多重低調波関数

数学において、多重亜調和関数（psh、plsh、plush関数と略されることもある）は、複素解析で使用される重要な関数のクラスを形成します。ケーラー多様体上では、多重亜調和関数は亜調和関数のサブセットを形成します。ただし、亜調和関数（リーマン多様体上で定義される）とは異なり、多重亜調和関数は複素解析空間上で完全に一般に定義できます。

定義域 を持つ関数は 、上半連続であり、任意の複素直線に対して ${\displaystyle f\colon G\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \},}$ ${\displaystyle G\subset {\mathbb {C} }^{n}}$

${\displaystyle \{a+bz\mid z\in {\mathbb {C} }\}\subset {\mathbb {C} }^{n},}$と ${\displaystyle a,b\in {\mathbb {C} }^{n},}$

この関数は集合上の 分数調和関数である${\displaystyle z\mapsto f(a+bz)}$

${\displaystyle \{z\in {\mathbb {C} }\mid a+bz\in G\}.}$

完全に一般化すると、この概念は任意の複素多様体上、あるいは複素解析空間 上でも次のように定義できます。上半連続関数は、任意の正則写像に対して関数が劣調和である場合に、多重劣調和 であると言われます。ここで、 は単位円を表します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\colon X\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}$ ${\displaystyle \varphi \colon \Delta \to X}$${\displaystyle f\circ \varphi \colon \Delta \to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}$${\displaystyle \Delta \subset {\mathbb {C} }}$

が（微分可能）クラスである場合、 が多重劣調和行列となるのは、レヴィ行列と呼ばれる エルミート行列 の要素が${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L_{f}=(\lambda _{ij})}$

${\displaystyle \lambda _{ij}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\partial {\bar {z}}_{j}}}}$

は半正定値です。

同様に、関数fが多重劣調和関数である場合、かつ が正の (1,1) 形式である場合に限ります。 ${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}f}$

ケーラー多様体との関係: n次元複素ユークリッド空間 では、 は 多元調和関数である。実際、は定数倍までの標準 ケーラー形式に等しい。より一般的には、が を満たす 場合、${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle f(z)=|z|^{2}}$${\displaystyle i\partial {\overline {\partial }}f}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle i\partial {\overline {\partial }}g=\omega }$

あるケーラー形式 に対して は多重調和関数であり、ケーラーポテンシャルと呼ばれます。これらは、ケーラー多様体上のケーラー形式に ddbar 補題を適用することで簡単に生成できます。${\displaystyle \omega}$${\displaystyle g}$

ディラックデルタとの関係： 1次元複素ユークリッド空間 では、 は多重劣調和関数である。がコンパクトな台を持つC ^∞クラス関数である場合、コーシー積分公式は次のように表される。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$${\displaystyle u(z)=\log |z|}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(0)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dzd{\bar {z}}}{z}},}$

これを変更することで

${\displaystyle {\frac {i}{\pi }}\partial {\overline {\partial }}\log |z|=dd^{c}\log |z|}$。

それは原点 0 における ディラック測度に他なりません。

その他の例

• が開集合上の解析関数である場合、 はその開集合上で多重劣調和関数です。${\displaystyle f}$${\displaystyle \log |f|}$
• 凸関数は多重調和関数です。
• が正則領域である場合、 は多重劣調和です。${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle -\log(dist(z,\Omega ^{c}))}$

プルリサブハーモニック関数は、1942 年に 岡潔^[1]とピエール ルロンによって定義されました。^[2]

• 多重調和関数の集合は、凸円錐のような以下の特性を持ちます。

• が多元調和関数で正の実数である場合、関数は多元調和関数である。${\displaystyle f}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle c\cdot f}$
• と が複数の分数調和関数である場合、和は複数の分数調和関数です。${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$

• 多重亜調和性は局所的な特性です。つまり、関数が多重亜調和的となるのは、各点の近傍で多重亜調和的である場合のみです。
• が多元調和関数で、増加凸関数である場合、 は多元調和関数です。(は と解釈されます。)${\displaystyle f}$${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \varphi \circ f}$${\displaystyle \varphi (-\infty )}$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }\varphi (x)}$
• およびが多重低調波関数である場合、関数は多重低調波です。${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle \max(f_{1},f_{2})}$
• 多重低調和関数の減少列の各点の極限は多重低調和関数です。
• すべての連続多元調和関数は、滑らかな多元調和関数の減少列の極限として得ることができる。さらに、この列は一様収束するように選択することができる。^[3]
• 通常の半連続条件における不等式は等式として成立します。つまり、が多重サブハーモニックである場合、 となります。${\displaystyle f}$${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}$
• 多重サブハーモニック関数は、任意のケーラー計量に対してサブハーモニックです。
• したがって、多重低調波関数は最大原理を満たします。つまり、が領域上で多重低調波であり、ある点に対してが定数である場合です。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle \sup _{x\in D}f(x)=f(x_{0})}$${\displaystyle x_{0}\in D}$${\displaystyle f}$

いくつかの複素変数では、多重調和関数は擬凸領域、正則領域、およびスタイン多様体を記述するために使用されます。

多重調和関数の理論の主な幾何学的応用は、1942年に岡潔によって証明された有名な定理である^。[1]

連続関数は、逆像が すべての に対してコンパクトである場合に網羅的である と呼ばれます。多重劣調和関数f は、 形式がM上の何らかのケーラー形式に対して正で ある場合に強多重劣調和関数であると呼ばれます。 ${\displaystyle f:\;M\mapsto {\mathbb {R} }}$${\displaystyle f^{-1}((-\infty ,c])}$${\displaystyle c\in {\mathbb {R} }}$${\displaystyle i(\partial {\bar {\partial }}f-\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

Oka の定理: M を、滑らかで網羅的な強多重劣調和関数を許容する複素多様体とします。このとき、 MはSteinです。逆に、任意の Stein 多様体はそのような関数を許容します。

• Bremermann, HJ (1956). 「複素凸性」.アメリカ数学会誌. 82 (1): 17–51. doi : 10.1090/S0002-9947-1956-0079100-2 . JSTOR  1992976.
• スティーブン・G・クランツ著『多変数複素関数理論』AMS チェルシー出版、ロードアイランド州プロビデンス、1992 年。
• Robert C. Gunning . 多変数正則関数入門、Wadsworth & Brooks/Cole 社。
• クリメク、多能性理論、Clarendon Press 1992。

• 「多元調和関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]