間」、「合同」など）を介して空間を記述する。

解析幾何学は大きな進歩を遂げ、古典幾何学の定理を変換群の不変量に​​よる計算に置き換えることに成功した。^{[4] : 134, 5}それ以来、古典幾何学の新しい定理は、プロの数学者よりもアマチュアの関心を集めてきた。^{[4] : 136}しかし、古典幾何学の遺産は失われなかった。ブルバキによれば、^{[4] : 138}「自律的で生きた科学としての役割が過ぎ去ったため、古典幾何学は現代数学の普遍的な言語に変貌した」。

同時に、数学の基礎としての幾何学は数に取って代わられ始めた。例えば、リチャード・デデキントの 1872 年の論文Stetigkeit und irrationale Zahlen (連続性と無理数) では、直線上の点はデデキント切断の特性を持つはずであり、したがって直線は実数の集合と同じものであると主張している。デデキントは、これは証明不可能な仮定であると注意深く指摘している。現代の扱いでは、デデキントの主張は直線の定義であると解釈されることが多く、幾何学は算術に還元されている。3 次元ユークリッド空間は、その要素の差のベクトル空間に内積が備わっているアフィン空間として定義される。^[6]ユークリッドのように「ゼロから」定義することは、この空間と他の空間との関係を明らかにしないため、現在ではあまり使用されていない。また、3 次元の射影空間は、現在では 4 次元ベクトル空間のすべての 1 次元部分空間 (つまり、原点を通る直線) の空間として定義されています。この基礎の変更には新しい公理のセットが必要であり、これらの公理が採用されると、幾何学の古典的な公理が定理になります。

空間は、点として扱われる選択された数学的オブジェクト (たとえば、別の空間上の関数、別の空間の部分空間、または集合の要素) と、これらの点間の選択された関係で構成されます。したがって、空間は単なる便宜上の数学的構造です。「空間」と呼ばれる構造は、他の数学的オブジェクトよりも幾何学的に認識されると予想されるかもしれませんが、これは常に正しいとは限りません。

1854年にベルンハルト・リーマンが行った有名な就任講演によれば、n個の実数でパラメータ化されたあらゆる数学的対象は、そのような対象すべてのn次元空間の点として扱うことができる。^{[4] : 140}現代の数学者はこの考えを日常的に採用しており、古典幾何学の用語をほぼあらゆる場面で使うことは非常に示唆に富んでいると考えている。^{[4] : 138}

関数は重要な数学的対象である。通常、関数は無限次元の関数空間を形成し、これはリーマン^{[4] :141}によってすでに指摘されており、20世紀には関数解析によって詳細に説明された。

それぞれのタイプの空間には独自の定義があるが、「空間」という一般的な概念は形式化が難しい。形式的な基準がなければ、ある構造は空間と呼ばれ、他の構造は空間と呼ばれない。さらに、「構造」という一般的な概念についてのコンセンサスはない。Pudlák によれば、^[7]「数学は、数学的構造のような単一の概念では完全に説明できない。しかし、ブルバキの構造主義的アプローチは、私たちが持っている中で最善のものである」。ブルバキの構造主義的アプローチについては、最後のセクション「空間と構造」で再び取り上げるが、ここでは、ブルバキの精神に基づく空間 (および構造) の可能な分類について概説する。

空間は 3 つのレベルで分類されます。各数学理論はオブジェクトをその特性のいくつかで記述するため、最初に尋ねるべき質問は「どの特性か」です。これが最初の (上位の) 分類レベルにつながります。2 番目のレベルでは、特に重要な質問 (最初のレベルに従って意味を成す質問の中で) に対する回答を考慮します。3 番目のレベルの分類では、考えられるすべての質問に対する回答を考慮します。

たとえば、上位レベルの分類では、ユークリッド空間と射影空間を区別します。これは、2 点間の距離がユークリッド空間では定義されているが、射影空間では定義されていないためです。別の例を挙げると、「三角形の 3 つの角度の和はいくらか」という質問は、ユークリッド空間では意味をなしますが、射影空間では意味をなしません。非ユークリッド空間では、質問は意味をなしますが、答えは異なります。これは上位レベルの区別ではありません。

また、ユークリッド平面とユークリッド 3 次元空間の区別は上位レベルの区別ではなく、「次元とは何か」という質問はどちらの場合も意味をなします。

第2 レベルの分類では、たとえば、ユークリッド空間と非ユークリッド空間、有限次元空間と無限次元空間、コンパクト空間と非コンパクト空間などを区別します。ブルバキの用語では、^[2]第 2 レベルの分類は「種」による分類です。生物学的分類とは異なり、空間は複数の種に属する場合があります。

第3 レベルの分類では、たとえば、異なる次元の空間を区別しますが、2 次元ユークリッド空間として扱われる 3 次元ユークリッド空間の平面と、やはり 2 次元ユークリッド空間として扱われるすべての実数のペアの集合とを区別しません。同様に、同じ非ユークリッド空間の異なるユークリッドモデルを区別しません。より正式には、第 3 レベルでは、同型性までの空間を分類します。2 つの空間間の同型性は、最初の空間の点と 2 番目の空間の点の間の 1 対 1 の対応として定義され、最初のレベルに従って規定されたすべての関係が保持されます。相互に同型の空間は、単一の空間のコピーであると考えられます。そのうちの 1 つが特定の種に属している場合、それらはすべてその種に属します。

同型性の概念は、上位レベルの分類に光を当てます。同じ上位レベルのクラスの 2 つの空間の間に 1 対 1 の対応がある場合、それが同型性であるかどうかを尋ねることがあります。この質問は、異なるクラスの 2 つの空間に対しては意味がありません。

