複素数

抽象代数学において、双複素数は、双複素共役を定義するケーリー・ディクソン過程によって構成される複素数のペア（w、z）であり、2つの双複素数の積は次のように表される。 ${\displaystyle (w,z)^{*}=(w,-z)}$

${\displaystyle (u,v)(w,z)=(uw-vz,uz+vw).}$

すると、双複素ノルムは次のように与えられる。

${\displaystyle (w,z)^{*}(w,z)=(w,-z)(w,z)=(w^{2}+z^{2},0),}$最初の要素が二次形式である。

双複素数は、C上の次元2の可換代数を形成し、それは代数C ⊕ Cの直和に同型です。

2 つの双複素数の積は、その数の個々の二次形式の積である二次形式の値を生成します。積の二次形式のこの性質の検証は、ブラフマグプタ-フィボナッチ恒等式を参照します。双複素数の二次形式のこの性質は、これらの数が合成代数を形成することを示しています。実際、双複素数は、ノルム z ²に基づくケーリー-ディクソン構成の二項レベルに生じます。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

一般の双複素数は行列 で表すことができ、行列式を持ちます。したがって、二次形式の合成特性は行列式の合成特性と一致します。 ${\displaystyle {\begin{pmatrix}w&iz\\iz&w\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle w^{2}+z^{2}}$

双複素数は2つの異なる虚数単位を持つ。乗法は結合法則と可換法則を持つため、これらの虚数単位の積はその平方に必ず正の1を持つ。この積のような要素は双曲単位と呼ばれている。^[1]

双複素数はC上の 2 次元の代数を形成し、C はR上の 2 次元であるため、双複素数はR上の 4 次元の代数です。実際、実数代数は複素数よりも古く、1848 年にテッサリンと​​名付けられましたが、複素数代数は 1892 年まで導入されませんでした。

R上のテッサリン 4 次元代数の基底は、 z = 1 およびz = − i を指定し、与えられた表に従って乗算される行列を与えます 。単位行列が 1 と同一視される場合、テッサリンt = w + zjとなります。 ${\displaystyle k={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \ j={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

多重虚数単位の主題は1840年代に検討された。1844年に哲学雑誌で始まった長い連載「四元数について、あるいは代数学における新しい虚数体系について」で、ウィリアム・ローワン・ハミルトンは四元数群に従って乗算する体系を説明した。1848年にトーマス・カークマンは超複素数系を決定する単位に関する方程式に関するアーサー・ケイリーとの書簡について報告した。 ^[2]

1848年、ジェームズ・コックルは哲学雑誌の連載記事でテッサリンを紹介した。^[3]

テッサリンは、次のような形式の超複素数である。

${\displaystyle t=w+xi+yj+zk,\quad w,x,y,z\in \mathbb {R} }$

ここで コックルはテッサラインを使用して、指数級数における双曲余弦級数と双曲正弦級数を分離しました。また、テッサラインで零因子が発生する仕組みも示し、「不可能」という用語の使用を思いつきました。テッサラインは現在、実テッサラインの部分代数(分割複素数とも呼ばれる) で最もよく知られており、これは単位双曲線のパラメータ化を表します。 ${\displaystyle ij=ji=k,\quad i^{2}=-1,\quad j^{2}=+1.}$ ${\displaystyle t=w+yj\ }$

1892年のMathematische Annalenの論文で、コラード・セグレは双複素数[ ^4]を導入しました。これはテッサライン^{[5]と同型の代数を形成します。}

セグレは、WRハミルトンの『四元数講義』 （1853年）とWKクリフォードの著作を読んだ。セグレはハミルトンの記法の一部を使って、複素複素数の体系を開発した。hとiを、平方すると−1になり、可換な元とする。すると、乗法の結合法則を仮定すると、積hiは平方すると+1になる。基底{1, h , i , hi }で構成された代数は、異なる基底を使って表されたジェームズ・コックルのテッサラインと同じになる。セグレは、元が

${\displaystyle g=(1-hi)/2,\quad g'=(1+hi)/2}$はべき等   です。

双複素数が基底{ 1, h , i , − hi }で表現される場合、特にこの基底のベクトルが{ 1, i , − hi , h }のように並べ替えられると、テッサラインとの同値性は明らかです。これらの同型代数の線形表現を見ると、負の符号が使用される場合の 4 次元での一致がわかります。上記の線形表現のサンプル積を検討してください。

現代の合成代数理論では、代数を別の二分音階構成に基づく二分音階構成、つまり双二分音階として位置づけています。^[6]ケイリー・ディクソン過程における単数音階レベルは体でなければならず、実体から始めて、通常の複素数は別の体である除算二分音階として生じます。このようにして、この過程を再び開始して双二分音階を形成することができます。ケビン・マクリモンは、著書『ジョーダン代数の味』（2004年） の中で、二分音階という用語によって命名法が簡素化されたことを指摘しています。

² C = C ⊕ Cと書き、その要素を複素数の順序付きペア ( u , v ) で表します。テッサリン代数Tは² Cに同型なので、多項式環 T [X] と² C [ X ] も同型ですが、後者の代数における多項式は分解します。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{k},b_{k})(u,v)^{k}\quad =\quad \left({\sum _{k=1}^{n}a_{i}u^{k}},\quad \sum _{k=1}^{n}b_{k}v^{k}\right).}$

その結果、この代数における多項式方程式が設定されると、それはC上の２つの多項式方程式に簡約される。次数がnであれば、各方程式にはn 個の根がある。この根の集合からの 任意の順序付き対は、 ² C [ X ]における元の方程式を満たすので、 n ^{2 個の}根を持つ。^[7]${\displaystyle f(u,v)=(0,0)}$ ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n},\ v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}.}$${\displaystyle (u_{i},v_{j})\!}$

T [ X ]との同型性により、多項式とそれらの根の対応が存在します。したがって、n次のテッサリン多項式も、根の重複度を数えるとn ^{2 個の}根を持ちます。

双複素数は、クリフォード代数であるCAPS（物理空間の複素化代数）の中心として現れる。^[8] CAPSの線型空間は、{ }を{ }で覆う4次元空間として見ることができるため。 ${\displaystyle Cl(3,\mathbb {C} )}$${\displaystyle 1,e_{1},e_{2},e_{3}}$${\displaystyle 1,i,k,j}$

テッサリンはデジタル信号処理に応用されている。^{[9] [10] [11]}

双複素数は流体力学で利用されている。双複素代数の使用は、複素数の2つの異なる応用、すなわち複素平面における2次元ポテンシャルフローの表現と複素指数関数を調和させる。^[12]

• G. Baley Price (1991)多重複素空間と関数入門Marcel Dekker ISBN 0-8247-8345-X 
• F. カトーニ、D. ボカレッティ、R. カンナータ、V. カトーニ、E. ニケラッティ、P. ザンペッティ。 (2008) The Mathematics of Minkowski Space-Time with an Introduction to Commutative Hypercomplex Numbers、Birkhäuser Verlag、バーゼルISBN 978-3-7643-8613-9 
• Alpay D、Luna-Elizarrarás ME、Shapiro M、Struppa DC。(2014)双複素スカラーと双複素シュール解析による関数解析の基礎、シャム、スイス：Springer Science & BusinessMedia
• Luna-Elizarrarás ME、Shapiro M、Struppa DC、Vajiac A. (2015)双複素正則関数：双複素数の代数、幾何学、解析、Cham、スイス：Birkhäuser
• Rochon, Dominic、Michael Shapiro (2004)。「双複素数と双曲数の代数的性質について」Anal. Univ. Oradea、fasc. math 11、no. 71: 110。