圏論の用語集

これは数学の圏論 における性質と概念の用語集です。（圏論の概要も参照してください。）

• 基礎に関する注記: 多くの解説 (例: Vistoli) では集合論的な問題は無視されています。これは、たとえば、小さなカテゴリと大きなカテゴリを区別しないことや、カテゴリの局所化を任意に形成できることを意味しています。^[1]これらの解説と同様に、この用語集でも、関連する場合 (例: アクセス可能性に関する議論) を除いて、集合論的な問題は一般的に無視されています。

特に高次のカテゴリについては、代数的位相幾何学の概念もカテゴリ理論で使用されます。これについては、代数的位相幾何学の用語集も参照してください。

この記事全体で使用されている表記法と規則は次のとおりです。

• [ n ] = {0, 1, 2, …, n } であり、これはカテゴリとして表示されます（ と書きます）。${\displaystyle i\to j\Leftrightarrow i\leq j}$
• Cat は、（小さな）カテゴリのカテゴリであり、オブジェクトはカテゴリ（ある宇宙に関して小さい）と射関数です。
• Fct ( C , D )、関数カテゴリ:カテゴリCからカテゴリDへの関数のカテゴリ。
• 集合、（小さな）集合のカテゴリ。
• s集合、単体集合のカテゴリ。
• デフォルトのステータスは「厳密」ではなく「弱い」になります。たとえば、「nカテゴリ」は、デフォルトでは厳密なカテゴリではなく「弱いnカテゴリ」を意味します。
• ∞-カテゴリとは、他のモデルが議論されていない限り、最も一般的なモデルである準カテゴリを意味します。
• 数ゼロ0は自然数です。

アーベル

カテゴリがアーベル的であるとは、ゼロ オブジェクトを持ち、すべてのプルバックとプッシュアウトを持ち、すべての単射とエピモーフィズムが正規である場合です。

アクセス可能

1.基数κ が与えられたとき、カテゴリ内のオブジェクトXは、 κ フィルターされた余極限と可換である場合にκ アクセス可能(または κ コンパクト、あるいは κ 提示可能)です。${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,-)}$

2.正則基数κ が与えられた場合、カテゴリがκ フィルターされた余極限を持ち、余極限の下でカテゴリを生成する κ コンパクトオブジェクトの小さな集合S が存在する場合、カテゴリはκ アクセス可能であり、すべてのオブジェクトはS内のオブジェクトの図の余極限として記述できることを意味します。

添加物

あるカテゴリが加法的であるとは、それが前加法的（正確には、何らかの前加法的構造を持つ）であり、すべての有限余積を許容する場合である。「前加法的」は付加的な構造であるが、「加法的」はカテゴリの特性であることを示すことができる。つまり、与えられたカテゴリが加法的であるかどうかを問うことができる。^[2]

付加物

随伴関数（随伴対とも呼ばれる）は、関数F : C → D、G : D → Cの対であり、自然な一対一関係が存在する。

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{D}(F(X),Y)\simeq \operatorname {Hom} _{C}(X,G(Y))}$;

F はGの左随伴であり、G はFの右随伴であると言われています。ここで、「自然」とは、（最初​​の変数で反変である）双関数の自然な同型性があることを意味します。${\displaystyle \operatorname {Hom} _{D}(F(-),-)\simeq \operatorname {Hom} _{C}(-,G(-))}$

モナドの代数

カテゴリX内のモナドTが与えられた場合、Tの代数またはT代数は、Tのモノイド作用を持つX内のオブジェクトです(「代数」は誤解を招きやすいため、「Tオブジェクト」の方が適切な用語かもしれません)。たとえば、標準的な方法でSet内のモナドTを決定するグループGが与えられた場合、T代数はGの作用を持つセットです。

記憶喪失

関数が記憶喪失的であるとは、 kが同型でF ( k ) が恒等写像である場合に、k は恒等写像であるという性質を持つ場合である。

バランスのとれた

すべての双射（つまり、モノとエピの両方）が同型である場合、カテゴリはバランスが取れています。

ベックの定理

ベックの定理は、与えられたモナドの代数のカテゴリを特徴付けます。

二分類

二カテゴリは弱い2 カテゴリのモデルです。

双関数子

カテゴリCとD のペアからカテゴリEへの双関数は、関数C × D → Eです。たとえば、任意のカテゴリCについて、はC ^opとCからSetへの双関数です。${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,-)}$

双一面

双モノイドカテゴリは、一方が他方の上に分配される 2 つのモノイド構造を持つカテゴリです。

二相性

バイモーフィズムは、エピモーフィズムとモノモーフィズムの両方であるモーフィズムです。

バウスフィールドのローカリゼーション

Bousfield ローカリゼーションを参照してください。

関数の計算

関数の計算は、テイラー級数展開を介して関数を研究する方法と同様の方法で関数を研究する手法です。そこから「計算」という用語が生まれました。

直交座標の閉じた

カテゴリが直交閉であるのは、終端オブジェクトを持ち、任意の 2 つのオブジェクトに積と指数関数がある場合です。

デカルト関数

同じ基本カテゴリC上の相対カテゴリが与えられた場合、 C上の関数がデカルト射をデカルト射に送信する場合、その関数はデカルトです。${\displaystyle p:F\to C,q:G\to C}$${\displaystyle f:F\to G}$

デカルト写像

1. 関数 π: C → D (例えば、スキーム上のプレスタック) が与えられたとき、 Cの射f : x → yがπ-カルティシアンであるとは、Cの各オブジェクトz 、 Cの各射g : z → y 、および π( g ) = π( f ) ∘ vとなるDの各射v : π( z ) → π( x ) に対して、 π( u ) = vかつg = f ∘ uとなる一意の射u : z → xが存在する場合をいう。

2. 関数 π: C → D (例えば、リング上のプレスタック) が与えられたとき、 Cの射f : x → yがπ-コカルティシアンであるとは、Cの各オブジェクトz 、 Cの各射g : x → z 、および π( g ) = v ∘ π( f )となるDの各射v : π( y ) → π( z ) に対して、 π( u ) = vかつg = u ∘ fとなる唯一の射u : y → zが存在するときです。(つまり、f はπ-カルティシアン射の双対です。)

デカルト正方形

ファイバー積として与えられた図と同型な可換図。

定言論理

カテゴリー論理は、カテゴリー理論を使用する数学論理へのアプローチです。

カテゴリ確率

カテゴリ確率

分類

カテゴリー化とは、カテゴリーの特徴を捉えるために、集合と集合論的概念をカテゴリーとカテゴリー論的概念に置き換えるプロセスです。脱カテゴリー化はカテゴリー化の逆です。

カテゴリー理論は、空間からホモトピー的/ホモロジー的オブジェクトへの質的飛躍の研究において、極限への通過を伴う複雑な計算を導く必要性から生まれました。...しかし、カテゴリー理論は、ウォルフの形而上学の精神における単なる分類に満足しません (一部の実践者はそうするかもしれませんが)。むしろ、数学的に正確な構造 (射による) の 可変性が、カテゴリー理論の本質的な内容です。

ウィリアム・ローヴェア、^[3]

カテゴリ

カテゴリは以下のデータから構成されます

1. オブジェクトのクラス、
2. オブジェクトX、Yの各ペアに対して、 XからYへの射と呼ばれる要素を持つ集合が作られる。${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}$
3. オブジェクトX、Y、Zの3つの組ごとに、マップ（合成と呼ばれる）

   ${\displaystyle \circ :\operatorname {Hom} (Y,Z)\times \operatorname {Hom} (X,Y)\to \operatorname {Hom} (X,Z),\,(g,f)\mapsto g\circ f}$、

4. 各オブジェクトXに対して、恒等射${\displaystyle \operatorname {id} _{X}\in \operatorname {Hom} (X,X)}$