自分自身への同型は自己同型と呼ばれます。ユークリッド空間の自己同型は、これらのシフト、回転、反射、合成です。ユークリッド空間は、すべての点が何らかの自己同型によって他のすべての点に変換できるという意味で同質です。

ユークリッドの公理^[b]には自由がなく、空間の幾何学的性質をすべて一意に決定します。より正確には、すべての 3 次元ユークリッド空間は相互に同型です。この意味で、3 次元ユークリッド空間が「その」空間となります。ブルバキの用語では、対応する理論は単価です。対照的に、位相空間は一般に非同型であり、その理論は多価です。同様の考え方が数理論理学にも見られます。同じ基数のすべてのモデルが相互に同型である場合、理論はカテゴリカルと呼ばれます。ブルバキによると、^[8]多価理論の研究は、現代数学を古典数学と区別する最も顕著な特徴です。

位相的概念 (連続性、収束、開集合、閉集合など) は、あらゆるユークリッド空間で自然に定義されます。言い換えれば、あらゆるユークリッド空間は位相空間でもあります。2 つのユークリッド空間間の同型性は、対応する位相空間間の同型性 (「同相」と呼ばれる) でもありますが、その逆は誤りです。同相性は距離を歪める可能性があります。ブルバキの用語では、^[2]「位相空間」は「ユークリッド空間」構造の基礎構造です。同様の考え方はカテゴリ理論にも見られます。ユークリッド空間のカテゴリは位相空間のカテゴリ上の具体的なカテゴリであり、忘却(または「剥ぎ取り」)関数は前者のカテゴリを後者のカテゴリにマップします。

3次元ユークリッド空間はユークリッド空間の特殊なケースである。ブルバキの用語では、^[2] 3次元ユークリッド空間の種はユークリッド空間の種よりも豊富である。同様に、コンパクト位相空間の種は位相空間の種よりも豊富である。

空間の種の間のこのような関係は、図 3 に示すように図式的に表現できます。A から B への矢印は、すべてのA 空間がB 空間でもあるか、 B 空間として扱うことができるか、 B 空間を提供するなどを意味します。A と B を空間のクラスとして扱うと、矢印は A から B への遷移として解釈できます。(Bourbaki の用語では、^{[9] A}空間からB 空間への「演繹の手順」です。クラスA、B がセットでない限り、関数ではありません。このニュアンスは以下を無効にするものではありません。) 図 3 の 2 つの矢印は反転できませんが、理由は異なります。

「ユークリッド」から「位相的」への移行は忘れられやすい。位相は連続と不連続を区別するが、直線と曲線を区別しない。直感的に、ユークリッド構造は位相から復元できないことがわかる。証明には、位相空間の自己同型（つまり、自己同相）を使用するが、これはユークリッド空間の自己同型ではない（つまり、シフト、回転、反射の合成ではない）。このような変換により、与えられたユークリッド構造は（同型だが）異なるユークリッド構造に変換される。両方のユークリッド構造は、単一の位相構造に対応する。

対照的に、「3 次元ユークリッド」から「ユークリッド」への移行は忘れ去られるものではありません。ユークリッド空間は 3 次元である必要はありませんが、3 次元である場合は完全なものであり、構造は失われません。言い換えると、後者の移行は単射(1 対 1) ですが、前者の移行は単射ではありません (多対 1)。単射の移行は、「→」ではなく、とげのある尾を持つ矢印「↣」で示します。

どちらの遷移も射影的ではありません。つまり、すべての B 空間が何らかの A 空間から生じるわけではありません。まず、3 次元ユークリッド空間はユークリッド空間の特殊な (一般的な) ケースです。次に、ユークリッド空間の位相は位相の特殊なケースです (たとえば、非コンパクトで連結である必要があります)。射影的遷移は、双方向矢印 (「→」ではなく「↠」) で表します。たとえば、図 4 を参照してください。ここでは、「実線形位相」から「実線形」への矢印は双方向です。これは、すべての実線形空間がその線形構造と互換性のある何らかの (少なくとも 1 つの) 位相を許容するためです。

このような位相は一般に一意ではないが、実線型空間が有限次元の場合には一意である。これらの空間では、遷移は単射かつ射影的、つまり全単射である。図 4 の「有限次元実線型位相」から「有限次元実線型」への矢印を参照。逆遷移も存在する (これは 2 番目の逆方向矢印で示すことができる)。したがって、2 種類の構造は同等である。実際には、同等の構造の種類を区別することはない。^[10]図 4 の大きなボックスで示すように、同等の構造は 1 つの構造として扱うことができる。

矢印で示される遷移は同型性に従います。つまり、2 つの同型A 空間は2 つの同型B 空間につながります。

図 4 の図は可換です。つまり、図中の同じ始点と終点を持つすべての有向パスは同じ結果につながります。図 9 の破線矢印を除き、以下の他の図も可換です。「位相的」から「測定可能」への矢印が破線になっているのは、そこで説明されている理由によるものです。「位相空間を測定可能空間にするには、σ 代数を付与します。ボレル集合の σ 代数は最も一般的ですが、唯一の選択肢ではありません。」実線の矢印は、自然に思い浮かび、デフォルトで暗黙的に広く使用されている、一般的な、いわゆる「標準的な」遷移を示します。たとえば、ユークリッド空間上の連続関数について話す場合、その位相を明示的に指定する必要はありません。実際、代替の位相が存在し、たとえば細かい位相が使用されることがありますが、これらは常に明示的に指定されます。これは、一般的な位相ほど目立たないためです。破線の矢印は、複数の遷移が使用されており、どれもあまり普及していないことを示します。

