近傍（数学）

位相幾何学および関連する数学の分野において、近傍（または近隣）は位相空間の基本概念の 1 つです。近傍は、開集合および内部の概念と密接に関連しています。直感的に言えば、点の近傍とは、その点を含む点の集合であり、その点から任意の方向にいくらか移動しても集合を離れることはありません。

が位相空間で が の点である場合、の近傍[ ^1]はを含む開集合を含むの部分集合である。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle p\in U\subseteq V\subseteq X.}$$

これは、の位相的内部に属する点と同等である。${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X.}$

近傍は、の開いた部分集合である必要はない。近傍が開いている（閉じている、コンパクトであるなど）場合、 近傍は${\displaystyle V}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X,}$オープン近傍^[2]（それぞれクローズド近傍、コンパクト近傍など）。著者^[3]近傍がオープンであることを要求する人もいるので、その慣例に注意することが重要である。

各点の近傍である集合は、各点を含む開集合の和集合として表現できるため、開集合です。図に示すように、閉じた長方形は、そのすべての点の近傍ではありません。長方形の辺や角にある点は、長方形内に含まれるどの開集合にも含まれません。

ある点のすべての近傍の集合を、その点における近傍システムと呼びます。

が位相空間の部分集合である場合、の近傍は を含む開集合を含む集合である。従って、集合がの近傍となるのは、それが 内のすべての点の近傍である場合に限る。さらに、 がの近傍となるのは、が の内部の部分集合である場合に限る。 の近傍での開部分集合でもあるものはと呼ばれる。${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle S\subseteq U\subseteq V\subseteq X.}$$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$開 近傍 点の近傍 は${\displaystyle S.}$

距離空間 において、中心と半径を持つ開球が存在し、それ が含まれる場合、集合は点の近傍である。${\displaystyle M=(X,d),}$${\displaystyle V}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r>0,}$$${\displaystyle B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X:d(x,p)<r\}}$$${\displaystyle V.}$

${\displaystyle V}$集合の全ての要素に対して が含まれる正の数が存在する場合、集合の一様近傍と呼ばれる。${\displaystyle S}$${\displaystyle r}$${\displaystyle p}$${\displaystyle S,}$ $${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X:d(x,p)<r\}}$$${\displaystyle V.}$

同じ条件下で、集合の-近傍は、からの距離が より短い 内のすべての点の集合です(または同等に、内の点を中心とする半径 のすべての開球の和集合です)。${\displaystyle r>0,}$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S_{r}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle S_{r}=\bigcup \limits _{p\in {}S}B_{r}(p).}$$

近傍は一様近傍であり、集合が一様近傍であるのは、それが何らかの値に対して近傍を含む場合のみである。${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r.}$

通常のユークリッド距離を持つ実数 の集合と、として定義される 部分集合が与えられる と、 は自然数の集合の近傍ですが、この集合の一様近傍で はありません。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle V}$$${\displaystyle V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\,;\,1/n\right),}$$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

上記の定義は、開集合の概念がすでに定義されている場合に便利です。トポロジーを定義する別の方法として、まず近傍システムを定義し、次に各点の近傍を含む集合として開集合を定義します。

近傍系とは、の各 に の部分集合のフィルタを割り当てることである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$

1. ポイントは、それぞれの要素である${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle N(x)}$
2. の各には が含まれ、の各はに含まれる${\displaystyle U}$${\displaystyle N(x)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle N(x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle N(y).}$

両方の定義が互換性があること、つまり、開集合を使用して定義された近傍システムから取得されたトポロジーが元のトポロジーであり、近傍システムから開始する場合はその逆であることを示すことができます。

均一空間 において、のすべての点が の任意の点に -近いような周辺領域が存在する場合、はの均一近傍と呼ばれます。${\displaystyle S=(X,\Phi ),}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U\in \Phi }$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle P;}$${\displaystyle U[x]\subseteq V}$${\displaystyle x\in P.}$

点の削除近傍（パンクチャー近傍と呼ばれることもある）は、のない の近傍である。たとえば、区間 は実数直線上の の近傍なので、集合 はの削除近傍である。与えられた点の削除近傍は、実際には点の近傍ではない。削除近傍の概念は、関数の極限の定義や極限点の定義などにも登場する。^[4]${\displaystyle p}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle \{p\}.}$ ${\displaystyle (-1,1)=\{y:-1<y<1\}}$${\displaystyle p=0}$${\displaystyle (-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}}$${\displaystyle 0.}$

• 孤立点 - 部分集合 S の点であり、その周囲に S の他の点が存在しない点
• 近隣システム – (ポイント x について) ポイント x のすべての近隣の集合フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 領域（数学）  – 位相空間の連結した開集合リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 管状近傍 – 部分多様体の正規束に同相な部分多様体の近傍フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ

• ブレドン、グレン E. (1993)。トポロジーと幾何学。ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-97926-3。
• エンゲルキング、リザード(1989)。一般的なトポロジ。ヘルダーマン・フェルラーク、ベルリン。ISBN 3-88538-006-4。
• カプランスキー、アーヴィング(2001)。集合論と距離空間。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-2694-8。
• ケリー、ジョン L. (1975)。一般位相幾何学。ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 0-387-90125-6。
• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]。一般位相幾何学。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.