除去可能な特異点

複素解析において、正則関数の除去可能な特異点とは、関数が定義されない点であるが、その点において関数を再定義することで、結果として得られる関数がその点の近傍で正則となるような関数が得られる点のことである。

例えば、(正規化されていない) sinc 関数は、次のように定義されます。

${\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {\sin z}{z}}}$

特異点を持つ${\displaystyle z=0}$⁠。この特異点は、以下のように定義することで除去できます。$\displaystyle {\text{sinc}}(0):=1}$⁠、これはsincの極限です⁠${\displaystyle z}$傾向として​${\displaystyle 0}$結果として得られる関数は正則です。この場合、問題はsinc関数が不定形になったこと。のべき級数展開をとると、${\displaystyle \textstyle {\frac {\sin(z)}{z}}}$特異点の周りでは、

${\displaystyle {\text{sinc}}(z)={\frac {1}{z}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k+1)!}}=1-{\frac {z^{2}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{7!}}+\cdots .}$

正式には、もし${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$複素平面の開部分集合である${\displaystyle \mathbb {C} }$⁠、${\displaystyle a\in U}$のポイント⁠${\displaystyle U}$⁠、そして${\displaystyle f:U\smallsetminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C} }$は正則関数である。${\displaystyle a}$除去可能な特異点と呼ばれる${\displaystyle f}$正則関数が存在する場合${\displaystyle g:U\rightarrow \mathbb {C} }$これは、${\displaystyle f}$オン⁠${\displaystyle U\smallsetminus \{a\}}$⁠ . 私たちは言う${\displaystyle f}$は正則拡張可能である${\displaystyle U}$もしそのような${\displaystyle g}$存在する。

リーマンの除去可能な特異点に関する定理は以下のとおりである。

1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 の含意は自明である。4 ⇒ 1 を証明するために、まず、関数の正則性について思い出す。${\displaystyle a}$それは、${\displaystyle a}$（証明）、すなわちべき級数表現を持つこと。定義する

${\displaystyle h(z)={\begin{cases}(za)^{2}f(z)&z\neq a,\\0&z=a.\end{cases}}}$

明らかに、${\displaystyle h}$は上で正則である${\displaystyle D\smallsetminus \{a\}}$⁠、そして存在する

${\displaystyle h'(a)=\lim _{z\to a}{\frac {(za)^{2}f(z)-0}{za}}=\lim _{z\to a}(za)f(z)=0}$

4倍なので、${\displaystyle h}$は上で正則である${\displaystyle D}$⁠そしてテイラーシリーズについて${\displaystyle a}$⁠ :

${\displaystyle h(z)=c_{0}+c_{1}(za)+c_{2}(za)^{2}+c_{3}(za)^{3}+\ldots \,.}$

私たちは${\displaystyle c_{0}=h(a)=0}$そして​​${\displaystyle c_{1}=h'(a)=0}$したがって​

${\displaystyle h(z)=c_{2}(za)^{2}+c_{3}(za)^{3}+\ldots \,.}$

したがって、${\displaystyle z\neq a}$⁠、私たちは以下を持っています：

${\displaystyle f(z)={\frac {h(z)}{(za)^{2}}}=c_{2}+c_{3}(za)+\ldots \,.}$

しかし、

${\displaystyle g(z)=c_{2}+c_{3}(za)+\cdots \,.}$

は正則である${\displaystyle D}$⁠、したがって、の拡張です。${\displaystyle f}$⁠ .

実変数関数とは異なり、正則関数は十分に厳密であるため、その孤立特異点を完全に分類することができる。正則関数の特異点は、実際には特異点ではない（つまり除去可能な特異点）か、以下の2つのタイプのいずれかである。

1. リーマンの定理に照らして、除去不可能な特異点が与えられた場合、自然数が存在するかどうかを問うことができる。${\displaystyle m}$そのため、${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}(za)^{m+1}f(z)=0}$⁠。もしそうなら、${\displaystyle a}$は、​${\displaystyle f}$そして最小のそのような${\displaystyle m}$はの順序です${\displaystyle a}$⁠。したがって、除去可能な特異点はまさに秩序の極である。${\displaystyle 0}$有理型関数は、他の極の近くで一様に爆発する。
2. 孤立した特異点${\displaystyle a}$の${\displaystyle f}$は除去可能でも極でもなく、本質的特異点と呼ばれます。ピカール大定理は、そのような${\displaystyle f}$穴の開いたすべての近隣地域を地図に載せる${\displaystyle U\smallsetminus \{a\}}$最大で1点を除いて、複素平面全体に対して。

• 分析能力
• 除去可能な不連続性

• 数学百科事典の 特異点除去に関するリンクは非推奨となり、2012年12月20日にarchive.todayにアーカイブされました。