2 つの基本的な空間は、線型空間(ベクトル空間とも呼ばれる) と位相空間です。

線型空間は代数的な性質を持つ。実線型空間（実数体上）、複素線型空間（複素数体 上）、およびより一般的には任意の体上の線型空間がある。複素線型空間はすべて実線型空間でもある（後者は前者の基になっている）。これは、各複素数が 2 つの実数で指定できるためである。たとえば、 1 次元複素線型空間として扱われる複素平面は、2 次元実線型空間にダウングレードできる。対照的に、実直線は 1 次元実線型空間として扱うことはできるが、複素線型空間としては扱えない。体拡大も参照のこと。より一般的には、体上のベクトル空間は、その体の部分体上のベクトル空間の構造も持つ。定義により線型空間で与えられる線型演算は、直線（および平面、その他の線型部分空間）、平行線、楕円（および楕円体）などの概念につながる。しかし、直交する直線を定義したり、楕円の中から円を一つだけ取り出したりすることは不可能です。なぜなら、線形空間には角度の測定に使用できるスカラー積のような構造がないからです。線形空間の次元は、線形独立ベクトルの最大数として定義されます。または、それと同値として、空間を張るベクトルの最小数として定義されます。次元は有限の場合もあれば、無限の場合もあります。同じ体上の 2 つの線形空間は、同じ次元である場合に限り、同型です。n次元複素線形空間は、2 n次元の実線形空間でもあります。

位相空間は解析的な性質を持つ。定義により位相空間に与えられた開集合は、連続関数、経路、写像、収束列、極限、内部、境界、外部などの概念につながる。しかし、一様連続性、有界集合、コーシー列、微分可能関数（経路、写像）は未定義のままである。位相空間間の同型性は伝統的に同相写像と呼ばれ、両方向に連続する一対一対応である。開区間（0,1）は実数直線全体（−∞,∞）に同相であるが、閉区間[0,1]や円には同相ではない。立方体の表面は球（ボールの表面）に同相であるが、トーラスには同相ではない。異なる次元のユークリッド空間は同相ではない。これは明らかなように思えるが、証明するのは簡単ではない。位相空間の次元を定義するのは困難である。帰納的次元（幾何学的図形の境界の次元は通常、図形自体の次元より 1 小さいという観察に基づく）とルベーグ被覆次元を使用できます。 n次元ユークリッド空間の場合、両方の位相次元はnに等しくなります。

位相空間のすべての部分集合は、それ自体が位相空間である (対照的に、線型空間の線型部分集合だけが線型空間である)。一般位相(点集合位相とも呼ばれる) によって研究される任意の位相空間は、同相写像に至るまで完全に分類するには多様すぎる。コンパクト位相空間は、位相空間の重要なクラス (この「タイプ」の「種」) である。すべての連続関数は、このような空間上で有界である。閉区間 [0,1] と拡張実数直線[−∞,∞] はコンパクトであるが、開区間 (0,1) と直線 (−∞,∞) はコンパクトではない。幾何位相学は、多様体(この「タイプ」の別の「種」) を調査します。これらは、ユークリッド空間に局所的に同相な (そしていくつかの追加条件を満たす) 位相空間です。低次元多様体は、同相写像に至るまで完全に分類されます。

線形構造と位相構造の両方が、線形位相空間(つまり位相ベクトル空間) 構造の基礎となります。線形位相空間は、実または複素線形空間であると同時に位相空間でもあり、線形演算は連続しています。したがって、位相的でもある線形空間は、一般に線形位相空間ではありません。

有限次元の実線型空間または複素線型空間は、線型位相空間となる位相を 1 つだけ持つという意味で、線型位相空間です。したがって、「有限次元の実線型空間または複素線型空間」と「有限次元の線型位相空間」という 2 つの構造は同等であり、相互に基礎をなしています。したがって、有限次元の線型位相空間のすべての可逆な線型変換は同相写像です。有限次元の実線型空間では、次元の 3 つの概念 (代数的 1 つと位相的 2 つ) が一致します。ただし、無限次元空間では、異なる位相が特定の線型構造に適合することがあり、可逆な線型変換は一般に同相写像ではありません。

アフィン空間と射影空間は、次のように線型空間を用いて導入すると便利です。 ( n +1)次元線型空間のn次元線型部分空間は、それ自体がn次元線型空間であるため、同次ではありません。これには、原点という特別な点が含まれます。これを外部のベクトルでシフトすると、n次元アフィン部分空間が得られます。これは同次です。アフィン空間は線型空間に含まれる必要はありませんが、線型空間のアフィン部分空間と同型です。与えられた体上のすべてのn次元アフィン空間は、相互に同型です。ジョン・バエズの言葉を借りれば、「アフィン空間は、その原点を忘れたベクトル空間です」。特に、すべての線型空間はアフィン空間でもあります。

( n +1)次元線型空間L内のn次元アフィン部分空間Aが与えられたとき、 A内の直線は、Aと、 Aと交差するLの2 次元線型部分空間との交点として定義できます。言い換えると、Aと平行ではない、原点を通る平面との交点です。より一般的には、Aのk次元アフィン部分空間は、Aと、 Aと交差するLの( k +1) 次元線型部分空間との交点です。

アフィン部分空間Aのすべての点は、 AとLの1 次元線形部分空間との交点である。しかし、Lのいくつかの1 次元部分空間はAに平行であり、ある意味では、それらはA と無限遠で交差する。 ( n +1) 次元線形空間のすべての1 次元線形部分空間の集合は、定義により、n次元射影空間である。そして、アフィン部分空間A は、真部分集合として射影空間に埋め込まれる。しかし、射影空間自体は同次である。射影空間内の直線は、( n +1) 次元線形空間の2 次元線形部分空間に対応する。より一般的には、射影空間のk次元射影部分空間は、( n +1 ) 次元線形空間の ( k +1) 次元線形部分空間に対応し、 k次元射影空間と同型である。