条件に従う：任意の射、およびに対して、 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle h:Z\to W}$

• ${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}$そして。${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}\circ f=f\circ \operatorname {id} _{X}=f}$

たとえば、半順序集合はカテゴリとして見ることができます。オブジェクトは集合の要素であり、オブジェクトの各ペアx、yに対して、の場合にのみ一意の射が存在します。合成の結合法則は推移性を意味します。${\displaystyle x\to y}$${\displaystyle x\leq y}$

カテゴリーの

1. Catで表される(小さな) カテゴリのカテゴリは、オブジェクトが、ある固定された宇宙に関して小さいすべてのカテゴリであり、射がすべての関数であるカテゴリです。

2.  加群のカテゴリ、位相空間のカテゴリ、群のカテゴリ、距離空間のカテゴリなど

空間の分類

カテゴリ Cの分類空間は、 Cの神経の幾何学的実現です。

共同

多くの場合、op- と同義語として使用されます。たとえば、colimit は、反対のカテゴリの極限という意味で op-limit を指します。ただし、区別がある場合もあります。たとえば、op-fibration はcofibrationと同じではありません。

共存する

関数の共終点はFの終点の双対であり、次のように表される。 ${\displaystyle F:C^{\text{op}}\times C\to X}$

${\displaystyle \int ^{c\in C}F(c,c)}$。

例えば、Rが環、Mが右R加群、Nが左R加群の場合、MとNのテンソル積は

${\displaystyle M\otimes _{R}N=\int ^{R}M\otimes _{\mathbb {Z} }N}$

ここで、R は、その射がRの要素である 1 つのオブジェクトを持つカテゴリとして見られます。

コイコライザー

一対の射の余等化子は、その対の余極限です。これは等化子の双対です。${\displaystyle f,g:A\to B}$

一貫性定理

一貫性定理は、弱い構造が厳密な構造と同等であることを述べる形式の定理です。

筋の通った

1. 一貫性のあるカテゴリ (現時点では、https://ncatlab.org/nlab/show/coherent+category を参照してください)。

2.首尾一貫したトポス。

凝集性

まとまりのあるカテゴリー。

共画像

射f : X → Yの共像はの共等化子です。${\displaystyle X\times _{Y}X\rightrightarrows X}$

色彩豊かなオペラ

多重カテゴリの別名。射が複数のドメインを持つことができる一般化されたカテゴリ。「色付きオペラド」の概念はオペラドの概念よりも原始的です。実際、オペラドは単一のオブジェクトを持つ色付きオペラドとして定義できます。

コンマ

関数が与えられた場合、コンマカテゴリは、 (1) オブジェクトが射であり、(2) から への射がおよびで構成され、 となるカテゴリです。たとえば、fが恒等関数で、gが値bを持つ定数関数である場合、それはオブジェクトb上のBのスライスカテゴリです。${\displaystyle f:C\to B,g:D\to B}$ ${\displaystyle (f\downarrow g)}$${\displaystyle f(c)\to g(d)}$${\displaystyle \alpha :f(c)\to g(d)}$${\displaystyle \beta :f(c')\to g(d')}$${\displaystyle c\to c'}$${\displaystyle d\to d'}$${\displaystyle f(c)\to f(c'){\overset {\beta }{\to }}g(d')}$${\displaystyle f(c){\overset {\alpha }{\to }}g(d)\to g(d').}$

コモナド

カテゴリXのコモナドは、Xの自己関数子のモノイド カテゴリのコモノイドです。

コンパクト

おそらく #accessible と同義です。

完了

すべての小さな限界が存在する場合、カテゴリは完全です。

完全

ドリーニュの完全性定理[1]を参照。

構成

1. カテゴリ内の射の合成は、カテゴリを定義するデータの一部です。

2. が関数である場合、合成またはは次のように定義される関数です。C内のオブジェクトxと射uに対して、。${\displaystyle f:C\to D,\,g:D\to E}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle gf}$${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x)),\,(g\circ f)(u)=g(f(u))}$

3. 自然変換は点ごとに合成されます。つまり、 が自然変換である場合、 はによって与えられる自然変換です。${\displaystyle \varphi :f\to g,\,\psi :g\to h}$${\displaystyle \psi \circ \varphi }$${\displaystyle (\psi \circ \varphi )_{x}=\psi _{x}\circ \varphi _{x}}$

計算された

計算しました。

コンクリート

具体的なカテゴリ Cは、 CからSetへの忠実な関数が存在するカテゴリです。たとえば、Vec、Grp、Top などです。

円錐

円錐は、余極限（または双対的に極限）の普遍的性質を表現する方法である。 ^[4]によれば、余極限は対角関数の左随伴関数であり、オブジェクトXを値Xを持つ定数関数に送る。つまり、任意のXと任意の関数に対して、 ${\displaystyle \varinjlim }$${\displaystyle \Delta :C\to \operatorname {Fct} (I,C)}$${\displaystyle f:I\to C}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\varinjlim f,X)\simeq \operatorname {Hom} (f,\Delta _{X}),}$

問題の余極限が存在すると仮定する。すると右辺は頂点Xを持つ円錐の集合となる。^[5]

接続された

カテゴリが接続されるとは、オブジェクトx、yの各ペアに対して、任意のiに対してまたはが空でない場合、オブジェクトの有限シーケンスz _{i が}存在することを意味します。${\displaystyle z_{0}=x,z_{n}=y}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (z_{i},z_{i+1})}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (z_{i+1},z_{i})}$

保守的な関数

保守的な関数は同型性を反映する関数です。多くの忘却関数は保守的ですが、TopからSetへの忘却関数は保守的ではありません。

絶え間ない

関数が定数であるのは、カテゴリ内のすべてのオブジェクトを同じオブジェクトAにマッピングし、すべての射をA上の恒等写像にマッピングする場合です。言い換えると、関数が定数であるのは、D内の何らかのオブジェクトAに対して、i が離散カテゴリ { A } の包含である場合です。${\displaystyle f:C\to D}$${\displaystyle C\to \{A\}{\overset {i}{\to }}D}$

反変関数

カテゴリCからカテゴリDへの反変関手 Fは、 C ^opからDへの (共変) 関手です。特にDがSetまたはその変種である場合、前層と呼ばれることもあります。たとえば、各集合Sに対して、 をSの冪集合とし、各関数 に対して、次のように定義します。 ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(S)}$${\displaystyle f:S\to T}$

${\displaystyle {\mathfrak {P}}(f):{\mathfrak {P}}(T)\to {\mathfrak {P}}(S)}$

Tの サブセットA を原像 に送ることによって、 は反変関手になります。${\displaystyle f^{-1}(A)}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set} }$

副産物

集合Iでインデックス付けされたカテゴリC内のオブジェクトのファミリX _iの余積は、関数 の帰納的極限です。ここで、 I は離散カテゴリと見なされます。これは、ファミリの積の双対です。たとえば、 Grpの余積は自由積です。${\displaystyle \varinjlim }$${\displaystyle I\to C,\,i\mapsto X_{i}}$

コア

カテゴリのコアは、カテゴリに含まれる最大の群です。

日の畳み込み

群またはモノイドMが与えられたとき、デイ畳み込みはにおけるテンソル積である。^[6]${\displaystyle \mathbf {Fct} (M,\mathbf {Set} )}$

樹状突起

樹状突起セット。

密度定理

密度定理は、すべての前層 (集合値反変関数) は表現可能な前層の余極限であると述べています。米田の補題は、カテゴリCをC上の前層のカテゴリに埋め込みます。密度定理は、そのイメージがいわば「密」であると述べています。「密度」という名前は、抽象代数のヤコブソン密度定理(またはその他のバリエーション)との類似性によるものです。

