スタイン多様体

数学において、多変数複素数と複素多様体の理論では、シュタイン多様体はn次元複素数のベクトル空間の閉じた複素部分多様体である。より本質的には、適切な正則埋め込みを許容する複素多様体として定義できる。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$一部の人にとって${\displaystyle n}$これらはカール・シュタイン（1951年）によって導入され、彼の名にちなんで名付けられました。シュタイン空間はシュタイン多様体に似ていますが、特異点を持つことが許されています。シュタイン空間は、代数幾何学におけるアフィン多様体またはアフィンスキームの類似物です。 

仮定する${\displaystyle X}$は複素次元の複素多様体である${\displaystyle n}$そして${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$上の正則関数の環を表す${\displaystyle X.}$私たちは呼ぶ${\displaystyle X}$以下の2つの条件が満たされる場合、シュタイン多様体である: ^{[ 1 ]}

• ${\displaystyle X}$は正則凸である、すなわち、すべてのコンパクト部分集合に対して${\displaystyle K\subset X}$、いわゆる正則包絡線（または正則性の包絡線）${\displaystyle K}$、${\displaystyle {\widehat {K}}:=\left\{z\in X\,\left|\,|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|\ \forall f\in {\mathcal {O}}(X)\right.\right\},}$

は、のコンパクトな部分集合でもある。${\displaystyle X}$。

• ${\displaystyle X}$は正則分離可能である、すなわち、${\displaystyle x\neq y}$2つの異なるポイント${\displaystyle X}$すると、${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(X)}$そのため${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$

X を連結な非コンパクトのリーマン面とする。ハインリッヒ・ベーンケとシュタイン (1948)の深い定理によれば、 Xはシュタイン多様体である。^{[ 2 ]}

ハンス・グラウエルトとヘルムート・ロール（1956）による別の結果では、このリーマン面X上のすべての正則ベクトル束、特にすべての正則線束は自明であると述べられています。特に、すべての線束は自明です。これは、第2 いとこ問題の解に関連しています。

• 標準的な複合空間${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$これはスタイン多様体である。
• 正則性のすべての領域${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$これはスタイン多様体である。
• ファトゥ・ビーバーバッハのすべてのドメイン${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$これはスタイン多様体である。
• スタイン多様体の閉じた複素部分多様体はすべて、スタイン多様体でもある。
• シュタイン多様体の埋め込み定理は次のように述べている。すべてのシュタイン多様体は${\displaystyle X}$複素数${\displaystyle n}$埋め込むことができる$\displaystyle \mathbb {C} ^{2n+1}}$双正則な固有写像によって。

これらの事実から、シュタイン多様体は複素空間の閉じた複素部分多様体であり、その複素構造は周囲の空間の構造と同じである（埋め込みが双正則であるため）。

• n次元の（複素）次元を持つすべてのシュタイン多様体は、 n次元CW複体のホモトピー型を持つ。
• 1次元複素数においては、スタイン条件は簡略化できる。連結リーマン面がスタイン多様体であるのは、それがコンパクトでない場合のみである。これは、ベーンケとスタインによるリーマン面に関するルンゲの定理の変形版を用いて証明できる。
• すべてのスタイン多様体${\displaystyle X}$は正則的に拡散可能であり、すなわちすべての点に対して${\displaystyle x\in X}$、 がある${\displaystyle n}$すべての上で定義された正則関数${\displaystyle X}$開放された近傍に限定すると、局所座標系を形成する。${\displaystyle x}$。
• シュタイン多様体であることは、（複素）強擬凸多様体であることと同値である。後者は、強擬凸（または多重劣調和）な完全関数、すなわち滑らかな実関数を持つことを意味する。${\displaystyle \psi }$の上${\displaystyle X}$（これはモース関数であると想定できる）${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}\psi >0}$部分集合が${\displaystyle \{z\in X\mid \psi (z)\leq c\}}$コンパクト${\displaystyle X}$すべての実数に対して${\displaystyle c}$^{この結果は、グラウエルト[ 3 ]}によってもたらされ、ナラシムハン^{[ 4 ]}によってスタイン空間に一般化されたものであり、通常、エウジェニオ・レヴィ(1911)にちなんで名付けられたレヴィ問題^{[ 5 ]}の解と呼ばれている。${\displaystyle \psi }$シュタイン多様体の一般化として、境界を持つ対応するクラスのコンパクト複素多様体であるシュタイン領域の概念が提案される。シュタイン領域は逆像である。${\displaystyle \{z\mid -\infty \leq \psi (z)\leq c\}}$そのため、一部の著者はこのような多様体を厳密に擬凸多様体と呼ぶ。
• 前の項目に関連して、複素次元2における、より位相的な同等の定義は次のとおりです。スタイン曲面とは、実数値モース関数fがX上にある複素曲面Xであり、 fの臨界点から離れたところで、原像への複素接線場が${\displaystyle X_{c}=f^{-1}(c)}$これは、境界として通常の配向と一致するX _c上の配向を誘導する接触構造である。${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c).}$つまり、${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c)}$X _cのシュタイン充填です。

