ドルボーコホモロジー

数学、特に代数幾何学と微分幾何学において、ドルボーコホモロジー（ピエール・ドルボーにちなんで名付けられた）は、複素多様体に対するド・ラームコホモロジーの類似物である。Mを複素多様体とする。ドルボーコホモロジー群は整数pとqのペアに依存し、次数 ( p , q ) の複素微分形式の空間の部分商として実現される。 ${\displaystyle H^{p,q}(M,\mathbb {C} )}$

Ω ^{p , q を}次数 ( p , q )の複素微分形式のベクトル束とする。複素形式に関する記事では、ドルボー演算子は滑らかなセクション上の微分演算子として定義されている。

${\displaystyle {\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p,q+1}}$

以来

${\displaystyle {\bar {\partial}}^{2}=0}$

この演算子には、関連するコホモロジーがあります。具体的には、コホモロジーを商空間として定義します。

${\displaystyle H^{p,q}(M,\mathbb {C} )={\frac {\ker \,({\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p,q+1})}{\mathrm {im} \,({\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q-1}\to \Omega ^{p,q})}}.}$

E が複素多様体X上の正則ベクトル束である場合、 Eのドルボー演算子を使用して、Eの正則切断の層の詳細な解析を同様に定義できます。したがって、これはの層コホモロジーの解析です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$

特に、 の正則構造に関連して、 をから形式に切断し、に値を持つドルボー演算子が存在します。これは、微分形式上のドルボー演算子に関する特性ライプニッツ規則を満たすため、上の-接続と呼ばれることもあります。したがって、ベクトル束上の接続を外共変微分に拡張できるのと同様に、 のドルボー演算子は演算子 に拡張できます。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}:\Gamma (E)\to \Omega ^{0,1}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\bar {\partial}}}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}:\Omega ^{p,q}(E)\to \Omega ^{p,q+1}(E)}$$セクションに作用する ${\displaystyle \alpha \otimes s\in \Omega ^{p,q}(E)}$

$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(\alpha \otimes s)=({\bar {\partial }}\alpha )\otimes s+(-1)^{p+q}\alpha \wedge {\bar {\partial }}_{E}s}$$およびは の任意のセクションに線形に拡張されます。ドルボー演算子は積分可能性条件を満たすため、の係数を持つドルボーコホモロジーは上記のように定義できます。 ${\displaystyle \オメガ ^{p,q}(E)}$${\displaystyle {\bar {\partial}}_{E}^{2}=0}$ ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle H^{p,q}(X,(E,{\bar {\partial }}_{E}))={\frac {\ker \,({\bar {\partial }}_{ E}:\Omega ^{p,q}(E)\to \Omega ^{p,q+1}(E))}{\mathrm {im} \,({\bar {\partial }}_{E}:\オメガ ^{p,q-1}(E)\から \オメガ ^{p,q}(E))}}。$$ドルボーコホモロジー群は、 の正則構造と互換性のあるドルボー演算子の選択に依存しないため、通常はへの依存性を削除して表されます。 ${\displaystyle {\bar {\partial}}_{E}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H^{p,q}(X,E)}$${\displaystyle {\bar {\partial}}_{E}}$

ドルボー同型性を確立するためには、ドルボー–グロタンディークの補題（または-ポアンカレの補題）を証明する必要があります。まず、 -ポアンカレの補題の 1 次元バージョンを証明します。滑らかな関数に対するコーシー積分表現の次の一般化された形式を使用します。 ${\displaystyle {\bar {\partial}}}$${\displaystyle {\bar {\partial}}}$

命題：半径 の中心にある開いた球を開いたものとし、 ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0):=\lbrace z\in \mathbb {C} \mid |z|<\varepsilon \rbrace }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0},}$ ${\displaystyle {\overline {B_{\varepsilon }(0)}}\subseteq U}$${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}$

${\displaystyle \forall z\in B_{\varepsilon }(0):\quad f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi +{\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}.}$

補題（複素平面上の-ポアンカレ補題）：を前と同じように滑らかな形とすると、 ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle B_{\varepsilon }(0),U}$${\displaystyle \alpha =fd{\bar {z}}\in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} }^{0,1}(U)}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(U)\ni g(z):={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}$