対角関数

カテゴリI、Cが与えられた場合、対角関数は関数

${\displaystyle \Delta :C\to \mathbf {Fct} (I,C),\,A\mapsto \Delta _{A}}$

各オブジェクトA を値Aを持つ定数関数に送り、各射を各iにおけるfである自然変換に送ります。${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle \Delta _{f,i}:\Delta _{A}(i)=A\to \Delta _{B}(i)=B}$

図

カテゴリCが与えられた場合、C内の図は小さなカテゴリIからの関数です。${\displaystyle f:I\to C}$

差別段階別カテゴリー

微分次数カテゴリとは、ホム集合に微分次数モジュールの構造が備わっているカテゴリです。特に、カテゴリにオブジェクトが 1 つしかない場合は、微分次数カテゴリと同じです。

直接制限

直接極限は、直接システムの余極限です。

離散

各射が（何らかのオブジェクトの）恒等射である場合、カテゴリは離散的です。たとえば、集合は離散カテゴリとして見ることができます。

卸売業者

「profunctor」の別名。

ドワイヤー・カン同値

ドワイヤー・カン同値性は、カテゴリの同値を単体的文脈に一般化したものである。^[7]

集合のカテゴリーの基礎理論

集合のカテゴリーの基本理論。このリンクはリダイレクトです。今のところは、https://ncatlab.org/nlab/show/ETCS を参照してください。

アイレンバーグ・ムーア分類

与えられたモナドの代数のカテゴリの別名。

空の

空カテゴリは、オブジェクトのないカテゴリです。空集合を離散カテゴリとして見ると、空集合と同じものになります。

終わり

関数の終わりは極限である ${\displaystyle F:C^{\text{op}}\times C\to X}$

${\displaystyle \int _{c\in C}F(c,c)=\varprojlim (F^{\#}:C^{\#}\to X)}$

ここで、はカテゴリ（Cの細分カテゴリと呼ばれる）であり、そのオブジェクトはC内のすべてのオブジェクトcとすべての射uのシンボルであり、その射はおよびであり、ここで はFによって誘導されるため、は になり、は になります。たとえば、関数 の場合、 ${\displaystyle C^{\#}}$${\displaystyle c^{\#},u^{\#}}$${\displaystyle b^{\#}\to u^{\#}}$${\displaystyle u^{\#}\to c^{\#}}$${\displaystyle u:b\to c}$${\displaystyle F^{\#}}$${\displaystyle c^{\#}}$${\displaystyle F(c,c)}$${\displaystyle u^{\#},u:b\to c}$${\displaystyle F(b,c)}$${\displaystyle F,G:C\to X}$

${\displaystyle \int _{c\in C}\operatorname {Hom} (F(c),G(c))}$

は、 FからGへの 自然変換の集合です。その他の例については、この mathoverflow スレッドを参照してください。端点の双対は共端点です。

エンドファンクタ

同じカテゴリ間の関数。

強化されたカテゴリ

モノイドカテゴリ ( C , ⊗, 1) が与えられたとき、Cに富むカテゴリとは、非公式には、その Hom 集合がCに含まれるカテゴリのことである 。より正確には、 Cに富むカテゴリDは、

1. オブジェクトのクラス、
2. D内の各オブジェクトX、Y のペアに対して、 C内のオブジェクト（ XからYへのマッピングオブジェクトと呼ばれる）は、${\displaystyle \operatorname {Map} _{D}(X,Y)}$
3. D内の各オブジェクトX、Y、Zの３つ組に対して、 C内の射は、

   ${\displaystyle \circ :\operatorname {Map} _{D}(Y,Z)\otimes \operatorname {Map} _{D}(X,Y)\to \operatorname {Map} _{D}(X,Z)}$、

   作曲と呼ばれる、

4. D内の各オブジェクトXに対して、 C内の射（Xの単位射と呼ばれる）${\displaystyle 1_{X}:1\to \operatorname {Map} _{D}(X,X)}$

ただし、(大まかに言えば)合成は結合的であり、単位射は乗法単位元として作用するという条件に従う。たとえば、集合に富むカテゴリは通常のカテゴリである。

外形性

射f は、のときはいつでもエピモーフィズムである。言い換えれば、f は単射の双対である。${\displaystyle g=h}$${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$

イコライザ

一対の射のイコライザーは、そのペアの極限です。これは、共イコライザーの双対です。${\displaystyle f,g:A\to B}$

等価

1. 関数が同値であるとは、関数が忠実かつ完全で、本質的に射影的である場合を指します。

2. ∞-カテゴリC内の射は、 C のホモトピーカテゴリ内で同型を与える場合、同値です。

同等

あるカテゴリと別のカテゴリの間に同等性がある場合、そのカテゴリは同等です。

本質的に射影的

関数F は、すべてのオブジェクトBに対して、 F ( A ) がBと同型となるようなオブジェクトAが存在する場合、本質的に全射的(または同型稠密)であると呼ばれます。

評価

カテゴリC、D 、およびC内のオブジェクトAが与えられた場合、 Aでの評価は関数である。

${\displaystyle \mathbf {Fct} (C,D)\to D,\,\,F\mapsto F(A).}$

たとえば、Eilenberg-Steenrod 公理は、関数が同値である場合の例を示します。

ちょうど

1.完全列とは、通常、任意の負の整数から任意の正の整数までの写像の列である。

${\displaystyle \cdots \to E_{1}{\overset {f_{1}}{\to }}E_{2}{\overset {f_{2}}{\to }}E_{3}\to \cdots }$

の像はの核となる。この概念はさまざまな方法で一般化できる。${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f_{i+1}}$

2. 短完全数列は、 という形式の数列です。${\displaystyle 0\to E\to F\to G\to 0}$

3. 関数 (たとえば、アーベルカテゴリ間) は、短完全列を短完全列に変換する場合、完全であると言われます。

4.正確なカテゴリとは、おおよそ、短い正確なシーケンスの概念があるカテゴリです。

忠実な

関数が忠実であるとは、関数が各ホム集合に制限されたときに単射であることを意味します。

基本カテゴリ

基本カテゴリ関数は神経関数Nの左随伴関数です。すべてのカテゴリCに対して、.${\displaystyle \tau _{1}:s\mathbf {Set} \to \mathbf {Cat} }$${\displaystyle \tau _{1}NC=C}$

基本群

Kan 複体Xの基本群は、 オブジェクトが 0 単体 (頂点) であり、射が 1 単体 (パス) のホモトピー類であり、合成が Kan プロパティによって決定されるカテゴリです。${\displaystyle \Pi _{1}X}$${\displaystyle \Delta ^{0}\to X}$${\displaystyle \Delta ^{1}\to X}$

繊維質カテゴリー

関数 π: C → DがC をD上のファイバー化されたカテゴリ として示すとは、D内の各射g : x → π( y )に対して、 C内のπ-カルティシアン射f : x' → yが存在し、 π( f ) = gとなる場合を言います。D がアフィンスキームのカテゴリ（たとえば、ある体上の有限型）である場合、 π はより一般的にはプレスタックと呼ばれます。注: π は忘れやすい関数であることが多く、実際、グロタンディーク構成は、すべてのファイバー化されたカテゴリがその形式になる可能性があることを意味します（適切な意味での同値を除きます）。

繊維製品

カテゴリCと集合Iが与えられたとき、Iで添え字付けされたC内のオブジェクトX _iの族のオブジェクトS上のファイバー積は、 CのS上のスライス カテゴリ内の族の積です( が存在する場合)。 2 つのオブジェクトXとYのオブジェクトS上のファイバー積は で表され、直交正方形とも呼ばれます。 ${\displaystyle C_{/S}}$${\displaystyle X_{i}\to S}$${\displaystyle X\times _{S}Y}$