このように定義すると、アフィン空間と射影空間は代数的な性質を持ち、実数、複素数、さらに一般的には任意の体上で実行できます。

すべての実または複素アフィン空間または射影空間は位相空間でもあります。アフィン空間は非コンパクト多様体であり、射影空間はコンパクト多様体です。実射影空間では直線は円に同相であるためコンパクトですが、これは線型またはアフィン空間の直線とは対照的です。

点間の距離は距離空間で定義されます。距離空間間の同型性は等長写像と呼ばれます。すべての距離空間は位相空間でもあります。位相空間は、距離空間の基礎となる場合、距離化可能と呼ばれます。すべての多様体は距離化可能です。

距離空間では、有界集合とコーシー列を定義できます。距離空間は、すべてのコーシー列が収束する場合、完全と呼ばれます。すべての不完全空間は、稠密な部分集合として、完全空間 (完備化) に等長的に埋め込まれます。すべてのコンパクトな距離空間は完全です。実数直線はコンパクトではありませんが、完全です。開区間 (0,1) は不完全です。

すべてのユークリッド空間は完全な距離空間でもあります。さらに、ユークリッド空間に内在するすべての幾何学的概念は、その距離によって特徴付けることができます。たとえば、2 つの点AとCを結ぶ直線部分は、AとC の間の距離がAとB の間の距離と B と C の間の距離の合計に等しくなるようなすべての点Bで構成されます。

ハウスドルフ次元（与えられた集合を覆う小さな球の数に関連）は距離空間に適用され、非整数になることがあります（特にフラクタルの場合）。n次元ユークリッド空間の場合、ハウスドルフ次元はnに等しくなります。

一様空間は距離を導入しませんが、一様連続性、コーシー列 (またはフィルターやネット)、完全性、完備性を使用できます。すべての一様空間は位相空間でもあります。すべての線型位相空間 (距離化可能かどうかに関係なく) も一様空間であり、有限次元では完全ですが、一般に無限次元では不完全です。より一般的には、すべての可換位相群も一様空間です。ただし、非可換位相群は、左不変と右不変の 2 つの一様構造を持ちます。

ユークリッド空間のベクトルは線型空間を形成しますが、各ベクトルには長さ、つまりノルムもあります。ノルムが与えられた実線型空間または複素線型空間はノルム空間です。すべてのノルム空間は線型位相空間と距離空間の両方です。バナッハ空間は完全なノルム空間です。多くの数列または関数の空間は無限次元のバナッハ空間です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \lVert x\rVert }$

ノルムが 1 未満のすべてのベクトルの集合は、ノルム空間の単位球と呼ばれます。これは凸で中心対称な集合であり、一般に楕円体ではありません。たとえば、平面上の多角形や、より一般的には任意の有限次元の多面体です。平行四辺形の法則 (平行四辺形の恒等式とも呼ばれます)

${\displaystyle \lVert xy\rVert ^{2}+\lVert x+y\rVert ^{2}=2\lVert x\rVert ^{2}+2\lVert y\rVert ^{2}\ ,}$

一般にノルム空間では成り立たないが、ユークリッド空間のベクトルに対しては成り立つ。これは、ベクトルのユークリッドノルムの2乗がそれ自身との内積であるという事実から導かれる。 ${\displaystyle \lVert x\rVert ^{2}=(x,x)}$

内積空間は、双線型または二乗線型形式を備え、いくつかの条件を満たし、内積と呼ばれる実または複素線型空間です。すべての内積空間はノルム空間でもあります。ノルム空間が内積空間の基礎となるのは、平行四辺形法則を満たす場合、または同値として、その単位球が楕円体である場合のみです。ベクトル間の角度は内積空間で定義されます。ヒルベルト空間は、完全な内積空間として定義されます。(著者の中には、ヒルベルト空間は複素数でなければならないと主張する人もいれば、実ヒルベルト空間も認める人もいます。) 数列や関数の空間の多くは、無限次元ヒルベルト空間です。ヒルベルト空間は量子論にとって非常に重要です。^[11]

すべてのn次元実内積空間は相互に同型です。n次元ユークリッド空間は、その起源を忘れたn次元実内積空間であると言えます。

滑らかな多様体は「空間」とは呼ばれませんが、そう呼ばれることもあります。すべての滑らかな多様体は位相多様体であり、有限次元線形空間に埋め込むことができます。有限次元線形空間内の滑らかな表面は滑らかな多様体です。たとえば、楕円体の表面は滑らかな多様体ですが、多面体はそうではありません。実数または複素数の有限次元線形、アフィン、および射影空間も滑らかな多様体です。

滑らかな多様体内の滑らかな経路は、その各点において、その点における多様体の接空間に属する接ベクトルを持ちます。n次元の滑らかな多様体の接空間は、 n次元の線形空間です。滑らかな多様体上の滑らかな関数の微分は、各点における接空間上の線形関数を提供します。

リーマン多様体、またはリーマン空間は、その接空間がいくつかの条件を満たす内積を持つ滑らかな多様体です。ユークリッド空間もリーマン空間です。ユークリッド空間内の滑らかな表面はリーマン空間です。双曲非ユークリッド空間もリーマン空間です。リーマン空間内の曲線には長さがあり、2 点間の最短曲線の長さによって距離が定義されるため、リーマン空間は距離空間になります。1 点で交差する 2 本の曲線間の角度は、それらの接線間の角度です。