満たす​${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}g}$${\displaystyle B_{\varepsilon }(0).}$

証明。上で定義された は明確に定義された滑らかな関数であり、 である、という主張です。これを示すために、点と開近傍 を選択すると、台がコンパクトで にある滑らかな関数が見つかります。次に、次のように書くことができます。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle \alpha =f\,d{\bar {z}}={\bar {\partial }}g}$${\displaystyle z\in B_{\varepsilon }(0)}$${\displaystyle z\in V\subseteq B_{\varepsilon }(0)}$${\displaystyle \rho :B_{\varepsilon }(0)\to \mathbb {R} }$${\displaystyle B_{\varepsilon }(0)}$${\displaystyle \rho |_{V}\equiv 1.}$

${\displaystyle f=f_{1}+f_{2}:=\rho f+(1-\rho )f}$

定義する

${\displaystyle g_{i}:={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f_{i}(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}.}$

では明らかに明確に定義され、滑らかであるため、 ${\displaystyle f_{2}\equiv 0}$${\displaystyle V}$${\displaystyle g_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f_{1}(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\mathbb {C} }{\frac {f_{1}(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}\\&=\pi ^{-1}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }f_{1}(z+re^{i\theta })e^{-i\theta }d\theta dr,\end{aligned}}}$

これは確かに明確に定義され、滑らかであるため、 についても同じことが言えます。ここで、上で であることを示します。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle {\bar {\partial }}g=\alpha }$${\displaystyle B_{\varepsilon }(0)}$

${\displaystyle {\frac {\partial g_{2}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}f_{2}(\xi ){\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}{\Big (}{\frac {1}{\xi -z}}{\Big )}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}=0}$

はにおいて正則なので。 ${\displaystyle (\xi -z)^{-1}}$${\displaystyle B_{\varepsilon }(0)\setminus V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial g_{1}}{\partial {\bar {z}}}}=&\pi ^{-1}\int _{\mathbb {C} }{\frac {\partial f_{1}(z+re^{i\theta })}{\partial {\bar {z}}}}e^{-i\theta }d\theta \wedge dr\\=&\pi ^{-1}\int _{\mathbb {C} }{\Big (}{\frac {\partial f_{1}}{\partial {\bar {z}}}}{\Big )}(z+re^{i\theta })e^{-i\theta }d\theta \wedge dr\\=&{\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f_{1}}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}\end{aligned}}}$

一般化されたコーシー公式を適用すると、 ${\displaystyle f_{1}}$

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f_{1}(\xi )}{\xi -z}}d\xi +{\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f_{1}}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}={\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f_{1}}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}}$

以降はですが、 以降はとなります。は任意であったため、この補題は証明されました。 ${\displaystyle f_{1}|_{\partial B_{\varepsilon }(0)}=0}$${\displaystyle f=f_{1}={\frac {\partial g_{1}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle z}$

ここでドルボ-グロタンディークの補題を証明する準備ができました。ここで示す証明はグロタンディークによるものです。^{[1] [2]}半径 でを中心とする開いた多円板で表します。 ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$${\displaystyle 0\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}}$

補題（ドルボー・グロタンディーク）：が開 で となるとき、 が存在し、 が成り立つ：${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q}(U)}$${\displaystyle {\overline {\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}}\subseteq U}$${\displaystyle q>0}$${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q-1}(U)}$${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\beta }$${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0).}$

証明を始める前に、任意の-form は次のように書ける ことに注意する。${\displaystyle (p,q)}$

${\displaystyle \alpha =\sum _{IJ}\alpha _{IJ}dz_{I}\wedge d{\bar {z}}_{J}=\sum _{J}\left(\sum _{I}\alpha _{IJ}dz_{I}\right)_{J}\wedge d{\bar {z}}_{J}}$

多重インデックスの場合、 の場合の証明に簡略化できます。 ${\displaystyle I,J,|I|=p,|J|=q}$${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{0,q}(U)}$