このような多様体には、特に複素数の値をとる「多数」の正則関数を持つという性質を捉えた、数多くのさらなる特徴付けが存在する。例えば、層コホモロジーに関するカルタンの定理 A と B を参照のこと。当初の動機は、解析関数の（最大）解析接続の定義域の性質を記述することであった。

GAGAの類推セットでは、シュタイン多様体はアフィン多様体に対応する。

シュタイン多様体は、複素解析における楕円多様体とある意味で双対関係にあり、楕円多様体は複素数から自身への「多数の」正則関数を許容する。シュタイン多様体が楕円多様体であるのは、いわゆる「正則ホモトピー理論」の意味でファイブラントである場合に限ることが知られている。

次元 2 nのコンパクトで滑らかな多様体で、インデックス ≤ nのハンドルのみを持つものは、 n > 2 の場合、シュタイン構造を持ち、n = 2 の場合、2-ハンドルが特定のフレーミング (サーストン-ベネキン フレーミングより小さいフレーミング) で接続されている限り、同じことが成り立つ。^{[ 6 ] [ 7 ]}閉じた滑らかな 4 多様体は、共通の境界に沿って貼り合わされた 2 つのシュタイン 4 多様体の和集合である。^{[ 8 ]}     

X がシュタイン多様体である場合、それは${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$また、正則二分曲率は部分多様体上で減少するため、X は非正則二分曲率のケーラー計量を持つ。逆は偽であることが知られている。非正則二分曲率の計量を持つ単連結コンパクト（したがってシュタインではない）射影多様体の例が存在する。^{[ 9 ]} 1967 年に Wu によって、非正分曲率の任意の単連結完備ケーラー多様体はシュタイン多様体であると述べる、より弱い結果がある。^{[ 10 ]}

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• フォースター、オットー（1981）、『リーマン面に関する講義』、大学院数学テキスト、第 81巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 0-387-90617-7（ベーンケ＝シュタインの定理とグラウエルト＝ロールの定理の証明を含む）
• フランス、フォルストネリッチ (2011)。シュタイン多様体と正則写像。 Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ / 数学における現代の調査シリーズ。 Vol.  56.土井：10.1007/978-3-642-22250-4。ISBN 978-3-642-22249-8。
• Hörmander, Lars (1990), 『多変数複素解析入門』、North-Holland Mathematical Library、第7巻 、アムステルダム：North-Holland Publishing Co.、ISBN 978-0-444-88446-6MR 1045639​ （埋め込み定理の証明を含む）
• Gompf, Robert E. (1998)、「Stein曲面のハンドルボディ構成」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、148 (2)、The Annals of Mathematics、第148巻、第2号：619–693、arXiv：math/9803019、doi：10.2307/121005、ISSN 0003-486X、JSTOR 121005、MR 1668563、S2CID 17709531    （4次元におけるスタイン領域と多様体の定義と構成）
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