フィルタリング

1.フィルターされたカテゴリ（フィルターされたカテゴリとも呼ばれる）は、次の特性を持つ空でないカテゴリです。(1) オブジェクトiとj が与えられたとき、オブジェクトkと射i → kとj → kがあり、(2) 射u、v : i → jが与えられたとき、オブジェクトkと射w : j → kがあり、 w ∘ u = w ∘ vが成り立ちます。カテゴリIがフィルターされているのは、各有限カテゴリJと関数f : J → Iに対して、 I内の何らかのオブジェクトiに対して集合が空でないときのみです。${\displaystyle \varprojlim \operatorname {Hom} (f(j),i)}$

2. 基数πが与えられたとき、射の集合の基数がπより厳密に小さい各カテゴリJに対して、その集合がI内のあるオブジェクトiに対して空でない場合、カテゴリはπフィルトラントであると言われる。${\displaystyle \varprojlim \operatorname {Hom} (f(j),i)}$

有限モナド

有限モナドまたは代数モナドは、基礎となる自己関数がフィルターされた余極限と可換であるSet上のモナドです。

有限

カテゴリが有限であるとは、そのカテゴリが有限個の射しか持たない場合です。

忘れっぽい関数

忘却関手は、大まかに言えば、オブジェクトのデータの一部を失う関手です。たとえば、グループをその基底集合に送り、グループ準同型をそれ自身に送る関手は忘却関手です。${\displaystyle \mathbf {Grp} \to \mathbf {Set} }$

無料カテゴリー

無料カテゴリー

無料で完了

自由補完、自由共補完。

自由関数

自由関数は忘却関数の左随伴関数です。たとえば、環Rの場合、集合X をXによって生成された自由Rモジュールに送信する関数は自由関数です (名前の由来)。

フロベニウスカテゴリ

フロベニウス カテゴリは、十分な数の入射と射影を持ち、入射オブジェクトのクラスが射影オブジェクトのクラスと一致する正確なカテゴリです。

深谷部門

深谷カテゴリー参照。

満杯

1. 関数が各ホム集合に制限されたときに全射である場合、その関数は完全である。

2. カテゴリAは、 AからBへの包含関数が完全である場合に、カテゴリBの完全サブカテゴリになります。

ファンクタ

カテゴリC、Dが与えられたとき、CからDへの関手 F はCからDへの構造保存写像である。すなわち、 C内の各オブジェクトxに対するD内のオブジェクトF ( x )と、 C内の各射fに対するD内の射F ( f )で構成され、次の条件を満たす: (1)が定義されている場合、および (2) 。たとえば、 ${\displaystyle F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle F(\operatorname {id} _{x})=\operatorname {id} _{F(x)}}$

${\displaystyle {\mathfrak {P}}:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set} ,\,S\mapsto {\mathfrak {P}}(S)}$、

ここで、 はSの冪集合であり、 と定義すると、 は関数です。各関数 に対して、によって定義されます。${\displaystyle {\mathfrak {P}}(S)}$${\displaystyle f:S\to T}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}(f):{\mathfrak {P}}(S)\to {\mathfrak {P}}(T)}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}(f)(A)=f(A)}$

関数カテゴリ

関数カテゴリ Fct ( C , D )またはカテゴリCからカテゴリDは、オブジェクトがCからDへのすべての関数であり、射が関数間のすべての自然変換であるカテゴリです。${\displaystyle D^{C}}$

ガブリエル・ポペスク定理

ガブリエル・ポペスクの定理によれば、アーベル圏は加群の圏の商である。

ガロア圏

1. SGA 1 、Exposé V (定義 5.1.)では、あるプロ有限群Gの有限G集合のカテゴリと同値なカテゴリをガロアカテゴリと呼びます。

2. 技術的な理由により、一部の著者（例えば、Stacksプロジェクト^[8]または^[9]）は若干異なる定義を使用しています。

ジェネレータ

カテゴリCでは、関数が保存的であれば、オブジェクトの族はCの生成元のシステムです。その双対は余生成元のシステムと呼ばれます。${\displaystyle G_{i},i\in I}$${\displaystyle X\mapsto \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} (G_{i},X)}$

一般化された

一般化距離空間。

グレー

1. グレイテンソル積はデカルト積の緩い類似物である。^[10]

2. グレーカテゴリは、ある特定の半厳密な 3 カテゴリです。https://ncatlab.org/nlab/show/Gray-category を参照してください。

グロストポス

グロストポス（位相空間）の概念は、ジャン・ジローによるものです。

グロタンディークのガロア理論

ガロア理論のカテゴリー理論的一般化。グロタンディークのガロア理論を参照。

グロタンディークカテゴリ

グロタンディーク カテゴリは、ある種の行儀の良いアーベル カテゴリです。

グロタンディーク構築

関数が与えられたとき、D _{U を}、オブジェクトがC内のオブジェクトxとカテゴリU ( x )内のオブジェクトuからなるペア ( x , u ) であるカテゴリとし、( x , u ) から ( y , v ) への射が、 C内の射f : x → yとU ( y )内の_射U ( f )( u ) → vからなるペアであるとします。U からD Uへの通過は、グロタンディーク構成と呼ばれます。${\displaystyle U:C\to \mathbf {Cat} }$

グロタンディーク繊維

繊維状のカテゴリ。

類縁体

1.カテゴリ内のすべての射が同型である場合、そのカテゴリは群と呼ばれます。

2. ∞-カテゴリは、その中のすべての射が同値である場合（または、それがカン複体である場合）に、∞-群と呼ばれます。

カテゴリーのホール代数

リンゲル・ホール代数を参照してください。

心臓

三角形カテゴリ上のt 構造( 、 )の中心は交差 です。これはアーベルカテゴリです。${\displaystyle D^{\geq 0}}$${\displaystyle D^{\leq 0}}$${\displaystyle D^{\geq 0}\cap D^{\leq 0}}$

高等圏理論

高次カテゴリー理論は、 nカテゴリーと∞ カテゴリーの研究に関係するカテゴリー理論のサブフィールドです。

ホモロジー次元

十分な数の入射子を持つアーベル圏のホモロジー次元は、その圏のすべてのオブジェクトが最大で長さnの入射的分解を許容する最小の非負整数nです。そのような整数が存在しない場合は次元は ∞ です。たとえば、主イデアル領域Rを持つMod _Rのホモロジー次元は最大で 1 です。

ホモトピーカテゴリ

ホモトピーカテゴリを参照してください。これはカテゴリの局所化と密接に関連しています。

ホモトピー仮説

ホモトピー仮説は、 ∞ 群体は空間であると述べている (より明確に言えば、 n群体はホモトピーn型として使用できる)。

べき等性

自己準同型写像fがべき等である場合。${\displaystyle f\circ f=f}$

身元

1.オブジェクトAの恒等射 f は、 AからAへの射であり、定義域Aを持つ任意の射gと余定義域Aを持つ任意の射hに対して、およびが成り立つものである。${\displaystyle g\circ f=g}$${\displaystyle f\circ h=h}$

2.カテゴリC上の恒等関数は、オブジェクトと射を自分自身に送信するCからCへの関数です。

3. 関手F : C → Dが与えられたとき、FからFへの恒等自然変換は、C内のオブジェクトXに対するD内のF ( X )の恒等射からなる自然変換である。

画像

射 f : X → Yの像はのイコライザーです。${\displaystyle Y\rightrightarrows Y\sqcup _{X}Y}$

制限

における余極限（または帰納的極限）。${\displaystyle \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$

誘導限界

余極限の別名。

∞カテゴリ

∞-カテゴリは、カテゴリからオブジェクトと射のクラス/集合をオブジェクトと射の空間に置き換えることによって得られます。正確には、∞-カテゴリCは次の条件を満たす単体集合です。各0 < i < nに対して、

