複数の複雑な変数の関数

積と和の順序は入れ替え可能であるため、( 1 )から次の式が得られます。

fはクラスです${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$-関数。

(2)より、fが正則である場合、多円盤上で${\displaystyle \left\{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in \mathbb {C} ^{n};|\zeta _{\nu }-z_{\nu }|\leq r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$そして${\displaystyle |f|\leq {M}}$すると、以下の評価式が得られる。

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{{\partial z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}\right|\leq {\frac {Mk_{1}!\cdots k_{n}!}{{r_{1}}^{k_{1}}\cdots {r_{n}}^{k_{n}}}}.}$

したがって、リウヴィルの定理が成り立つ。

関数fが正則である場合、多円盤上で${\displaystyle \{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|<r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\}}$コーシーの積分公式から、次のべき級数に一意的に展開できることがわかります。

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(z)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ ,\\&c_{k_{1}\cdots k_{n}}={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{1}}\cdots \int _{\partial D_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\dots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-a_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\zeta _{n}-a_{n})^{k_{n}+1}}}\,d\zeta _{1}\cdots d\zeta _{n}.\end{aligned}}}$

さらに、以下の条件を満たす関数fは解析関数と呼ばれる。

各ポイントについて${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in D\subset \mathbb {C} ^{n}}$、${\displaystyle f(z)}$D上で収束するべき級数展開として表現される 。

${\displaystyle f(z)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}.}$

多円盤上の正則関数は解析的であることは既に説明しました。また、ワイエルシュトラスの定理から、多円盤上の解析関数（収束するべき級数）は正則であることがわかります。

関数のシーケンス${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$領域Dのコンパクト部分集合上で一様に収束する場合、極限関数fはDにおいて正則である。また、それぞれの偏導関数は${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$領域D上でfの対応する導関数にコンパクトに収束する。^{[ 9 ]}

正の実数の組み合わせを定義することは可能である。${\displaystyle \{r_{\nu }\ (\nu =1,\dots ,n)\}}$べき級数が${\textstyle \sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ }$一様に収束する${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|<r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$そして一様に収束しない${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|>r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$。

^{このようにして、1つの複素変数に対して同様の収束半径の組み合わせ[注4 ]}を持つことが可能です。この組み合わせは一般に一意ではなく、無限の組み合わせが存在します。

させて${\displaystyle f(z)}$多環空間において正則である${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};r_{\nu }<|z|<R_{\nu },{\text{ for all }}\nu +1,\dots ,n\right\}}$そして閉鎖時にも継続する。

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{|\zeta _{\nu }|=R_{\nu }}\cdots \int f(\zeta )\times \left[{\frac {d^{k}}{dz^{k}}}{\frac {1}{\zeta -z}}\right]_{z=0}df_{\zeta }\cdot z^{k}\\[6pt]&+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\zeta _{\nu }|=r_{\nu }}\cdots \int f(\zeta )\times \left(0,\cdots ,{\sqrt {\frac {k!}{\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!}}}\cdot \zeta _{n}^{\alpha _{1}-1}\cdots \zeta _{n}^{\alpha _{n}-1},\cdots 0\right)df_{\zeta }\cdot {\frac {1}{z^{k}}}\ (\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}=k).\end{aligned}}}$

右辺の第２項の積分は、すべての平面で左側にゼロが現れるように実行され、またこの積分級数は環状領域で一様に収束する。${\displaystyle r'_{\nu }<|z|<R'_{\nu }}$、 どこ${\displaystyle r'_{\nu }>r_{\nu }}$そして${\displaystyle R'_{\nu }<R_{\nu }}$、したがって項を積分することが可能です。^{[ 10 ]}

ボフナー・マルティネリの公式は、一般的な領域で機能するコーシーの公式です。これは、f が領域Dの閉包上で連続微分可能な関数である場合、${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$区分的に滑らかな境界を持つ${\displaystyle \partial D}$それから

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z)-\int _{D}{\overline {\partial }}f(\zeta )\land \omega (\zeta ,z),\quad z\in D,}$

どこ${\displaystyle \omega (\zeta ,z)}$これはボフナー・マルティネリ核と呼ばれる微分形式です。特に、fが正則であれば、第 2 項は消滅します。

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z).}$

ラインハルト領域における収束領域を調べたところ、ハルトッグスはハルトッグス現象を発見した。彼は、その領域上のすべての正則関数を厳密に大きな領域に拡張できるような領域を見つけた。^{[ 17 ]}これは1変数では不可能である。

ハルトッグスの拡張定理：^{[ 18 ]} Gを領域とする${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$n ≥ 2であり、KはGのコンパクト部分集合とする。G \ Kが連結である場合、G \ K 上のすべての正則関数はG  上の正則関数に拡張できる。^{[ 19 ]}  