接空間上の内積の正値性を放棄すると、一般相対論にとって非常に重要なローレンツ空間を含む擬リーマン空間が得られます。

距離と角度を無視し、（幾何学的物体の）体積を維持すると、測度論に到達します。アンドレイ・コルモゴロフの確率論へのアプローチによれば、測度は体積の他に、面積、長さ、質量（または電荷）分布、さらに確率分布の概念を一般化します。

古典数学の「幾何学的物体」は、単なる点の集合よりもはるかに規則的です。物体の境界は体積がゼロです。したがって、物体の体積はその内部の体積であり、内部は無限の立方体の列で埋め尽くすことができます。対照的に、任意の点の集合の境界は、体積がゼロでない場合があります (例: 特定の立方体内のすべての有理点の集合)。測度論は、体積の概念を、いわゆる可測集合と呼ばれる膨大な集合のクラスに拡張することに成功しました。実際、非可測集合は、アプリケーションではほとんど発生しません。

定義により可測空間に与えられた可測集合は、可測関数と可測写像につながる。位相空間を可測空間にするには、σ-代数を付与する。ボレル集合のσ-代数は最も一般的だが、唯一の選択肢ではない。(ベール集合、普遍可測集合なども時々使用される。) 位相はボレルσ-代数によって一意に決定されるわけではない。例えば、可分ヒルベルト空間上のノルム位相と弱位相は、同じボレルσ-代数につながる。すべてのσ-代数が何らかの位相のボレルσ-代数であるとは限らない。^[c] 実際、σ-代数は、位相に関係なく、与えられた集合(または関数)のコレクションによって生成できる。可測空間のすべての部分集合は、それ自体が可測空間である。

標準可測空間 (標準ボレル空間とも呼ばれる) は、コンパクト空間 (EoM を参照) との類似性があるため、特に有用です。標準可測空間間のすべての全単射可測写像は同型です。つまり、逆写像も可測です。また、そのような空間間の写像が可測なのは、そのグラフが積空間で可測である場合に限ります。同様に、コンパクト距離空間間のすべての全単射連続写像は同相写像です。つまり、逆写像も連続です。また、そのような空間間の写像が連続なのは、そのグラフが積空間で閉じている場合に限ります。

ユークリッド空間（より一般的には、完全な可分距離空間）内のすべてのボレル集合は、ボレルσ 代数によって与えられ、標準可測空間になります。すべての無数な標準可測空間は相互に同型です。

測度空間は測度が備わった測定可能な空間です。ルベーグ測度を持つユークリッド空間は測度空間です。積分理論は、測度空間上の測定可能な関数の積分可能性と積分を定義します。

測度 0 の集合は空集合と呼ばれ、無視できます。したがって、「mod 0 同型性」は、完全な測度のサブセット間の同型性 (つまり、補集合が無視できる) として定義されます。

確率空間は、空間全体の測度が 1 に等しい測度空間です。確率空間の任意の族 (有限または非有限) の積は確率空間です。対照的に、一般に測度空間については、有限個の空間の積のみが定義されます。したがって、無限次元の確率測度 (特にガウス測度) は多数存在しますが、無限次元のルベーグ測度は存在しません。

標準確率空間は特に有用である。標準確率空間上では、条件付き期待値は条件付き測度上の積分として扱うことができる（正則条件付き確率、測度の分解も参照）。2 つの標準確率空間が与えられた場合、それらの測度代数のすべての準同型は、何らかの測度保存写像によって誘導される。標準可測空間上のすべての確率測度は、標準確率空間につながる。標準確率空間の列（有限または非有限）の積は、標準確率空間である。すべての非原子標準確率空間は、0 を法として相互に同型であり、その 1 つはルベーグ測度を持つ区間 (0,1) である。

これらの空間は幾何学的ではありません。特に、他のすべての空間に（何らかの形で）適用可能な次元の概念は、測定可能空間、測度空間、確率空間には適用されません。

数学的解析として知られる微積分の理論的研究は、20 世紀初頭に実数値または複素数値関数の線型空間の検討につながりました。これらの最も初期の例は関数空間であり、それぞれが独自の種類の問題に適応していました。これらの例には多くの共通の特徴があり、これらの特徴はすぐにヒルベルト空間、バナッハ空間、およびより一般的な位相ベクトル空間に抽象化されました。これらは、幅広い数学的問題を解決するための強力なツールキットでした。

最も詳細な情報は、バナッハ代数と呼ばれる空間のクラスによって伝えられた。これらは、連続的な乗算演算を伴うバナッハ空間である。初期の重要な例は、測度空間X上の本質的に有界な測定可能関数のバナッハ代数であった。この関数の集合は、点ごとの加算とスカラー乗算の下でのバナッハ空間である。点ごとの乗算演算により、これは特別なタイプのバナッハ空間となり、現在では可換フォン・ノイマン代数と呼ばれる。点ごとの乗算により、 X上の平方可積分関数のヒルベルト空間上のこの代数の表現が決定される。ジョン・フォン・ノイマンの初期の観察では、この対応は逆にも機能するというものであった。いくつかの軽い技術的仮説が与えられると、可換フォン・ノイマン代数とヒルベルト空間上の表現を組み合わせると測定空間が決定され、これら 2 つの構成 (フォン・ノイマン代数と表現の組み合わせと測定空間の構成) は相互に逆である。

