分岐（数学）

幾何学において、分岐とは「枝分かれ」することであり、複素数の平方根関数が符号の異なる 2 つの枝を持つように見えるのと同じです。この用語は、被覆写像が空間の一点で退化し、写像の繊維がいくらか崩壊する場合のように、反対の観点（枝が一緒になる）からも使用されます。

複素解析では、基本モデルは、 z = 0付近の複素平面における z  →  z ⁿ写像として考えることができます。これは、リーマン面理論におけるn次分岐の  標準的な局所的描像です。これは、たとえば、写像が種数に与える影響を表すリーマン・フルヴィッツの公式で現れます。

被覆写像では、オイラー・ポアンカレ特性はシートの数で乗算されるはずなので、分岐はそこから何かが落ちることで検出できます。z →  z ⁿ写像はこれを局所的なパターンとして示しています。0 を除外して、例えば 0 < | z | < 1 を見ると、(ホモトピーの観点から) n乗写像によってそれ自体に写像された円(オイラー・ポアンカレ特性 0) が得られますが、円全体ではオイラー・ポアンカレ特性は 1 で、n  - 1 はnシートがz = 0で集まる ときの「失われた」点です 。

幾何学的に言えば、分岐は余次元 2で起こることです(結び目理論やモノドロミーのように)。実余次元 2 は複素余次元 1 なので、局所的な複素数の例は、より高次元の複素数多様体のパターンを設定します。複素解析では、シートは直線 (1 つの変数) や、一般的なケースでは余次元 1 の部分空間に沿って単純に折りたたむことはできません。分岐集合 (基底上の分岐軌跡、上の二重点集合) は、周囲多様体よりも実次元が 2 つ低いため、局所的には 2 つの「辺」に分割されません。つまり、例のように、分岐軌跡の周りをたどる経路が存在することになります。任意の体 上の代数幾何学では、類推により、代数余次元 1 でもこれが起こります。

代数的整数論における分岐とは、素イデアルを拡大で因数分解して、いくつかの繰り返される素イデアル因数を与えることを意味します。つまり、 を代数的数体の整数環、 の素イデアルとします。体拡大については、整数環(におけるの整閉包) と のイデアルを考えることができます。このイデアルは素数である場合もそうでない場合もありますが、有限 については、素イデアルに因数分解されます。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle L/K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle [L:K]}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cdot {\mathcal {O}}_{L}={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{e_{k}}}$

ここで はの異なる素イデアルである。 が に対して分岐するとは、に対して分岐する場合である。 それ以外の場合は分岐する。${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle e_{i}>1}$${\displaystyle i}$非分岐。言い換えると、分岐指数が何らかの に対して 1 より大きい場合、は で分岐します。同等の条件は、 が非ゼロの冪零有限体の積ではないことですリチャード・デデキントとハインリッヒ・M・ウェーバーによってすでに指摘されていました。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}}$

分岐は、相対判別式によってにエンコードされ、相対差異によってにエンコードされます。前者は のイデアルであり、の何らかの分割イデアルが分岐する場合に限り、で割り切れます。後者は のイデアルであり、が分岐する 場合に限り、の素イデアルで割り切れます。${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

分岐のインデックスがすべて の留数特性pと互いに素である場合、分岐はtameであり、そうでない場合はwild です。この条件はガロア加群理論で重要です。デデキント域の有限のジェネリックなエタール拡大は、トレースが射影的である場合に限り tame です。 ${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle B/A}$${\displaystyle \operatorname {Tr} :B\to A}$

数体における分岐のより詳細な分析は、局所的な問題であるため、p進数の拡大を使用して実行できます。その場合、ガロア拡大に対して分岐の量的な尺度が定義されます。これは基本的に、ガロア群が体要素を計量に関してどれだけ移動するかを尋ねることによって行われます。分岐群のシーケンスが定義され、（他のものの中でも）ワイルドな（非飼いならされた）分岐が具体化されます。これは、幾何学的な類似を超えています。

付値理論において、付値の分岐理論は、体Kの付値のKの拡大体への拡大の集合を研究します。これは、代数的数論、局所体、およびデデキント領域の概念を一般化します。

代数幾何学にも、対応する非分岐射の概念があります。これは、エタール射を定義するのに役立ちます。

をスキームの射とします。準コヒーレント層の台はの分岐軌跡と呼ばれ、分岐軌跡の像 はの枝軌跡と呼ばれます。が形式的に非分岐であると言い、 も局所有限表示である場合、は非分岐であると言います(Vakil 2017 を参照)。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \Omega_{X/Y}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\left(\operatorname {Supp} \Omega _{X/Y}\right)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \オメガ _{X/Y}=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

• アイゼンシュタイン多項式
• ニュートン多角形
• ピュイズー拡張
• 枝分かれした被覆

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• ノイキルヒ、ユルゲン(1999)。代数学ザーレン理論。Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 322. ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.
• Vakil, Ravi (2017年11月18日). The Rising Sea: Foundations of algebraic geographical (PDF) . 2019年6月5日閲覧。

• 「数体とガロア拡大における分割と分岐」。PlanetMath。