オスグッド・ブラウンの定理とも呼ばれるこの定理は、複数の複素変数の正則関数では、特異点は孤立点ではなく集積点であるというものです。これは、1変数複素変数の正則関数に成り立つ様々な性質が、複数の複素変数の正則関数には成り立たないことを意味します。これらの特異点の性質は、ワイエルシュトラスの準備定理からも導き出されます。この定理の一般化は、ハルトッグスと同じ方法を用いて2007年に証明されました。^{[ 20 ] [ 21 ]}

チューレン^{[ 22 ]}の古典的な結果によれば、原点を含む2次元の有界ラインハルト領域は、自己同型群による原点の軌道が正の次元を持つ場合、以下の領域のいずれかと双正則である。

1. ${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|<1,~|w|<1\}}$（ポリディスク）
2. ${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|^{2}+|w|^{\frac {2}{p}}<1\},}$どこ${\displaystyle p>0}$（トゥレンドメイン）

砂田俊和は後にThullenの結果を2つ以上の変数に一般化した。^{[ 23 ]}

• もし${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{n}}$が正則領域である場合、それらの共通部分${\textstyle D=\bigcap _{\nu =1}^{n}D_{\nu }}$は正則性の領域でもある。
• もし${\displaystyle D_{1}\subseteq D_{2}\subseteq \cdots }$正則領域の増加列、次にそれらの和集合${\textstyle D=\bigcup _{n=1}^{\infty }D_{n}}$は正則領域でもある。この結果はベーンケ・シュタインの定理として知られている。^{[ 41 ]}
• もし${\displaystyle D_{1}}$そして${\displaystyle D_{2}}$正則領域である場合、${\displaystyle D_{1}\times D_{2}}$は正則領域である。
• いとこ問題は正則領域では常に解けるが、カルタンは、この結果の逆は正しくないことを示した。${\displaystyle n\geq 3}$[ ^{42 ]}これは、追加の位相的仮定の下で、第二いとこ問題についても同様である^。

関数${\displaystyle u\colon D\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \},}$ドメイン付き${\displaystyle D\subset {\mathbb {C} }^{n}}$が上半連続である場合、それは多重サブハーモニックと呼ばれ、すべての複素線に対して${\displaystyle \{a+bz;z\in \mathbb {C} \}\subset \mathbb {C} ^{n}}$、 と${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} ^{n}}$関数${\displaystyle z\mapsto u(a+bz)}$は集合上の劣調和関数である。${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ;a+bz\in D\}.}$この概念は、任意の複素多様体、あるいは複素解析空間においても同様に定義することができる。

1 つの複素変数では、関数${\displaystyle u}$で${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}(\mathbb {C} )}$は、以下の場合に限りサブハーモニックである。 $${\displaystyle \Delta u=4\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial z\partial {\overline {z}}}}\right)\geq 0.}$$ したがって、もし${\displaystyle u}$クラス${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}(\mathbb {C} ^{n})}$、 それから${\displaystyle u}$が多重劣調和であるのは、エルミート行列が${\displaystyle H_{u}=(\lambda _{ij}),\lambda _{ij}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial z_{i}\partial {\bar {z}}_{j}}}}$は正半定値である。言い換えれば、${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}(\mathbb {C} ^{n})}$関数uが多重劣調和であるのは、${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}u}$は正の(1,1)形式である。^{[ 44 ]： 39-40}

uのエルミート行列が正定値でクラス${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$我々はuを厳密な多重劣調和関数と呼ぶ。

弱擬凸性は次のように定義される ：${\displaystyle X\subset {\mathbb {C} }^{n}}$X を領域とする。連続な多重劣調和関数が存在する場合、Xは擬凸であるとする。${\displaystyle \varphi }$X上で、集合が${\displaystyle \{z\in X;\varphi (z)\leq \sup x\}}$は、すべての実数xに対してXの比較的コンパクトな部分集合である。^{[注 9 ]}すなわち、滑らかな多重劣調和枯渇関数が存在する。${\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$多くの場合、擬凸の定義がここで用いられ、次のように記述されます。Xをn次元複素多様体とします。このとき、滑らかな多重劣調和枯渇関数が存在する場合、 X は弱擬凸であると言われます。${\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$[ ^{44 ] : 49​}

X をn次元複素多様体とする。滑らかで厳密に多重劣調和的な枯渇関数が存在する場合、強（または厳密に）擬凸である。${\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$つまり、${\displaystyle H\psi }$はすべての点で正定値です。強擬凸領域は擬凸領域です。^{[ 44 ] : 49}強擬凸と厳密に擬凸（つまり1-凸と1-完全^{[ 45 ]}）はしばしば互換的に使用されますが、^{[ 46 ]}技術的な違いについてはLempert ^{[ 47 ]を参照してください。}