その後、フォン・ノイマンは、非可換フォン・ノイマン代数は、可換フォン・ノイマン代数と同様に幾何学的な意味を持つべきだと提唱した。フランシス・マレーとともに、彼はフォン・ノイマン代数の分類を生み出した。直接積分構成は、任意のフォン・ノイマン代数を因子と呼ばれるより単純な代数の集合に分解する方法を示している。 フォン・ノイマンとマレーは因子を3つのタイプに分類した。タイプIは可換の場合とほぼ同じであった。タイプIIとタイプIIIは新しい現象を示した。タイプIIフォン・ノイマン代数は、次元が整数だけでなく任意の非負の実数になり得るという特異な特徴を持つ幾何学を決定した。タイプIII代数はタイプIでもタイプIIでもないものであり、数十年の努力の末、これらはタイプII因子と密接に関連していることが証明された。

関数空間の幾何学に対する少し異なるアプローチが、フォン・ノイマンとマレーによる因数の分類に関する研究と同時期に開発されました。このアプローチがC*-代数の理論です。 ここでの動機となる例はC*-代数 で、Xは局所コンパクトなハウスドルフ位相空間です。定義により、これは、点ごとの加算と乗算の演算によって無限遠で消失する (これは、選択した点から離れるほど、関数がゼロに近づくことを大まかに意味します) X上の連続複素数値関数の代数です。ゲルファント・ナイマークの定理は、可換C*-代数と幾何学的オブジェクトの間に対応があることを暗示しています。つまり、すべての可換C*-代数は、何らかの局所コンパクトなハウスドルフ空間Xに対して の形になります。したがって、局所コンパクトなハウスドルフ空間を純粋に可換 C*-代数の観点から研究することができます。 非可換幾何学は、これを非可換C*-代数の研究の着想としています。 「非可換空間X 」というものがあるとすれば、それは非可換C*-代数になります。さらに、これらの存在しないオブジェクトにゲルファント・ナイマークの定理を適用すると、空間 (可換かどうかに関係なく) はC*-代数と同じになります。したがって、非可換空間の定義に直接的なアプローチがないため、非可換空間は非可換 C*-代数として定義されます。 多くの標準的な幾何学ツールは C*-代数で言い換えることができ、これにより、非可換C*-代数を研究するための幾何学にヒントを得た手法が得られます。 ${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle C_{0}(X)}$

これら 2 つの例は、現在では非可換幾何学と呼ばれる分野の例です。フォン ノイマン代数とC*-代数の具体的な例は、それぞれ非可換測度論と非可換位相幾何学として知られています。非可換幾何学は、単に一般性を追求するだけのものではなく、また単なる好奇心でもありません。非可換空間は、何らかの構成から自然に、さらには必然的に生じます。たとえば、凧とダーツによる平面の非周期的なペンローズ タイリングを考えてみましょう。このようなタイリングでは、凧とダーツのすべての有限のパッチが無限に出現するという定理があります。結果として、有限部分を見て 2 つのペンローズ タイリングを区別する方法はありません。これにより、すべてのタイリングの集合に従来の意味での位相を割り当てることが不可能になります。それにもかかわらず、ペンローズのタイリングは非可換C* 代数を決定するため、非可換幾何学の手法で研究することができます。微分幾何学で非常に興味深いもう 1 つの例は、多様体の葉の構造です。これは、多様体を葉と呼ばれるより次元の低い部分多様体に分割する方法で、各葉は近くの他の葉と局所的に平行です。すべての葉の集合は位相空間にすることができます。ただし、無理回転の例は、この位相空間が古典的な測度論の手法ではアクセスできない可能性があることを示しています。ただし、葉の構造の葉の空間に関連付けられた非可換フォン ノイマン代数があり、これもまた、そうでなければ理解できない空間に優れた幾何学的構造を与えます。

代数幾何学は、多項式方程式の幾何学的特性を研究します。多項式は、加算と乗算という基本的な算術演算から定義される関数の一種です。このため、多項式は代数と密接に結びついています。代数幾何学は、純粋代数の問題に幾何学的手法を適用する方法を提供し、その逆も可能です。

1940 年代以前は、代数幾何学は複素数に対してのみ作用し、最も基本的な多様体は射影空間でした。射影空間の幾何学は透視図法の理論と密接に関連しており、その代数は同次多項式によって記述されます。他のすべての多様体は、射影空間の部分集合として定義されました。射影多様体は、同次多項式の集合によって定義される部分集合でした。射影多様体の各点において、集合内のすべての多項式は 0 に等しくなければなりませんでした。線型多項式の零集合の補集合はアフィン空間であり、アフィン多様体は射影多様体とアフィン空間の交差でした。

アンドレ・ヴェイユは、幾何学的推論は、問題となる空間が離散的であったり有限であったりする数論的状況にも適用できる場合があることに気付きました。この考えを追求して、ヴェイユは代数幾何学の基礎を書き直し、複素数への依存から代数幾何学を解放し、射影空間に埋め込まれていない抽象的な代数多様体を導入しました。これらは現在、単に多様体と呼ばれています。

現代の代数幾何学のほとんどで基礎となっている空間の種類は、ヴェイユの抽象代数多様体よりもさらに一般的である。これはアレクサンダー・グロタンディークによって導入され、スキームと呼ばれている。スキーム理論の動機の 1 つは、関数間で多項式が異常に構造化されており、その結果として代数多様体が固定されているということである。このため、退化した状況を研究しようとすると問題が生じる。たとえば、円上のほぼすべての 2 つの点は、割線と呼ばれる一意の線を決定し、2 つの点が円の周りを移動すると、割線は連続的に変化する。しかし、2 つの点が衝突すると、割線は接線に退化する。接線は一意であるが、この構成 (円上の 1 つの点) の幾何学は、一意の線を決定するのに十分な表現力を持っていない。このような状況を研究するには、退化した状況に追加のデータを割り当てることができる理論が必要である。