• 単体集合の写像はすべてn単体に拡張される${\displaystyle f:\Lambda _{i}^{n}\to C}$${\displaystyle f:\Delta ^{n}\to C}$

ここで、Δ ^{n は}標準のn単体であり、 Δ ⁿからi番目の面と内部を削除することによって得られます( Kan ファイバ#定義を参照)。たとえば、カテゴリの神経は条件を満たすため、∞ カテゴリと見なすことができます。${\displaystyle \Lambda _{i}^{n}}$

(∞, n )-カテゴリ

(∞, n)-カテゴリは、∞-カテゴリの射空間を(∞, n - 1)-カテゴリの射に置き換えることによって得られる。^[11]

イニシャル

1. オブジェクトAが初期オブジェクトであるとは、 Aから各オブジェクトへの射が 1 つだけ存在する場合です。たとえば、 Set内の空集合などです。

2. ∞-カテゴリC内のオブジェクトAは、 C内の各オブジェクトBに対して縮約可能である場合、初期オブジェクトとなります。${\displaystyle \operatorname {Map} _{C}(A,B)}$

単射的

1.アーベル圏の対象Aは、関手が正確であれば単射である。これは射影対象と双対である。${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,A)}$

2. 「単射極限」という用語は直接極限の別名です。

内部ホム

モノイドカテゴリ( C , ⊗ )が与えられた場合、内部 Hom は、 C内の各オブジェクトYに対して がの右随伴となるような関数です。たとえば、可換環R上の加群のカテゴリの内部 Hom は、 R線型写像の集合として与えられます。${\displaystyle [-,-]:C^{\text{op}}\times C\to C}$${\displaystyle [Y,-]}$${\displaystyle -\otimes Y}$${\displaystyle [M,N]=\operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

逆

1. 射f が射gの逆であるとは、 が定義されていてgの余域上の恒等射と等しく、が定義されていてgの定義域上の恒等射と等しい場合である。 gの逆は一意であり、 g ⁻¹で表す。が定義されていてgの定義域上の恒等射と等しい場合、 fはgの左逆であり、右逆についても同様である。${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle f\circ g}$

2.逆極限は逆システムの極限です。

イズベル

1.  イズベル双対性/イズベル共役性

2.  イズベル完成。

3. イズベル封筒。

同形の

1. あるオブジェクトと別のオブジェクトの間に同型性がある場合、そのオブジェクトは同型です。

2. あるカテゴリと別のカテゴリの間に同型性がある場合、そのカテゴリは同型です。

同型性

射f は、 fの逆が存在する場合、同型である。

カンコンプレックス

Kan 複合体は、単体集合のカテゴリ内のフィブラント オブジェクトです。

カン拡張

1. カテゴリCが与えられたとき、関数 に沿った左Kan 拡大関数は の左随伴関数（存在する場合）であり、 と表記されます。任意の に対して、関数はfに沿った α の左 Kan 拡大と呼ばれます。^[12]次の式が示せます。 ${\displaystyle f:I\to J}$${\displaystyle f^{*}=-\circ f:\operatorname {Fct} (J,C)\to \operatorname {Fct} (I,C)}$${\displaystyle f_{!}}$${\displaystyle \alpha :I\to C}$${\displaystyle f_{!}\alpha :J\to C}$

${\displaystyle (f_{!}\alpha )(j)=\varinjlim _{f(i)\to j}\alpha (i)}$

ここで、余極限はコンマ カテゴリ内の すべてのオブジェクトに適用されます。${\displaystyle f(i)\to j}$

2. 右 Kan 拡大関数は、 の右随伴関数（存在する場合）です。${\displaystyle f^{*}}$

ケン・ブラウンの補題

ケン・ブラウンの補題は、モデル圏の理論における補題です。

クライスリカテゴリー

モナドTが与えられた場合、TのKleisli カテゴリは、自由T代数からなるT代数のカテゴリ (Eilenberg–Moore カテゴリと呼ばれる) の完全なサブカテゴリです。

緩い

緩い関数は擬似関数の一般化であり、合成や恒等式に関連付けられた構造変換が可逆である必要はありません。

長さ

アーベル圏の対象は合成系列を持つ場合、Aは有限長である。そのような合成系列における適切な部分オブジェクトの最大数はAの長さと呼ばれる。^[13]

制限

1.関数の極限（または射影極限）は ${\displaystyle f:I^{\text{op}}\to \mathbf {Set} }$

${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}f(i)=\{(x_{i}|i)\in \prod _{i}f(i)|f(s)(x_{j})=x_{i}{\text{ for any }}s:i\to j\}.}$

2.関数の極限とは、 C内の任意のオブジェクトX に対して、 C内の任意のオブジェクトX がを満たすオブジェクトのことである。つまり、関数を表すオブジェクトである。${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}f(i)}$${\displaystyle f:I^{\text{op}}\to C}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,\varprojlim _{i\in I}f(i))=\varprojlim _{i\in I}\operatorname {Hom} (X,f(i))}$${\displaystyle X\mapsto \varprojlim _{i}\operatorname {Hom} (X,f(i)).}$

3.余極限（または帰納的極限）は極限の双対です。つまり、関数 が与えられたとき、任意のXに対して が成り立ちます。明示的に、 を与えることは、任意の に対して となるような射の族を与えることです。おそらく、余極限の最も単純な例は余等化子です。別の例として、f をC上の恒等関数とし、 が存在するとします。このとき、 L上の恒等射は、が恒等射となるような互換な射の族に対応します。が任意の射である場合、 です。つまり、L はCの最終オブジェクトです。 ${\displaystyle \varinjlim _{i\in I}f(i)}$${\displaystyle f:I\to C}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (\varinjlim f(i),X)=\varprojlim \operatorname {Hom} (f(i),X)}$${\displaystyle \varinjlim f(i)\to X}$${\displaystyle f(i)\to X}$${\displaystyle i\to j}$${\displaystyle f(i)\to X}$${\displaystyle f(i)\to f(j)\to X}$${\displaystyle L=\varinjlim _{X\in C}f(X)}$${\displaystyle \alpha _{X}:X\to L}$${\displaystyle \alpha _{L}}$${\displaystyle f:X\to L}$${\displaystyle f=\alpha _{L}\circ f=\alpha _{X}}$

カテゴリーのローカライズ

カテゴリのローカライズを参照してください。

ミッタク・レフラー条件

逆システムは、 各整数 に対して、各 に対して、およびの像が同じであるような整数が存在する場合、ミッタク・レフラー条件を満たすと言われます。${\displaystyle \cdots \to X_{2}\to X_{1}\to X_{0}}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle m\geq n}$${\displaystyle l\geq m}$${\displaystyle X_{m}\to X_{n}}$${\displaystyle X_{l}\to X_{n}}$

モナド

カテゴリXのモナドは、合成によって与えられるモノイド構造を持つ、 Xの自己関数子のモノイドカテゴリ内のモノイドオブジェクトです。たとえば、グループGが与えられた場合、によってSet上の自己関数子T を定義します。次に、 T上の乗算μ を、次に示す 自然変換として定義します。${\displaystyle T(X)=G\times X}$${\displaystyle \mu :T\circ T\to T}$

${\displaystyle \mu _{X}:G\times (G\times X)\to G\times X,\,\,(g,(h,x))\mapsto (gh,x)}$

また、同様の方法で 恒等写像ηも定義します。すると、 ( T、μ、η ) はSet内のモナドを構成します。より実質的には、関数間の随伴がX内のモナドを決定します。つまり、T上の恒等写像η を随伴の単位としてとり、随伴を使用してμも定義します。${\displaystyle F:X\rightleftarrows A:G}$${\displaystyle T=G\circ F}$

