分岐点

複素解析の数学分野において、多価関数の分岐点とは、関数が${\displaystyle n}$-値（持っている）${\displaystyle n}$その時点では、そのすべての近傍には、${\displaystyle n}$値。^{[ 1 ]}多価関数はリーマン面を用いて厳密に研究されており、分岐点の正式な定義はこの概念を採用している。

分岐点は大きく3つのカテゴリに分類されます。代数的分岐点、超越的分岐点、対数的分岐点です。代数的分岐点は、方程式を解くなど、根の抽出に曖昧さがある関数から最も一般的に発生します。${\displaystyle w^{2}=z}$のために${\displaystyle w}$関数として${\displaystyle z}$ここで分岐点は原点である。なぜなら、原点を含む閉ループの周りの任意の解の解析接続は異なる関数をもたらすからである。非自明なモノドロミーが存在する。代数的分岐点にもかかわらず、関数は${\displaystyle w}$は多価関数として明確に定義され、適切な意味で原点で連続である。これは、超越分岐点や対数分岐点、すなわち多価関数が非自明なモノドロミーと本質的特異点を持つ点とは対照的である。幾何関数論では、無条件の分岐点という用語は通常、前者のより限定的な種類、すなわち代数分岐点を意味する。^{[ 2 ]} 複素解析の他の分野では、無条件の用語は、より一般的な超越型の分岐点を指す場合もある。

させて${\displaystyle \Omega }$複素平面上の連結した開集合である${\displaystyle \mathbb {C} }$そして${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$正則関数。${\displaystyle f}$が一定でない場合、臨界点の集合は${\displaystyle f}$つまり、導関数の零点${\displaystyle f'(z)}$制限点はありません${\displaystyle \Omega }$なので、各臨界点${\displaystyle z_{0}}$の${\displaystyle f}$円盤の中心に位置する${\displaystyle B(z_{0},r)}$他の重要な点を含まない${\displaystyle f}$閉鎖に際して。

させて${\displaystyle \gamma }$境界となる${\displaystyle B(z_{0},r)}$正の向きで取った場合。${\displaystyle f(\gamma )}$その点に関して${\displaystyle f(z_{0})}$は、​​${\displaystyle z_{0}}$。 もし${\displaystyle z_{0}}$が解析関数の臨界点である場合、その分岐指数は 1 より大きいので、${\displaystyle z_{0}}$分岐点とも呼ばれる${\displaystyle f}$、および対応する臨界値${\displaystyle f(z_{0})}$は（代数的）分岐点と呼ばれる。言い換えれば、${\displaystyle z_{0}}$正則関数が存在する場合、それは分岐点である。${\displaystyle \phi }$ 近隣で定義される${\displaystyle z_{0}}$そのため${\displaystyle f(z)=\phi (z)(z-z_{0})^{k}+f(z_{0})}$整数${\displaystyle k>1}$これは常に次の場合に当てはまります${\displaystyle z_{0}}$は解析関数の臨界点である。

通常、人は興味がない${\displaystyle f}$それ自体ではあるが、その逆関数ではある。しかし、分岐点の近傍では正則関数の逆関数は厳密には存在しないため、それを多値的な意味で大域的な解析関数として定義せざるを得ない。分岐点を言語の誤用として言及することはよくある。${\displaystyle w_{0}=f(z_{0})}$の${\displaystyle f}$グローバル解析関数の分岐点として${\displaystyle f^{-1}}$分岐点のより一般的な定義は、暗黙的に定義されるような、他の種類の多値グローバル解析関数にも適用可能です。このような例を扱うための統一的な枠組みは、以下でリーマン面の用語を用いて説明します。特に、このより一般的な枠組みでは、位数が1より大きい極も分岐点とみなすことができます。

逆グローバル解析関数の観点から${\displaystyle f^{-1}}$分岐点とは、非自明なモノドロミーが存在する点のことである。例えば、関数${\displaystyle f(z)=z^{2}}$分岐点があります${\displaystyle z_{0}=0}$逆関数は平方根です${\displaystyle f^{-1}(w)=w^{1/2}}$分岐点を持つ${\displaystyle w_{0}=0}$まさに、閉ループを一周する${\displaystyle w=e^{i\theta }}$1つは ${\displaystyle \theta =0}$そして${\displaystyle e^{i0/2}=1}$しかしループを一周した後${\displaystyle \theta =2\pi }$1つは${\displaystyle e^{2\pi i/2}=-1}$したがって、原点を囲むこのループの周りにはモノドロミーが存在する。

gをz _{0 の}周りの穴あき円盤上で定義された大域的解析関数とします。z _0がgの本質的特異点であり、関数要素をz _{0 を囲む単純な閉曲線に沿って一周}解析接続すると異なる関数要素が得られる場合、gは超越分岐点を持ちます。 ^{[ 3 ]}

超越分岐点の例としては、多価関数の原点が挙げられる。

${\displaystyle g(z)=\exp \left(z^{-1/k}\right)\,}$

1より大きい整数kに対して、ここで原点周りの回路のモノドロミー群は有限である。k個の完全な回路を解析接続すると、関数は元の関数に戻る。  

モノドロミー群が無限群、すなわち、z₀_を中心とする非ゼロの巻き数を持つ曲線に沿って解析接続することで元の関数要素に戻ることが不可能な場合、点z₀_は対数分岐点と呼ばれます。^{[ 4 ]}これは、この現象の典型的な例が原点における複素対数の分岐点であることからこのように呼ばれています。原点を囲む単純な閉曲線を反時計回りに一周すると、複素対数は 2πi だけ増加します。巻き数wのループを一周すると、対数は2πiwだけ増加し、モノドロミー群は無限巡回群となります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$。