すべての境界点について${\displaystyle \rho }$Dの解析的多様体が存在する${\displaystyle {\mathcal {B}}}$通過${\displaystyle \rho }$Dの外側のどこかの近辺に位置する${\displaystyle \rho }$ただし、その点を除いて${\displaystyle \rho }$それ自体。これらの条件を満たす領域D は、レヴィ全擬凸と呼ばれます。^{[ 49 ]}

各ポイントについて${\displaystyle x\in \partial D}$xとfの近傍Uが存在し、fは正則である。（すなわち、${\displaystyle U\cap D}$（正則凸関数である。）fがxのどの近傍にも拡張できないようにする。すなわち、${\displaystyle \psi :X\to Y}$すべての点が正則写像である場合${\displaystyle y\in Y}$近傍 U を持ち、${\displaystyle \psi ^{-1}(U)}$認める${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$-多重劣調和枯渇関数（弱1完全^{[ 52 ]}）の場合、XはY上で局所擬凸（または局所スタイン）であると言います。古い名前では、カルタン擬凸とも呼ばれます。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$局所擬凸領域はそれ自体が擬凸領域であり、正則領域である。^{[ 53 ] [ 49 ]}例えば、DiederichとFornæss ^{[ 54 ]}は局所擬凸有界領域を発見した。${\displaystyle \Omega }$非ケーラー多様体上の滑らかな境界を持ち、${\displaystyle \Omega }$弱1完全ではない。^{[ 55 ] [注10 ]}

連接層の定義は以下のとおりである。^{[ 68 ] [ 69 ] [ 70 ] [ 71 ] [ 44 ]： 83-89} 環空間上の準連接層${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$束${\displaystyle {\mathcal {F}}}$の${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-ローカル表現を持つモジュール、つまり、${\displaystyle X}$開放的な近隣地域${\displaystyle U}$正確な数列が存在する

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$

いくつかの（おそらく無限の）集合に対して${\displaystyle I}$そして${\displaystyle J}$。

環状空間上の連結層${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$束${\displaystyle {\mathcal {F}}}$以下の2つの特性を満たすこと。

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は有限型である${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$つまり、${\displaystyle X}$開放的な近隣地域${\displaystyle U}$で${\displaystyle X}$射影写像が存在する${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$ある自然数に対して${\displaystyle n}$;
2. 各開集合について${\displaystyle U\subseteq X}$整数${\displaystyle n>0}$、および任意の射${\displaystyle \varphi$ :{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}} の${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-モジュール、カーネル${\displaystyle \varphi }$有限型である。

（準）連接層間の射は、層の射と同じである。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-モジュール。

また、ジャン＝ピエール・セール（1955）^{[ 68 ]}は、

正確な順序で${\displaystyle 0\to {\mathcal {F}}_{1}|_{U}\to {\mathcal {F}}_{2}|_{U}\to {\mathcal {F}}_{3}|_{U}\to 0}$束の${\displaystyle {\mathcal {O}}}$-3つの層のうち2つのモジュール${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}}$2つが整合的であれば、3つ目も整合的である。

(岡-カルタン) 連接定理^{[ 31 ]}によれば、次の条件を満たす各層は連接である: ^{[ 72 ]}

1. 束${\displaystyle {\mathcal {O}}:={\mathcal {O}}_{\mathbb {C} _{n}}}$正則関数の芽の${\displaystyle \mathbb {C} _{n}}$または構造層${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$複素部分多様体またはすべての複素解析空間${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$^{[ 73 ]}
2. 理想的な束${\displaystyle {\mathcal {I}}\langle A\rangle }$解析的部分集合 A の開部分集合の${\displaystyle \mathbb {C} _{n}}$。 (カルタン 1950 ^{[ 33 ]} ) ^{[ 74 ] [ 75 ]}
3. 複素解析空間の構造層の正規化^{[ 76 ]}

上記のSerre(1955)の定理から、${\displaystyle {\mathcal {O}}^{p}}$は連接層であり、また、（i）はカルタンの定理AとBを証明するために用いられる。

層の言語を用いずに、この問題は次のように定式化できる。複素多様体M上に、いくつかの有理型関数が与えられる。${\displaystyle f_{i}}$ドメインと共に${\displaystyle U_{i}}$それらが定義されている場所、そしてそれぞれの違いが${\displaystyle f_{i}-f_{j}}$（差が定義されている限り）正則である。すると、第一いとこ問題は有理型関数を求める。${\displaystyle f}$M上で、${\displaystyle f-f_{i}}$は正則である${\displaystyle U_{i}}$言い換えれば、${\displaystyle f}$与えられたローカル関数の特異な振る舞いを共有する。