単項

1. 付加物は、アイレンバーグ-ムーアのカテゴリ（モナドの代数のカテゴリ）によって決定されるモナドから来る場合、モナド的であると言われます。

2. 関数がモナド的随伴作用素の構成要素である場合、その関数はモナド的であると言われます。

モノイドカテゴリ

モノイドカテゴリはテンソルカテゴリとも呼ばれ、(1)双関数、(2) 恒等オブジェクト、(3) ⊗ を結合的にし、恒等オブジェクトを ⊗ の恒等オブジェクトにする自然同型を備えたカテゴリCであり、一定の一貫性条件に従います。 ${\displaystyle \otimes :C\times C\to C}$

モノイドオブジェクト

モノイド圏のモノイドオブジェクトは、乗法写像と恒等写像を伴い、結合性などの期待される条件を満たすオブジェクトです。たとえば、Setのモノイドオブジェクトは通常のモノイド（単位半群）であり、R -modのモノイドオブジェクトは可換環R上の結合代数です。

単相性

射f は、 のときはいつでも単射（モニックとも呼ばれる）である。たとえば、Setへの単射。言い換えると、f はエピモーフィズムの双対である。${\displaystyle g=h}$${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$

マルチカテゴリ

多重圏とは、射が複数の領域を持つことが許される圏の一般化である。これは色付きオペラドと同じものである。^[14]

nカテゴリ

弱いnカテゴリの定義を比較するという問題は、 2 つの定義が同等であるということの意味さえも言いにくいため、扱いにくいものです。[...] 弱いnカテゴリとそれらの間の関数、変換などによって形成される構造は、弱い ( n + 1) カテゴリであるべきだと広く考えられています。これが事実である場合、問題は、弱いnカテゴリの弱い ( n + 1) カテゴリが私のものと同等であるかどうかですが、ここでは誰の弱い ( n + 1) カテゴリの定義を使用しているのでしょうか...?

トム・レンスター、nカテゴリーの定義の調査

1.厳密なnカテゴリは帰納的に定義されます。厳密な 0 カテゴリは集合であり、厳密なnカテゴリは Hom 集合が厳密な ( n -1) カテゴリであるカテゴリです。厳密に言えば、厳密なnカテゴリは厳密な ( n -1) カテゴリで強化されたカテゴリです。たとえば、厳密な 1 カテゴリは通常のカテゴリです。

2.弱いnカテゴリの概念は、合成の結合性などの条件を弱い意味での一貫した同型性までしか成立しないように弱めることによって、厳密なカテゴリから得られます。

3. ∞-カテゴリは、 n-カテゴリの集合の一種として定義できます。逆に、(弱い) ∞-カテゴリ(準カテゴリとします)の概念を最初に持っていれば、弱いn-カテゴリは、切り詰められた ∞-カテゴリの一種として定義できます。

自然

1. 自然変換は、大まかに言えば、関数間の写像である。正確には、カテゴリCからカテゴリDへの関数F、Gのペアが与えられたとき、FからGへの自然変換φは、 D内の射の集合である。

${\displaystyle \{\phi _{x}:F(x)\to G(x)\mid x\in \operatorname {Ob} (C)\}}$

条件を満たす: C内の各射f : x → yに対して、。たとえば、可換環R内の係数を持つ可逆なn行n列の行列の群に対して と書くと、可換環のカテゴリCRingから群のカテゴリGrpへの関数として見ることができます。同様に、はCRingからGrpへの関数です。すると、行列式det は から- ^*への自然変換になります。${\displaystyle \phi _{y}\circ F(f)=G(f)\circ \phi _{x}}$${\displaystyle GL_{n}(R)}$${\displaystyle GL_{n}}$${\displaystyle R\mapsto R^{*}}$${\displaystyle GL_{n}}$

2.自然同型とは、同型である（つまり、逆変換が許される）自然な変換です。

神経

神経関手 NはCatからs Setへの関手で、 によって与えられます。たとえば、 が(2 単体と呼ばれる)の関手である場合、 とします。すると はCの射であり、またCのあるgに対しても射となります。 にはが続き、 は関手であるため となります。言い換えると、 はf、gおよびそれらの合成をエンコードします。${\displaystyle N(C)_{n}=\operatorname {Hom} _{\mathbf {Cat} }([n],C)}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle N(C)_{2}}$${\displaystyle x_{i}=\varphi (i),\,0\leq i\leq 2}$${\displaystyle \varphi (0\to 1)}$${\displaystyle f:x_{0}\to x_{1}}$${\displaystyle \varphi (1\to 2)=g:x_{1}\to x_{2}}$${\displaystyle 0\to 2}$${\displaystyle 0\to 1}$${\displaystyle 1\to 2}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (0\to 2)=g\circ f}$${\displaystyle \varphi }$

普通

単射は、それが何らかの射の核である場合に正規であり、エピモーフィズムは、それが何らかの射の余核である場合に共正規です。すべての単射が正規である場合、カテゴリは正規です。

物体

1. オブジェクトはカテゴリを定義するデータの一部です。

2. カテゴリCの [形容詞] オブジェクトは、Cの「形容詞」に対応する固定カテゴリからの反変関数 (または前層) です。たとえば、Cの単体オブジェクトは単体カテゴリからCへの反変関数であり、 Γ オブジェクトは、 Cが尖っている場合、 Γ (おおよそ尖った有限集合の尖ったカテゴリ) からCへの尖った反変関数です。

オプティカルファイバー

関数 π: C → Dがop-ファイブレーションであるとは、 C内の各オブジェクトxと D内の各射g  : π( x ) → yに対して、 C内にπ-コカルティアン射f : x → y' が少なくとも1つ存在し、 π( f ) = gとなる場合です。言い換えると、 π はグロタンディーク ファイブレーションの双対です。

反対

カテゴリの反対のカテゴリは、矢印を逆にすることで得られます。たとえば、部分的に順序付けられたセットをカテゴリとして表示する場合、その反対を取ることは順序を逆にすることと同じです。

完璧

「コンパクト」と同義である場合もあります。完全複体を参照してください。

尖った

カテゴリ (または ∞ カテゴリ) は、ゼロ オブジェクトを持つ場合、尖っていると呼ばれます。

ポリグラフ

ポリグラフは有向グラフの一般化です。

多項式

有限次元ベクトル空間のカテゴリからそれ自身への関手は、ベクトル空間V、W、Fの各ペアに対して、 Hom( V、W ) → Hom( F ( V )、F ( W ))がベクトル空間間の多項式写像である場合、多項式関手と呼ばれます。シュアー関手は基本的な例です。

プレアーベル

前アーベル圏は、すべての核と余核を持つ加法圏です。

前加法的

カテゴリが前加法的であるとは、それがアーベル群のモノイドカテゴリ上で豊富である場合です。より一般的には、 R が可換環であるとき、それがR -加群のモノイドカテゴリ上で豊富である場合、それはR -線型です。

見栄えのよい

正則基数κが与えられたとき、カテゴリがすべての小さな余極限を許容し、κ アクセス可能である場合、カテゴリは κ 提示可能です。カテゴリが提示可能であるのは、ある正則基数 κ に対して κ 提示可能である場合です (したがって、任意のより大きな基数に対して提示可能です)。注: 一部の著者は、提示可能なカテゴリを局所的に提示可能なカテゴリと呼んでいます。

プレシェフ

反変関数の別名: カテゴリC ^opからSetへの関数はC上の集合の前層であり、 C ^opからs Setへの関数は単体集合の前層または単体前層などです。C上の位相があれば、どの前層が層であるかがわかります (その位相に関して)。

製品

1.集合Iでインデックス付けされたカテゴリC内のオブジェクトの族X _iの積は、関数 の射影極限です。ここで、 I は離散カテゴリと見なされます。これは で表され、族の余積の双対です。${\displaystyle \varprojlim }$${\displaystyle I\to C,\,i\mapsto X_{i}}$${\displaystyle \prod _{i}X_{i}}$