証明。 を- 加群の層においてとなる最小の指数とすると、について帰納法で進めます。 となるのでとなります。次に となる場合、となるようなが存在すると仮定します。次に となると仮定し、 と書けることを観察します。 ${\displaystyle k>0}$${\displaystyle \alpha \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle \alpha \equiv 0}$${\displaystyle q>0}$${\displaystyle \alpha \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k})}$${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{0,q-1}(U)}$${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\beta }$${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$${\displaystyle \omega \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k+1})}$

${\displaystyle \omega =d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\mu ,\qquad \psi ,\mu \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k}).}$

は -閉じているので、は変数に関して正則であり、多円板 上の残りの変数に関して滑らかである。さらに、 -ポアンカレの補題を開球 上の滑らかな関数に適用できるため、次を満たす 滑らかな関数の族が存在する。${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \psi ,\mu }$${\displaystyle z_{k+2},\dots ,z_{n}}$${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle z_{k+1}\mapsto \psi _{J}(z_{1},\dots ,z_{k+1},\dots ,z_{n})}$${\displaystyle B_{\varepsilon _{k+1}}(0)}$${\displaystyle g_{J}}$

${\displaystyle \psi _{J}={\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{k+1}}}\quad {\text{on}}\quad B_{\varepsilon _{k+1}}(0).}$

${\displaystyle g_{J}}$も において正則である。定義 ${\displaystyle z_{k+2},\dots ,z_{n}}$

${\displaystyle {\tilde {\psi }}:=\sum _{J}g_{J}d{\bar {z}}_{J}}$

それから

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega -{\bar {\partial }}{\tilde {\psi }}&=d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\mu -\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{k+1}}}d{\bar {z}}_{k+1}\wedge d{\bar {z}}_{J}+\sum _{j=1}^{k}\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{j}}}d{\bar {z}}_{j}\wedge d{\bar {z}}_{J\setminus \lbrace j\rbrace }\\&=d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\mu -d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\sum _{j=1}^{k}\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{j}}}d{\bar {z}}_{j}\wedge d{\bar {z}}_{J\setminus \lbrace j\rbrace }\\&=\mu +\sum _{j=1}^{k}\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{j}}}d{\bar {z}}_{j}\wedge d{\bar {z}}_{J\setminus \lbrace j\rbrace }\in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k}),\end{aligned}}}$

したがって、帰納法の仮説 を適用すれば、${\displaystyle \eta \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{0,q-1}(U)}$

${\displaystyle \omega -{\bar {\partial }}{\tilde {\psi }}={\bar {\partial }}\eta \quad {\text{on}}\quad \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$

そして誘導ステップを終了します。QED ${\displaystyle \zeta :=\eta +{\tilde {\psi }}}$

前の補題は、多半径のいくつかの成分を持つ多円板を認めることで一般化できます。${\displaystyle \varepsilon _{k}=+\infty }$

補題（拡張ドルボ-グロタンディーク）。が開多円板で が成立する場合、${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$${\displaystyle \varepsilon _{k}\in \mathbb {R} \cup \lbrace +\infty \rbrace }$${\displaystyle q>0}$${\displaystyle H_{\bar {\partial }}^{p,q}(\Delta _{\varepsilon }^{n}(0))=0.}$

証明。と の2 つのケースを考えます。 ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q+1}(U),q>0}$${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,1}(U)}$

ケース1.を多円板 で覆うとすると、ドルボー・グロタンディークの補題により、となる開面上の二次関数の形が見つかる。 ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q+1}(U),q>0}$${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$${\displaystyle {\overline {\Delta _{i}}}\subset \Delta _{i+1}}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle (p,q-1)}$${\displaystyle {\overline {\Delta _{i}}}\subseteq U_{i}}$${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{i}}={\bar {\partial }}\beta _{i}}$

${\displaystyle \beta _{i+1}|_{\Delta _{i}}=\beta _{i}.}$

について帰納的に進めます。 の場合、前の補題により成立します。 に対して主張が真であり、を とったとします。${\displaystyle i}$${\displaystyle i=1}$${\displaystyle k>1}$${\displaystyle \Delta _{k+1}}$

${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)=\bigcup _{i=1}^{k+1}\Delta _{i}\quad {\text{and}}\quad {\overline {\Delta _{k}}}\subset \Delta _{k+1}.}$

