複素微分形式

数学において、複素微分形式は、複素係数を持つことが許される多様体（通常は複素多様体）上の微分形式です。

複素形式は微分幾何学において幅広く応用されています。複素多様体では複素形式は基本的なものであり、代数幾何学、ケーラー幾何学、ホッジ理論の多くにおいて基礎として機能します。複素数でない多様体では、複素形式はほぼ複素構造、スピノル理論、CR構造の研究にも役立ちます。

通常、複素形式は、その形式が許す望ましい分解のために考慮されます。たとえば、複素多様体上では、任意の複素k形式は、いわゆる( p ,  q ) 形式、つまり大まかに言えば、正則座標のp 微分とその複素共役のq微分のくさびの和に一意に分解できます。( p ,  q ) 形式の集合が研究の基本的対象となり、多様体上のk形式よりも細かい幾何学的構造を決定します。たとえば、ホッジ理論が適用される場合、さらに細かい構造が存在します。

M が複素次元nの複素多様体であるとします。すると、n 個の複素数値関数z ¹、...、z ⁿで構成される局所座標系が存在し、あるパッチから別のパッチへの座標遷移はこれらの変数の正則関数になります。複素形式の空間は、これらの遷移関数が単に滑らかであるだけでなく正則であるという事実に基本的に依存する豊かな構造を持ちます。

まず、1形式の場合から始めます。まず、複素座標を実部と虚部に分解します。各jに対して、 z ^j = x ^j + iy ^jです。

${\displaystyle dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},\quad d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j},}$

複素係数を持つ任意の微分形式は、和として一意に表すことができることがわかる。

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left(f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\bar {z}}^{j}\right).}$

Ω ^{1,0 を}だけを含む複素微分形式の空間とし、 Ω ^{0,1 を}だけを含む形式の空間とします。コーシー・リーマン方程式により、空間 Ω ^1,0と Ω ^0,1は正則座標変換に対して安定であることを示すことができます。言い換えると、正則座標系の異なる選択w _{iを行うと、 Ω} ^1,0の要素はΩ ^0,1の要素と同様にテンソル変換されます。したがって、空間 Ω ^0,1と Ω ^{1,0 は、}複素多様体上の 複素ベクトル束を決定します。${\displaystyle dz}$${\displaystyle d{\bar {z}}}$

複素微分形式のウェッジ積は実形式と同じ方法で定義される。pとq をn ≤ 0 の非負整数のペアとする。 ( p ,  q )形式の空間 Ω ^{p,q は、 Ω 1,0からの}p個の要素とΩ ^0,1からのq個の要素のウェッジ積の線形結合をとることによって定義される。記号的に、

${\displaystyle \Omega ^{p,q}=\underbrace {\Omega ^{1,0}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}} _{p{\text{ 回}}}\wedge \underbrace {\Omega ^{0,1}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}} _{q{\text{ 回}}}}$

ここで、 Ω ^1,0のp因子とΩ ^0,1のq因子があります。1 形式の 2 つの空間と同様に、これらは座標の正則変換に対して安定であり、ベクトル束を決定します。

E ^{k が}全次数kの複素微分形式全体の空間である場合、E ^{kの各要素は、} p + q = kとなる空間 Ω ^{p,qの要素の線形結合として一意に表現できます。より簡潔に言えば、}直和分解 があります。

${\displaystyle E^{k}=\Omega ^{k,0}\oplus \Omega ^{k-1,1}\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{1,k-1}\oplus \Omega ^{0,k}=\bigoplus _{p+q=k}\Omega ^{p,q}.}$

この直和分解は正則座標変換に対して安定しているため、ベクトル束分解も決定します。

特に、各kと各pとq （ p + q = k）に対して、ベクトル束の標準射影が存在する。

${\displaystyle \pi ^{p,q}:E^{k}\rightarrow \Omega ^{p,q}.}$

通常の外部微分は、セクションのマッピングを次のように 定義します。${\displaystyle d:\Omega ^{r}\to \Omega ^{r+1}}$

${\displaystyle d(\Omega ^{p,q})\subseteq \bigoplus _{r+s=p+q+1}\Omega ^{r,s}}$

外微分自体は、多様体のより厳密な複雑な構造を反映するものではありません。

dと前の節で定義した射影を使用して、ドルボー演算子を定義することができます。

${\displaystyle \partial =\pi ^{p+1,q}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p+1,q},\quad {\bar {\partial } }=\pi ^{p,q+1}\circ d:\オメガ ^{p,q}\rightarrow \オメガ ^{p,q+1}}$

これらの演算子を局所座標で記述するには、

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}}$

ここで、IとJは多重インデックスです。

${\displaystyle \partial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}.}$

以下の特性が当てはまると考えられます。

${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$

${\displaystyle \partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0.}$

これらの演算子とその特性は、ドルボーコホモロジーやホッジ理論の多くの側面の基礎を形成します。

複素多様体の星型領域上では、ドルボー演算子は、に対するホモトピー演算子の分割から生じる双対ホモトピー演算子^[1]を持ちます。^{[1]これは、複素多様体上の}ポアンカレの補題の内容です。 ${\displaystyle d}$

およびに対するポアンカレの補題は、局所的-補題にさらに改良することができ、これはすべての- 厳密な複素微分形式が実際に- 厳密であることを示します。コンパクトケーラー多様体では、局所的-補題の大域形式が成り立ち、-補題として知られています。これはホッジ理論の結果であり、大域的に- 厳密な（言い換えれば、ド・ラーム・コホモロジーにおける類が 0 である）複素微分形式は大域的に - 厳密であると述べています。 ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

各pに対して、正則p形式はバンドル Ω ^{p ,0}の正則切断である。局所座標では、正則p形式は次の形式で表すことができる。

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,dz^{I}}$

ここで、は正則関数である。同様に、複素共役の独立性により、( p ,0)-形式αが正則となるのは、 ${\displaystyle f_{I}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0.}$

正則p形式の層はΩ ^pと表記されることが多いが、これは混乱を招くことがあるため、多くの著者は別の表記法を採用する傾向がある。

• ドルボーコンプレックス
• フレーリッヒャースペクトル列
• 第一種微分

• P. グリフィス、J. ハリス(1994)。代数幾何学の原理。ワイリークラシックスライブラリー。ワイリーインターサイエンス。pp. 23–25。ISBN 0-471-05059-8。
• ウェルズ、RO（1973）。複素多様体上の微分解析。シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-90419-0。
• ヴォワザン、クレア（2008年）。ホッジ理論と複素代数幾何学I。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0521718011。