2.集合Iでインデックス付けされたカテゴリC _iの族の積 は、オブジェクトのクラスがC _iのオブジェクトのクラスの積であり、そのホーム集合が であるカテゴリで、射は成分ごとに合成されます。これは、互いに素な和集合の双対です。${\displaystyle \prod _{i}C_{i}}$${\displaystyle \prod _{i}\operatorname {Hom} _{\operatorname {C_{i}} }(X_{i},Y_{i})}$

プロファンクター

カテゴリCとDが与えられた場合、CからDへのprofunctor (または distributor) は、形式 の関数です。${\displaystyle D^{\text{op}}\times C\to \mathbf {Set} }$

射影的

1.アーベル圏の対象Aは、関手が正確であれば射影的である。これは、入射的対象の双対である。${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-)}$

2. 「射影極限」という用語は逆極限の別名です。

プロップ

PROPは、対象が自然数であり、そのテンソル積が自然数の加算である対称厳密モノイド カテゴリです。

擬似代数

擬似代数は、モナドの代数の 2 カテゴリ バージョンです (モナドが 2 モナドに置き換えられます)。

質問

Qカテゴリー。

キレン

Quillen の定理 A は、関数が弱同値であるための基準を提供します。

準アーベル

準アーベルカテゴリ。

準準

準準位。​

反映する

1. 関数が恒等関数を反映するとは、F ( k )が恒等関数ならばkも恒等関数であるという性質を持つ場合である。

2. 関数が同型写像を反映しているとは、 F ( k ) が同型写像であればkも同型写像であるという性質を持つ場合である 。

通常

通常のカテゴリ。

表現可能な

カテゴリC上の集合値反変関手F は、それが米田埋め込みの本質的像に属する場合、つまり何らかのオブジェクトZに対して表現可能であると言われます。オブジェクトZはFの表現オブジェクトであると言われます。 ${\displaystyle C\to \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$${\displaystyle F\simeq \operatorname {Hom} _{C}(-,Z)}$

撤回

射は、右逆を持つ場合、撤回射です。

リグ

リグカテゴリは、一方が他方に分配される 2 つのモノイド構造を持つカテゴリです。

セクション

射は、左逆を持つ場合、セクションです。たとえば、選択公理によれば、任意の全射関数はセクションを許容します。

シーガル

1.  シーガル条件。今のところは、https://ncatlab.org/nlab/show/Segal+condition を参照してください。

2.  シーガル空間は、 (∞, 1)-カテゴリのモデルとして導入された特定の単体空間でした。

半アーベル

半アーベルカテゴリ。

半単純

アーベル圏は、すべての短完全列が分割される場合、半単純です。たとえば、環が半単純であるのは、その環上の加群の圏が半単純である場合のみです。

セール関数

体k上のk線型カテゴリCが与えられた場合、セール関手は任意のオブジェクトA、Bに対して自己同値となります。${\displaystyle f:C\to C}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)\simeq \operatorname {Hom} (B,f(A))^{*}}$

単純なオブジェクト

アーベル圏における単純なオブジェクトはゼロ オブジェクトと同型ではないが、すべての部分オブジェクトがゼロまたはAと同型であるオブジェクトA。たとえば、単純モジュールは、（たとえば左）モジュールのカテゴリ内の単純オブジェクトとまったく同じです。

単体カテゴリ

単体カテゴリΔは、オブジェクトが集合 [ n ] = { 0, 1, …, n }, n ≥ 0 であり、標準的な方法で完全に順序付けられ、射が順序保存関数であるカテゴリです。

単体カテゴリ

単体集合上で強化されたカテゴリ。

単純化ローカリゼーション

単純ローカリゼーションは、カテゴリをローカライズする方法です。

単体オブジェクト

カテゴリCの単体オブジェクトは、おおよそ、単体集合を形成するC内のオブジェクトのシーケンスです。言い換えると、共変または反変の関数 Δ → Cです。たとえば、単体前層は、前層のカテゴリの単体オブジェクトです。${\displaystyle X_{0},X_{1},X_{2},\dots }$

シンプソン

シンプソンの半厳密化予想（これはradリンクなので、今のところは[2]を参照）。

単体集合

単体集合は、 Δ からSetへの反変関手です。ここで Δ は単体カテゴリ、つまり集合 [ n ] = { 0, 1, …, n } をオブジェクトとし、射が順序保存関数となるカテゴリです。 と書き、集合の元はn単体と呼ばれます。たとえば、は標準n単体と呼ばれる単体集合です。米田の補題により、 となります。${\displaystyle X_{n}=X([n])}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle \Delta ^{n}=\operatorname {Hom} _{\Delta }(-,[n])}$${\displaystyle X_{n}\simeq \operatorname {Nat} (\Delta ^{n},X)}$

サイト

グロタンディーク位相を備えたカテゴリ。

骨格の

1.同型オブジェクトが必然的に同一である場合、カテゴリは骨格的です。

2.カテゴリの（一意ではない）スケルトンは、スケルトンである完全なサブカテゴリです。

スライス

カテゴリーCとその中のオブジェクトAが与えられたとき、 A上のCのスライスカテゴリー C _{/ A}は、そのオブジェクトがC内の共域Aを持つすべての射であり、その射がC内の射であって、f がからへの射であるならばC内にあり、その合成がCの合成であるようなカテゴリーです。${\displaystyle p_{X}:X\to A}$${\displaystyle p_{Y}:Y\to A}$${\displaystyle p_{Y}\circ f=p_{X}}$

小さい

1.小さなカテゴリとは、すべての射のクラスが集合であるカテゴリ（つまり、適切なクラスではない）であり、そうでない場合は大きいカテゴリです。カテゴリが局所的に小さいのは、オブジェクトAとBのすべてのペア間の射が集合を形成する場合です。一部の著者は、すべてのクラスのコレクションが「集合体」を形成する基盤を仮定しており、その場合、準カテゴリは、オブジェクトと射が単に集合体を形成するカテゴリです。^[15]（注：一部の著者は「準カテゴリ」という用語を別の意味で使用しています。^[16]）

2. あるカテゴリ内のオブジェクトが小さいとは、ある正則基数 κ に対して κ コンパクトであることを意味します。この概念は、Quiilen の小さいオブジェクトの議論で顕著に現れています (cf. https://ncatlab.org/nlab/show/small+object+argument)。

種

(組合せ的)種は、全単射を持つ有限集合の群体上の自己関数子です。これは対称列と圏的に同値です。

安定した

∞-カテゴリが安定であるとは、(1)ゼロオブジェクトを持ち、(2)その中のすべての射がファイバーとコファイバーを許容し、(3)その中の三角形がファイバー列である場合とコファイバー列である場合に限ります。

厳しい

有限極限と有限余極限を許容するカテゴリ内の射f は、自然射が同型である場合に厳密です。${\displaystyle \operatorname {Coim} (f)\to \operatorname {Im} (f)}$

厳密なnカテゴリ

厳密な 0 カテゴリは集合であり、任意の整数n > 0 に対して、厳密なnカテゴリは厳密な ( n -1) カテゴリで強化されたカテゴリです。たとえば、厳密な 1 カテゴリは通常のカテゴリです。注: 「 nカテゴリ」という用語は通常、「弱いnカテゴリ」を指し、厳密なカテゴリを指すものではありません。

厳格化

厳密化とは、弱く成立する等式（つまり、一貫性のある同型まで）を実際の等式に置き換えるプロセスです。

準正統派

あるカテゴリ上の位相が準正準であるとは、C上のすべての表現可能な反変関数がその位相に関して層となる場合を言う。^[17]一般的に言えば、平坦位相の中には準正準でないものがあるが、実際に現れる平坦位相は準正準である傾向がある。