次に、となるの開近傍で定義された-形式を見つけます。 を の開近傍とすると、上で-形式を見つけるためにドルボア-グロタンディークの補題を再度適用できます。 ここで、となる開集合と滑らかな関数とを次のようにします。 ${\displaystyle (p,q-1)}$${\displaystyle \beta '_{k+1}}$${\displaystyle {\overline {\Delta _{k+1}}}}$${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{k+1}}={\bar {\partial }}\beta _{k+1}}$${\displaystyle U_{k}}$${\displaystyle {\overline {\Delta _{k}}}}$${\displaystyle {\bar {\partial }}(\beta _{k}-\beta '_{k+1})=0}$${\displaystyle U_{k}}$${\displaystyle (p,q-2)}$${\displaystyle \gamma _{k}}$${\displaystyle \beta _{k}-\beta '_{k+1}={\bar {\partial }}\gamma _{k}}$${\displaystyle \Delta _{k}}$${\displaystyle V_{k}}$${\displaystyle {\overline {\Delta _{k}}}\subset V_{k}\subsetneq U_{k}}$${\displaystyle \rho _{k}:\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \operatorname {supp} (\rho _{k})\subset U_{k},\qquad \rho |_{V_{k}}=1,\qquad \rho _{k}|_{\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)\setminus U_{k}}=0.}$

すると、次を満たす 明確な滑らかな形が生まれる。${\displaystyle \rho _{k}\gamma _{k}}$${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$

${\displaystyle \beta _{k}=\beta '_{k+1}+{\bar {\partial }}(\gamma _{k}\rho _{k})\quad {\text{on}}\quad \Delta _{k},}$

したがって、フォーム

${\displaystyle \beta _{k+1}:=\beta '_{k+1}+{\bar {\partial }}(\gamma _{k}\rho _{k})}$

満足する

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{k+1}|_{\Delta _{k}}&=\beta '_{k+1}+{\bar {\partial }}\gamma _{k}=\beta _{k}\\{\bar {\partial }}\beta _{k+1}&={\bar {\partial }}\beta '_{k+1}=\alpha |_{\Delta _{k+1}}\end{aligned}}}$

ケース2.代わりにドルボー-グロタンディークの補題を2回適用できない場合、前と同様に、とを取り、次のことを示したい。 ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,1}(U),}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle \Delta _{i}}$

${\displaystyle \left\|\left.\left({\beta _{i}}_{I}-{\beta _{i+1}}_{I}\right)\right|_{\Delta _{k-1}}\right\|_{\infty }<2^{-i}.}$

再び、 について帰納的に進めます。答えはドルボー・グロタンディークの補題で与えられます。次に、 について主張が成り立つと仮定します。 がをカバーするようなを取ると、 となるような-形式が見つかります。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle i=1}$${\displaystyle k>1}$${\displaystyle \Delta _{k+1}\supset {\overline {\Delta _{k}}}}$${\displaystyle \Delta _{k+1}\cup \lbrace \Delta _{i}\rbrace _{i=1}^{k}}$${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$${\displaystyle (p,0)}$${\displaystyle \beta '_{k+1}}$

${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{k+1}}={\bar {\partial }}\beta '_{k+1},}$

これは上でも を満たす。つまり は定義される限り正則 -形式である。したがって、ストーン・ワイエルシュトラスの定理により、は次のように書ける。 ${\displaystyle {\bar {\partial }}(\beta _{k}-\beta '_{k+1})=0}$${\displaystyle \Delta _{k}}$${\displaystyle \beta _{k}-\beta '_{k+1}}$${\displaystyle (p,0)}$

${\displaystyle \beta _{k}-\beta '_{k+1}=\sum _{|I|=p}(P_{I}+r_{I})dz_{I}}$

多項式と ${\displaystyle P_{I}}$

${\displaystyle \left\|r_{I}|_{\Delta _{k-1}}\right\|_{\infty }<2^{-k},}$

しかし、フォーム

${\displaystyle \beta _{k+1}:=\beta '_{k+1}+\sum _{|I|=p}P_{I}dz_{I}}$

満足する

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\partial }}\beta _{k+1}&={\bar {\partial }}\beta '_{k+1}=\alpha |_{\Delta _{k+1}}\\\left\|({\beta _{k}}_{I}-{\beta _{k+1}}_{I})|_{\Delta _{k-1}}\right\|_{\infty }&=\|r_{I}\|_{\infty }<2^{-k}\end{aligned}}}$

