最大弾性係数原理

仮に${\displaystyle D}$は、 の有界で空でない連結な開部分集合である。${\displaystyle \mathbb {C} }$。 させて${\displaystyle {\overline {D}}}$閉鎖する${\displaystyle D}$仮に${\displaystyle f\colon {\overline {D}}\to \mathbb {C}}$は、上で正則な連続関数である。${\displaystyle D}$。 それから${\displaystyle |f(z)|}$境界のある点で最大値に達する${\displaystyle D}$。

これは最初のバージョンから次のように導き出されます。${\displaystyle {\overline {D}}}$コンパクトで空でない連続関数${\displaystyle |f(z)|}$ある時点で最大値に達する${\displaystyle z_{0}}$の${\displaystyle {\overline {D}}}$。 もし${\displaystyle z_{0}}$が境界上にない場合、最大モジュラス原理は、${\displaystyle f}$は定数なので${\displaystyle |f(z)|}$また、境界上のどの点においても同じ最大値に達する。

正則関数の場合${\displaystyle f}$連結した開集合上${\displaystyle D}$の${\displaystyle \mathbb {C} }$、 もし${\displaystyle z_{0}}$はポイントです${\displaystyle D}$そのため

${\displaystyle 0<|f(z_{0})|\leq |f(z)|}$

すべての人々のために${\displaystyle z}$近隣の​${\displaystyle z_{0}}$、 それから${\displaystyle f}$は一定です${\displaystyle D}$。

証明: 最大絶対値の原理を適用する${\displaystyle 1/f}$。

等式を用いることができる

${\displaystyle \log f(z)=\ln |f(z)|+i\arg f(z)}$

複素自然対数から推論するには${\displaystyle \ln |f(z)|}$は調和関数です。${\displaystyle z_{0}}$また、この関数の局所最大値であることから、最大値原理から次のことが導かれる。 ${\displaystyle |f(z)|}$ は定数である。次に、コーシー・リーマン方程式を用いて、以下を示す。${\displaystyle f'(z)}$= 0 となり、したがって${\displaystyle f(z)}$も定数である。同様の推論により、 ${\displaystyle |f(z)|}$ 孤立した零点でのみ局所最小値（必然的に値が 0 になる）を持つことができる。${\displaystyle f(z)}$。

別の証明では、ガウスの平均値の定理を用いて、重なり合う開いた円盤内のすべての点が最大値と同じ値を取るように「強制」します。円盤は、その中心が値から多角形の経路を形成するように配置されます。${\displaystyle f(z)}$は、定義域内の他のどの点よりも最大値をとるが、定義域内に完全に含まれる。したがって、最大値が存在するということは、定義域内のすべての値が同じであることを意味する。${\displaystyle f(z)}$定数である。

出典：^{[ 1 ]}

として${\displaystyle D}$開いている、存在する${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)}$（中心が${\displaystyle a\in D}$半径付き${\displaystyle r>0}$) のように${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)\subset D}$。次に、正の向きを持つ閉じた球の境界を次のように定義します。${\displaystyle \gamma (t)=a+re^{it},t\in [0,2\pi ]}$コーシーの積分公式を用いると、

$\displaystyle 0\leq \int _{0}^{2\pi }|f(a)|-|f(a+re^{it})|\,dt\leq 0}$

すべての人にとって${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$、${\displaystyle |f(a)|-|f(a+re^{it})|\geq 0}$、 それで${\displaystyle |f(a)|=|f(a+re^{it})|}$これは、半径が以下のすべての球にも当てはまります。${\displaystyle r}$中心は${\displaystyle a}$。 したがって、${\displaystyle f(z)=f(a)}$すべての人々のために${\displaystyle z\in {\overline {B}}(a,r)}$。

次に定数関数を考えてみましょう。${\displaystyle g(z)=f(a)}$すべての人々のために${\displaystyle z\in D}$すると、 に位置する異なる点のシーケンスを構築できます。${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)}$ここで、正則関数${\displaystyle gf}$消える。${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)}$が閉じている場合、数列は のある点に収束します。${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)\in D}$。 これはつまり${\displaystyle fg}$あらゆる場所で消え去る${\displaystyle D}$これは、${\displaystyle f(z)=f(a)}$すべての人々のために${\displaystyle z\in D}$。