サブカテゴリ

カテゴリAは、 AからBへの包含関数が存在する場合、カテゴリBのサブカテゴリです。

サブオブジェクト

カテゴリ内のオブジェクトAが与えられた場合、 AのサブオブジェクトはAへの単射の同値クラスです。2 つの単射f、g は、 fがgを介して因数分解され、g がfを介して因数分解される場合、同値であるとみなされます。

サブ商

サブ商はサブオブジェクトの商です。

サブターミナルオブジェクト

サブターミナルオブジェクトとは、すべてのオブジェクトがXへの射を最大で 1 つ持つようなオブジェクトXです。

対称モノイドカテゴリ

対称モノイドカテゴリは、最大限に対称な編組を持つモノイドカテゴリ（つまり、⊗ を持つカテゴリ）です。

対称シーケンス

対称列は、対称群の作用を持つオブジェクトの列です。これは、 （組み合わせ）種とカテゴリ的に同値です。

T構造

t構造は、コホモロジーが非負次数または非正次数に集中している複体の概念を公理化する、三角カテゴリ(より一般的には安定 ∞ カテゴリ)上の追加構造です。

タンナキアンの二重性

タンナキアン双対性によれば、適切な設定において、射を与えることはそれに沿った引き戻し関手を与えることである。言い換えれば、ホム集合は、おそらく導来的な意味での関手カテゴリと同一視することができ、ここで はXに関連付けられたカテゴリ（例えば、導来カテゴリ）である。^{[18] [19]}${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}$${\displaystyle \operatorname {Fct} (D(Y),D(X))}$${\displaystyle D(X)}$

テンソルカテゴリ

通常、モノイドカテゴリと同義です(ただし、著者によっては 2 つの概念を区別する人もいます)。

テンソル三角カテゴリ

テンソル三角形化カテゴリは、対称モノイドカテゴリの構造と三角形化カテゴリの構造を互換性のある方法で保持するカテゴリです。

テンソル積

モノイドカテゴリBが与えられた場合、関数と のテンソル積は 共端である: ${\displaystyle F:C^{\text{op}}\to B}$${\displaystyle G:C\to B}$

${\displaystyle F\otimes _{C}G=\int ^{c\in C}F(c)\otimes G(c).}$

ターミナル

1. オブジェクトAが終端（最終とも呼ばれる）であるとは、各オブジェクトからAへの射が 1 つだけ存在する場合です。たとえば、Set内のシングルトンなどです。これは初期オブジェクトの双対です。

2. ∞-カテゴリC内のオブジェクトAは、 C内のすべてのオブジェクトBに対して縮約可能である場合、終端オブジェクトとなります。${\displaystyle \operatorname {Map} _{C}(B,A)}$

厚いサブカテゴリ

アーベル圏の完全なサブカテゴリは、拡大の下で閉じている場合に厚いです。

薄い

薄いカテゴリとは、任意のオブジェクトのペア間に最大 1 つの射が存在するカテゴリです。

小さい

小さな物体。今のところは、https://ncatlab.org/nlab/show/tiny+object をご覧ください。

位相的トポス

位相空間のカテゴリの代替となる可能性のある位相トポス。https://golem.ph.utexas.edu/category/2014/04/on_a_topological_topos.html を参照してください。

三角形のカテゴリ

三角カテゴリは、区別された三角形、正確なシーケンスの一般化について話すことができるカテゴリです。アーベルカテゴリは、三角カテゴリの典型的な例です。導出カテゴリは、必ずしもアーベルカテゴリではない三角カテゴリです。

普遍的な

1. 関数とD内のオブジェクトXが与えられたとき、Xからfへの普遍射はコンマカテゴリの初期オブジェクトです。(その双対は普遍射とも呼ばれます。) たとえば、f を忘却関数とし、X を集合とします。 の初期オブジェクトは関数 です。 これが初期オブジェクトであるということは、 が別の射である場合、 jからkへの一意の射が存在し、これはjを介してk を拡張する線型写像で構成されます。つまり、はXによって生成される自由ベクトル空間です。${\displaystyle f:C\to D}$ ${\displaystyle (X\downarrow f)}$${\displaystyle \mathbf {Vec} _{k}\to \mathbf {Set} }$${\displaystyle (X\downarrow f)}$${\displaystyle j:X\to f(V_{X})}$${\displaystyle k:X\to f(W)}$${\displaystyle V_{X}\to W}$${\displaystyle V_{X}}$

2. より明確に言えば、上記のようにfが与えられたとき、 Dの射が普遍的であるためには、自然写像 ${\displaystyle X\to f(u_{X})}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(u_{X},c)\to \operatorname {Hom} _{D}(X,f(c)),\,\alpha \mapsto (X\to f(u_{x}){\overset {f(\alpha )}{\to }}f(c))}$

は全単射です。特に、 の場合、 c をu _Xとすると、恒等射を送れば普遍射が得られます。言い換えれば、普遍射を持つことは、関手 の表現可能性と同等です。${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(u_{X},-)\simeq \operatorname {Hom} _{D}(X,f(-))}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{D}(X,f(-))}$

ヴァルトハウゼン部門

ヴァルトハウゼン カテゴリは、大まかに言えば、コファイブレーションと弱同値の族を持つカテゴリです。

十分にパワーのある

各オブジェクトに対して、ペアワイズ非同型サブオブジェクトの集合のみが存在する場合、カテゴリは wellpowered です。

米田

1.  

米田の補題は次のように主張している... もっとわかりやすい言葉で言えば、数学的対象 X はそれを取り巻くカテゴリの文脈で考えるのが最もよく、そのカテゴリのすべての対象と X が持つ関係のネットワークによって決定される。さらに、X を理解するには、X を表す関数を直接扱う方が適切かもしれない。これは、ウィトゲンシュタインの「言語ゲーム」を彷彿とさせる。つまり、単語の意味は、本質的には、言語のすべての発話との関係によって決定され、実際、その関係に他ならないということである。

バリー・マズール、グロタンディークについて考える

米田補題は、 C上の集合値反変関手FとC内のオブジェクトXに対して、自然な一対一関係が存在すること を述べている。

${\displaystyle F(X)\simeq \operatorname {Nat} (\operatorname {Hom} _{C}(-,X),F)}$

ここでNatは自然変換の集合を意味する。特に、関数

${\displaystyle y:C\to \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} ),\,X\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(-,X)}$

完全に忠実であり、米田埋め込みと呼ばれます。^[20]

2. が関手で、y がCの米田埋め込みである場合、Fの米田拡大はyに沿ったFの左カン拡大です。${\displaystyle F:C\to D}$

ゼロ

ゼロオブジェクトは、 Grp内の自明なグループなど、開始と終了の両方であるオブジェクトです。

• Groth, M., ∞-カテゴリに関する短期講座 2016-03-03 にWayback Machineでアーカイブ
• シシンスキーのメモ
• トポス理論の歴史
• Leinster, Tom (2014).基礎カテゴリー理論. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 第143巻. Cambridge University Press. arXiv : 1612.09375 . Bibcode :2016arXiv161209375L.
• レンスター、Higher Operads、Higher Categories、2003 年。
• エミリー・リール『単体集合へのゆったりとした入門』
• スティーブ・アウォディによるカテゴリカルロジックの講義ノート
• ストリート、ロス (2003 年 3 月 20 日)。「降下理論のカテゴリカルおよび組み合わせ的側面」。arXiv : math /0303175。（2つのカテゴリーの詳細な説明）
• Lawvere、空間のカテゴリは、有向グラフに例示されるような一般化された空間ではない可能性がある。
• スタンフォード哲学百科事典におけるカテゴリー理論