無限次元正則性

数学において、無限次元正則性は関数解析の一分野である。これは、複素バナッハ空間（より一般的にはフレシェ空間）で定義され、値を取る関数（典型的には無限次元）への正則関数の概念の一般化に関するものである。これは非線形関数解析の一側面である。

正則関数の理論を複素 1 次元を超えて拡張する最初のステップは、いわゆるベクトル値正則関数を考えることです。これは、複素平面 Cで定義されますが、バナッハ空間で値を取ります。このような関数は、たとえば、有界線型演算子の正則関数計算を構築する場合に重要です。

定義。関数f  : U → X（U ⊂ Cは開集合、Xは複素バナッハ空間）は、複素微分可能であるとき、正則関数と呼ばれます。つまり、各点z ∈ Uに対して次の極限が存在します。

${\displaystyle f'(z)=\lim _{\zeta \to z}{\frac {f(\zeta )-f(z)}{\zeta -z}}.}$

ベクトル値正則関数f  : U → Xの直線γ:[ a , b ]→ Uに沿った線積分は、複素数値正則関数の場合と同様に、次の形式の和の極限として 定義できる。

${\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n}f(\gamma (t_{k}))(\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1}))}$

ここで、a = t ₀ < t ₁ < ... < t _n = b は、区間 [ a、b ] の細分であり、細分区間の長さはゼロに近づきます。

コーシーの積分定理がベクトル値正則関数にも成り立つことは簡単に確認できる。実際、 f  : U → Xがそのような関数で、T  : X → Cが有界線型関数であれば、次の式が成り立つ。

${\displaystyle T\left(\int _{\gamma }f(z)\,dz\right)=\int _{\gamma }(T\circ f)(z)\,dz.}$

さらに、Tのf  : U → Cの合成は 複素数値正則関数である。したがって、Uに内部が含まれる単純な閉曲線γ に対して、古典的なコーシーの積分定理により、右側の積分はゼロになる。次に、T は任意であるため、ハーン・バナッハの定理から次の式が導かれる。

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=0}$

これはベクトル値の場合のコーシーの積分定理を証明します。

この強力なツールを使用すると、コーシーの積分公式が証明され、古典的な場合と同様に、任意のベクトル値正則関数が解析的 であることが証明されます。

関数f  : U → Xが正則であるための有用な基準は、 T o f  : U → Cがすべての連続線形関数 T  : X → Cに対して正則複素数値関数であることです。このようなfは弱正則です。フレシェ空間に値を持つ複素平面の開部分集合上に定義された関数は、弱正則である場合に限り、正則であることが示されます。

より一般的には、2 つの複素バナッハ空間 XとYおよび開集合U ⊂ Xが与えられたとき、f  : U → Yが正則であるとは、fのフレシェ微分がUのすべての点で存在する場合である。このより一般的な文脈では、正則関数が解析的であること、つまり、局所的にべき級数に展開できることは依然として真であることを示すことができる。しかし、関数が球体で定義され正則である場合、球体の中心の周りのべき級数は球体全体で収束するということはもはや真ではない。たとえば、空間全体で定義され、有限の収束半径を持つ正則関数が存在する。^[1]

一般に、2 つの複素位相ベクトル空間 XとYおよび開集合U ⊂ Xが与えられた場合、関数f  : U → Yの正則性を定義する方法はいくつかあります。有限次元の設定とは異なり、XとYが無限次元の場合、正則関数の特性はどの定義を選択するかによって異なります。考慮する必要がある可能性の数を制限するために、 XとYが局所的に凸である場合の正則性についてのみ説明します。

このセクションでは、最も弱い概念から最も強い概念まで定義の一覧を示します。最後に、空間XとY が追加の制約を満たす場合にこれらの定義に関連するいくつかの定理について説明します。

ガトー正則性は、弱正則性を完全な無限次元設定に直接一般化したものです。

XとY を局所凸位相ベクトル空間とし、U ⊂ Xを開集合とする。関数f  : U → Yがガトー正則であるとは、任意のa ∈ Uおよびb ∈ X、および任意の連続線型関数φ : Y → Cに対して、関数

${\displaystyle f_{\varphi }(z)=\varphi \circ f(a+zb)}$

は原点近傍におけるzの正則関数である。ガトー正則関数の集合はH _G ( U , Y )で表される。

ガトー正則関数の解析では、有限次元正則関数の任意の特性は、Xの有限次元部分空間上でも成り立ちます。しかし、関数解析では通常、これらの特性を均一に組み合わせて、完全開集合上のこれらの関数の対応する特性を生成できない場合があります。

• f ∈ Uの場合、f にはすべての次数のガトー導関数があります。これは、 x ∈ Uおよびh ₁、...、h _k ∈ Xに対して、k次のガトー導関数D ^k f ( x ){ h ₁、...、h _k } には、有限次元空間であるh _iの範囲内の反復方向導関数のみが含まれるためです。この場合、反復ガトー導関数はh _i内で多重線型ですが、一般に空間X全体で見ると連続しなくなります。
• さらに、テイラーの定理のバージョンは次のようになります。

${\displaystyle f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\widehat {D}}^{n}f(x)(y)}$

ここで、は、多重線型演算子D ⁿ f ( x )に関連付けられた、yのn次同次多項式です。この級数の収束は一様ではありません。より正確には、V ⊂ Xが固定された有限次元部分空間である場合、この級数は 0 ∈ Yの十分に小さいコンパクトな近傍に一様収束します。ただし、部分空間V が変化することを許可されている場合、収束は失敗します。つまり、一般に、この変化に関して一様ではなくなります。これは有限次元の場合とは対照的であることに注意してください。${\displaystyle {\widehat {D}}^{n}f(x)(y)}$

• ハートーグの定理はガトー正則関数に対して次の意味で成り立つ。

f  : ( U ⊂ X ₁ ) × ( V ⊂ X ₂ ) → Yが各引数において個別にガトー正則な関数である場合、 f は積空間上でガトー正則です。

関数f  : ( U ⊂ X ) → Y が低解析的であるとは、f ∈ H _G ( U , Y ) であり、さらにf がUの比較的コンパクトな部分集合上で連続であることを意味する。

関数f ∈ H _G (U, Y ) が正則であるとは、任意のx ∈ Uに対してテイラー級数展開が 成り立つことを言う。

${\displaystyle f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\widehat {D}}^{n}f(x)(y)}$

（これはガトー正則性によって存在が保​​証されている）は収束し、 0 ∈ Xの近傍でyに対して連続である。したがって、正則性は弱正則性の概念とべき級数展開の収束を組み合わせたものである。正則関数の集合は H( U , Y ) で表される。

関数f  : ( U ⊂ X ) → Y は、 Uの各点に、fによる像がYで有界な近傍がある場合に、局所的に有界であるという。さらに、f がU上でガトー正則である場合、f は局所的に有界な正則である。この場合、f ∈ H _LB ( U、Y ) と書きます。

• Richard V. Kadison、John R. Ringrose、「作用素代数理論の基礎」、第1巻：初等理論。アメリカ数学会、1997年。ISBN 0-8218-0819-2  。（セクション3.3を参照。）
• Soo Bong Chae, Holomorphy and Calculus in Normed Spaces、Marcel Dekker、1985年。ISBN 0-8247-7231-8。 
• ^ Lawrence A. Harris、「無限次元正則関数の不動点定理」（日付なし）。