スキームの構成要素の 1 つは位相空間です。位相空間には連続関数がありますが、連続関数は、対象となる基礎となる代数構造を反映するには一般的すぎます。したがって、スキームのもう 1 つの構成要素は、位相空間上の「構造層」と呼ばれる層です。位相空間の各開集合では、層は「正規関数」と呼ばれる関数の集合を指定します。位相空間と構造層は、関数が代数演算から得られるという条件を満たす必要があります。

多様体と同様に、スキームは、よく知られた空間をローカルにモデル化した空間として定義されます。多様体の場合、よく知られた空間はユークリッド空間です。スキームの場合、ローカル モデルはアフィン スキームと呼ばれます。アフィン スキームは、代数幾何学と可換代数を直接結び付けます。可換代数における基本的な研究対象は、可換環です。が可換環である場合、の代数構造を幾何学に変換する、対応するアフィン スキームが存在します。逆に、すべてのアフィン スキームは、可換環、つまりその構造層のグローバル セクションの環を決定します。これら 2 つの操作は相互に逆であるため、アフィン スキームは、可換代数の問題を研究するための新しい言語を提供します。定義により、スキーム内のすべての点には、アフィン スキームである開近傍があります。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$${\displaystyle R}$

アフィンでないスキームは数多く存在する。特に、射影空間は、コンパクト性に類似した、プロパーネスと呼ばれる条件を満たす。アフィンスキームはプロパーネスにはなり得ない（スキームが単一の点しか持たないような自明な状況を除く）ため、射影空間はアフィンスキームではない（ゼロ次元の射影空間を除く）。射影スキーム、つまり射影空間の閉じたサブスキームとして生じるスキームは、スキームの中で最も重要なファミリーである。^[12]

スキームの一般化はいくつか導入されている。 マイケル・アルティンは、代数空間を、エタール射を定義する同値関係によるスキームの商として定義した。代数空間はスキームの有用な特性の多くを保持しながら、同時により柔軟である。例えば、キール・モリ定理は、多くのモジュライ空間が代数空間であることを示すために使用できる。

代数空間よりも一般的なのが、ドリーニュ・マンフォード スタックです。DM スタックはスキームに似ていますが、多項式だけで記述できない特異点を許容します。スキームに対しては、オービフォールドが多様体に対して果たすのと同じ役割を果たします。たとえば、アフィン平面を原点の周りの有限群の回転で割った商は、スキームでも代数空間でもないドリーニュ・マンフォード スタックを生成します。原点から離れると、群作用による商は円上の等間隔の点の有限集合を特定します。しかし、原点では、円は原点自体という単一の点のみで構成され、群作用はこの点を固定します。ただし、商 DM スタックでは、この点には商であるという追加データが伴います。このような洗練された構造はモジュライ空間の理論で役立ち、実際、もともとは代数曲線のモジュライを記述するために導入されました。

さらに一般化したものには代数スタックがあり、アルティンスタックとも呼ばれます。DM スタックは有限群作用による商に制限されます。これはモジュライ理論の多くの問題には十分ですが、他の問題には制限が厳しすぎるため、アルティンスタックはより一般的な商を許可します。

グロタンディークはヴェイユ予想に関する研究で、現在グロタンディーク位相と呼ばれる新しいタイプの位相を導入した。位相空間 (通常の意味で) は「近さ」の概念を公理化し、2 つの点が同じ開集合の多くに存在する場合にのみ、それらの点が近くにあるとする。対照的に、グロタンディーク位相は「被覆」の概念を公理化する。空間の被覆は、周囲の空間のすべての情報を一緒に含む部分空間の集合である。層は被覆によって定義されるため、グロタンディーク位相は層の理論の公理化と見なすこともできる。

グロタンディークは位相に関する研究からトポイの理論にたどり着いた。回想録『レコルトとセメール』で、トポイを「最も広大な構想」と呼んだ。^[13]層（位相空間上またはグロタンディーク位相に関して）は、局所データを表現するために使用される。すべての層のカテゴリは、局所データを表現するすべての可能な方法を保持する。位相空間は点から構成され、点自体も一種の局所データであるため、層のカテゴリは元の空間の代わりとして使用できる。その結果、グロタンディークはトポを層のカテゴリとして定義し、トポイをそれ自体が興味のある対象として研究した。これらは現在、グロタンディークのトポイと呼ばれている。

すべての位相空間はトポスを決定し、逆もまた同様である。関連するトポスを取ると情報が失われる位相空間もあるが、これらは一般に病的であると見なされる。(必要十分条件は、位相空間が非定常空間であることである。) 逆に、関連する位相空間が元のトポスを捉えないトポスもある。しかし、病的であるどころか、これらのトポスは数学的に非常に興味深いものとなり得る。例えば、グロタンディークのエタール コホモロジー理論(最終的にはヴェイユ予想の証明につながった) は、スキームのエタール トポスのコホモロジーとして表現することができ、このトポスは位相空間から来るものではない。

実際、位相空間は、局所と呼ばれる非常に特殊なトポイにつながります。位相空間の開集合の集合は、格子を決定します。位相空間の公理により、これらの格子は完全な Heyting 代数になります。局所の理論は、これを出発点としています。局所は完全な Heyting 代数として定義され、位相空間の基本的性質はこれらの用語で再表現および再証明されます。局所の概念は、すべての厳密な位相空間が一意の局所を決定するという点で、位相空間よりも一般的であることがわかりますが、多くの興味深い局所は位相空間から来ません。局所は点を持つ必要がないため、局所の研究は、いくぶん冗談めかして無意味な位相学と呼ばれています。

