指数層シーケンス

数学において、指数層列は、複素幾何学で使用される層の基本的な短い正確な列です。

M を複素多様体とし、M 上の正則関数の層を O M と書く。O M *を非_零正則関数からなる部分層とする。_これらは両方ともアーベル群の層である。指数関数は層準同型を与える。

${\displaystyle \exp :{\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*},}$

なぜなら、正則関数fに対して、 exp( f ) は非零正則関数であり、 exp( f  +  g ) = exp( f )exp( g ) であるからである。その核は、において2π の値を取るM上の局所定数関数の層 2π i Zであり、n は整数である。したがって、 指数層列は

${\displaystyle 0\to 2\pi i\,\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*}\to 0.}$

ここでの指数写像は、必ずしも断面上の射影写像ではない。これは、例えば、M が複素平面上の穴あき円板である場合に見られる。指数写像は茎上で射影的である。点Pにおける正則関数の芽gが与えられ、 g ( P ) ≠ 0である場合、 Pの近傍におけるgの対数を取ることができる。層コホモロジーの長完全列は、完全列を持つことを示している。

${\displaystyle \cdots \to H^{0}({\mathcal {O}}_{U})\to H^{0}({\mathcal {O}}_{U}^{*})\to H^{1}(2\pi i\,\mathbb {Z} |_{U})\to \cdots }$

Mの任意の開集合Uに対して成立する。ここでH ^{0 は単に}U上の切断を意味し、層コホモロジーH ¹ (2π i Z | _U ) はUの特異コホモロジーである。

H ¹ (2π i Z | _U ) は、 Uの各ループに整数を関連付けるものと考えることができます。 O _M *の各セクションについて、 H ¹ (2π i Z | _U )への接続準同型は、各ループの巻き数を与えます。したがって、この準同型は一般化された巻き数であり、Uが縮約可能でないかどうかを測定します。言い換えると、ゼロでない正則関数の大域的対数を取ることには潜在的な位相的障害があり、これは常に局所的に可能です。

この順序のさらなる結果は、

${\displaystyle \cdots \to H^{1}({\mathcal {O}}_{M})\to H^{1}({\mathcal {O}}_{M}^{*})\to H^{2}(2\pi i\,\mathbb {Z} )\to \cdots .}$

ここでH ¹ ( O _M *) はM上の正則直線束のピカール群と同一視できる。接続準同型は直線束をその最初のチャーン類に送る。

• グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョセフ（1994）、代数幾何学の原理、ワイリークラシックスライブラリー、ニューヨーク：ジョンワイリーアンドサンズ、ISBN 978-0-471-05059-9、MR  1288523特に37ページと139ページを参照