これにより、誘導ステップが完了します。したがって、となるような-形式に一様収束するシーケンスを構築しました。QED ${\displaystyle \lbrace \beta _{i}\rbrace _{i\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (p,0)}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}={\bar {\partial }}\beta }$

ドルボーの定理はド・ラームの定理の複雑な類似物である^[3]。ドルボーの定理は、ドルボーのコホモロジーが正則微分形式の層の層コホモロジーに同型であることを主張する。具体的には、

${\displaystyle H^{p,q}(M)\cong H^{q}(M,\Omega ^{p})}$

ここで、 はM上の正則p形式の層です。 ${\displaystyle \Omega ^{p}}$

ドルボー定理の一種は、正則ベクトル束の係数を持つドルボーコホモロジーにも当てはまる。つまり、同型性を持つ。 ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle H^{p,q}(M,E)\cong H^{q}(M,\Omega ^{p}\otimes E).}$$

対数形式のバージョンも確立されている。^[4]

を型の形式の細かい層とします。このとき、-ポアンカレの補題は、列 ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{p,q}}$${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle {\overline {\partial }}}$

${\displaystyle \Omega ^{p,q}{\xrightarrow {\overline {\partial }}}{\mathcal {F}}^{p,q+1}{\xrightarrow {\overline {\partial }}}{\mathcal {F}}^{p,q+2}{\xrightarrow {\overline {\partial }}}\cdots }$

は正確です。他の長い完全列と同様に、この列は短い完全列に分解されます。これらに対応するコホモロジーの長い完全列は、細かい層の高次のコホモロジーが消えることを使用すると、結果を与えます。

次元複素射影空間のドルボーコホモロジーは ${\displaystyle n}$

${\displaystyle H_{\bar {\partial }}^{p,q}(P_{\mathbb {C} }^{n})={\begin{cases}\mathbb {C} &p=q\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ホッジ理論の次のよく知られた事実を適用します。

${\displaystyle H_{\rm {dR}}^{k}\left(P_{\mathbb {C} }^{n},\mathbb {C} \right)=\bigoplus _{p+q=k}H_{\bar {\partial }}^{p,q}(P_{\mathbb {C} }^{n})}$

は コンパクトなケーラー複素多様体であるため、${\displaystyle P_{\mathbb {C} }^{n}}$${\displaystyle b_{2k+1}=0}$

${\displaystyle b_{2k}=h^{k,k}+\sum _{p+q=2k,p\neq q}h^{p,q}=1.}$

さらに、 がケーラーであり、 がフビニ・スタディ計量（これは実際にケーラーである）に関連付けられた基本形式であることがわかるので、が結果を生成するとき はいつでも となる。${\displaystyle P_{\mathbb {C} }^{n}}$${\displaystyle 0\neq [\omega ^{k}]\in H_{\bar {\partial }}^{k,k}(P_{\mathbb {C} }^{n}),}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle h^{k,k}=1}$${\displaystyle h^{p,q}=0}$${\displaystyle p\neq q,}$

• セール双対性
• ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-補題は、コンパクトなケーラー多様体の設定における -正確微分形式の可能性を記述します。${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

• ピエール・ドルボー(1953)。 「Sur la cohomologie des variétés Analytiques complexes」。科学アカデミーのコンテス・レンドゥス。236 : 175–277。
• ウェルズ、レイモンド O. (1980)。複素多様体上の微分解析。シュプリンガー出版。ISBN 978-0-387-90419-1。
• ガンニング、ロバート C. (1990)。多変数正則関数入門、第 1 巻。チャップマンとホール/CRC。p. 198。ISBN 9780534133085。
• グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョセフ(2014)。代数幾何学の原理。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。p. 832。ISBN 9781118626320。