トポスは、数学的論理とも深いつながりがあります。すべてのグロタンディークのトポスは、サブオブジェクト分類子と呼ばれる特別な層を持ちます。このサブオブジェクト分類子は、すべての可能な真理値の集合のように機能します。集合のトポスでは、サブオブジェクト分類子は集合 であり、「False」と「True」に対応します。ただし、他のトポスでは、サブオブジェクト分類子ははるかに複雑になることがあります。Lawvere とTierney は、サブオブジェクト分類子を公理化すると、現在では基本トポスとして知られる、より一般的な種類のトポスが生成され、基本トポスは直観論理のモデルであることを認識しました。これにより、論理から幾何学へのツールを適用する強力な方法が提供されただけでなく、論理における幾何学的方法の使用も可能になりました。 ${\displaystyle \{0,1\}}$

ケビン・アーリンによれば、

これらの単語 [「空間」と「構造」] には、数学的な定義が 1 つだけあるわけではありません。英語の単語は基本的にすべて同じ状況で使用できますが、「空間」はより幾何学的なものとして、「構造」はより代数的なものとして考えられます。 [...] したがって、「構造」は代数を行う場所、「空間」は幾何学を行う場所と考えることができます。また、位相空間の基本群や環のスペクトルを見るときのように、構造から空間へ、またはその逆から多くの優れた数学が生まれました。しかし、結局のところ、その区別は厳密でも迅速でもなく、ある程度までです。明らかに構造と空間の両方であるものが多くありますが、明らかにどちらでもないものもあります。また、ここで述べたことすべてに同意しない人もいるかもしれません。^[1]

それにもかかわらず、ブルバキは「構造」の一般的な定義を提案した。^[2]それは、上で述べたすべてのタイプの空間、（ほぼ？）これまで使われてきたすべてのタイプの数学的構造、そしてそれ以上を包含する。それは同型性の一般的な定義を提供し、同型構造間の特性の転送を正当化する。しかし、数学の実践では積極的に使われなかった（ブルバキ自身が書いた数学論文でさえも）。以下は、ロバート・リード^[14]によるレオ・コリーの著書のレビューの最後のフレーズである。

コリーは、構造の正式な定義が、実際の数学の実践における概念の使用に正当性を与えるとは考えていないようだ[...] コリーの見解は、「構造」は本質的に数学を行う方法を指し、したがって、数学自体の文化的遺物と同じくらい正確に定義できる概念ではないという信念として要約できるだろう。

数学的構造の詳細については、Wikipedia の「数学的構造」、「数学的構造の同等の定義」、および「構造の転送」を参照してください。

幾何学的「空間」と代数的「構造」の区別は、時には明確で、時にはとらえどころのないものです。明らかに、群は代数的であり、ユークリッド空間は幾何学的です。環上のモジュールは、群と同様に代数的です。特に、環が体 のように見える場合、モジュールは線型空間 のように見えます。これは代数的でしょうか、それとも幾何学的でしょうか。特に、有限次元で、実数上であり、内積 を備えている場合、ユークリッド空間 になります。つまり、幾何学的になります。実数の(代数的?)体 は、実直線と同じです。その代数的閉包、つまり複素数の (代数的?) 体 は、複素平面と同じです。これは、まず第一に「解析を行う場所」です (代数や幾何学ではありません)。

上記の「空間の種類」のセクションで扱われるすべての空間は、「非可換幾何学」、「スキーム」、および「トポイ」サブセクションを除き、何らかの追加構造が付与された集合（ブルバキによれば、構造の「主基本集合」）です。基本集合の要素は通常、この空間の「点」と呼ばれます。対照的に、代数構造（の基本集合）の要素は通常「点」とは呼ばれません。

ただし、複数の主基底集合を使用する場合もあります。たとえば、2 次元の射影幾何学は、点の集合と直線の集合という2 つの基底集合で形式化できます。さらに、射影平面の顕著な特徴は、点と直線が果たす役割の対称性です。あまり幾何学的ではない例として、グラフは、頂点 (ノードまたは点とも呼ばれる) の集合とエッジ (弧または直線とも呼ばれる) の集合という2 つの基底集合で形式化できます。一般に、有限個の主基底集合と有限個の補助基底集合が Bourbaki によって規定されています。

上記の「非可換幾何学」、「スキーム」、および「トポイ」のサブセクションで扱われる幾何学的な趣を持つ多くの数学的構造は、点の基本集合を規定しません。たとえば、「無点位相幾何学」(言い換えれば、点自由位相幾何学、または局所理論) は、位相空間内の開集合を模倣する要素を持つ単一の基本集合から始まります (ただし、点の集合ではありません)。メレオトポロジーと点自由幾何学も参照してください。

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• ニコラ・ブルバキ『数学原論』ヘルマン（原著）、アディソン・ウェズリー（翻訳）。
• ブルバキ、ニコラ（1968）、数学の要素：集合論、ヘルマン（原著）、アディソン・ウェズリー（翻訳）。
• アイゼンバッド、デイビッド、ハリス、ジョー（2000）、The Geometry of Schemes、Springer-Verlag、doi：10.1007/b97680、ISBN 978-0-387-98638-8。
• ガワーズ、ティモシー、バローグリーン、ジューン、リーダー、イムレ編（2008年）、プリンストン数学コンパニオン、プリンストン大学出版、ISBN 978-0-691-11880-2。
• 伊藤清編（1993）、数学事典（第2版）、日本数学会（原著）、MIT出版（翻訳）。

• ウィキメディア・コモンズの宇宙（数学）に関連するメディア
• Matilde Marcolli (2009)「数学における空間の概念」、Caltechより。