対数分岐点は、超越分岐点の特殊な場合である。

超越分岐点や対数分岐点には、対応する分岐の概念は存在しない。なぜなら、関連する被覆リーマン面を、分岐点自体の被覆へと解析的に延長することができないからである。したがって、そのような被覆は常に非分岐である。

• 0 は平方根関数の分岐点です。w = z ^1/2とし、z が4 から始まり、 0 を中心とする複素平面上の半径4の円に沿って移動するとします。従属変数wは、 zに連続的に依存しながら変化します。zが4 から 4 に戻るように 1 周すると、w は4 の正の平方根、つまり 2 から 4 の負の平方根、つまり-2まで 1 半周します。  
• ^0は自然対数の分岐点でもあります。e 0 は e 2 π i と同じなので、0^{と2 π} iはどちらもln ( 1) の多重値に含まれます。zが0 を中心とする半径 1 の円に沿って移動すると、w = ln( z ) は 0 から 2 π iまで変化します。
• 三角法では、tan( π /4)とtan(5π / 4)はどちらも1に等しいので、π /4と5π /4はarctan(1)の倍数の中に含まれます。虚数単位iと−iは、逆正接関数arctan( z ) = (1/2 i )log[( i − z )/( i + z )]の分岐点です。これは、導関数( d / dz )arctan( z ) = 1/(1 + z ² )の分母がこれらの点でゼロであるため、これらの2点で単純極を持つことを観察することでわかります。      
• 関数 ƒ の導関数 ƒ ' が点 a に単純極を持つ場合、 ƒは点a に対数分岐点を持つ。逆は成り立たない。なぜなら、無理数 α に対する関数ƒ ( z ) = z ^αは対数分岐点を持ち、その導関数は極を持たないにもかかわらず特異点を持つからである。

大まかに言うと、分岐点とは、多価関数のさまざまなシートが交わる点のことです。関数の枝とは、関数のさまざまなシートのことです。たとえば、関数w  = z ^1/2には 2 つの枝があります。1 つは平方根がプラス符号で現れる部分、もう 1 つはマイナス符号で現れる部分です。分岐切断とは、複素平面上の曲線で、その曲線を除いた平面上に多価関数の単一の解析的枝を定義できるような曲線のことです。分岐切断は通常、分岐点のペア間で行われますが、常にそうとは限りません。 

分岐カットを使用すると、多値関数ではなく、分岐カットに沿って「接着」された単値関数の集合を扱うことができます。たとえば、関数を作成するには

${\displaystyle F(z)={\sqrt {z}}{\sqrt {1-z}}\,}$

単値関数の場合、実軸上の区間[0, 1]に沿って分岐切断を行い 、関数の2つの分岐点を結びます。同じ考え方は関数√zにも適用できますが、その場合は、例えば負の実軸全体に沿って、0から接続する適切な「もう一方の」分岐点が無限遠点であることを認識する必要があります。

分岐切断法は恣意的に見えるかもしれない（実際そうである）が、例えば特殊関数の理論においては非常に有用である。分岐現象の不変的な説明は、リーマン面理論（歴史的にはこの理論の起源である）において、またより一般的には代数関数と微分方程式の分岐理論とモノドロミー理論において展開されている。

複素対数

分岐切断の典型的な例は複素対数です。複素数が極形式z  = r e ^{i θ}で表される場合、 zの対数は 

${\displaystyle \ln z=\ln r+i\theta .\,}$

しかし、角度θの定義には明らかな曖昧さがあります。θ に 2π の任意の整数倍を加えると、別の角度になる可能性があります。対数の分岐は、複素平面上の連結した開集合内のすべてのzに対してzの対数を与える連続関数L ( z ) です。特に、対数の分岐は、原点から無限遠への任意の光線の補集合、つまり分岐切断に存在します。分岐切断の一般的な選択は負の実軸ですが、選択は主に便宜上の問題です。

対数は、分岐切断線を横切る際に 2πi の不連続点を持つ。対数は、分岐切断線に沿って複素平面の可算個のコピー（シートと呼ばれる）を貼り合わせることで連続にすることができる。各シート上では、対数の値は主値から 2πi の倍数だけ異なる。これらの面は、対数を連続にするために、分岐切断線に沿って一意の方法で互いに貼り合わされる。変数が原点の周りを一周するたびに、対数は別の分岐へと移動する。

分岐点の概念は、コンパクト連結リーマン面Xからコンパクトリーマン面Y (通常はリーマン球面) への正則関数 ƒ: X  → Yに対して定義されます。関数 ƒ が定数でない限り、有限個の点を除いて、関数 ƒ はその像を被覆します。ƒ が被覆にならないXの点はƒ の分岐点と呼ばれ、分岐点を ƒ で写像したものが分岐点と呼ばれます。 

任意の点P  ∈ XおよびQ = ƒ( P ) ∈ Yに対して、 Pの近傍のXの正則局所座標 zとQの近傍のYの正則局所座標wが存在し、それらを用いて関数 ƒ( z ) は次のように与えられる。     

${\displaystyle w=z^{k}}$

ある整数kに対して、この整数はPの分岐指数と呼ばれます。通常、分岐指数は 1 です。しかし、分岐指数が 1 でない場合、定義によりPは分岐点であり、Qは分岐点となります。

Yがリーマン球面であり、QがYの有限部分にある場合、特別な座標を選択する必要はありません。分岐指数はコーシーの積分公式から明示的に計算できます。γをPの周りのX内の単純な可測ループとします。Pにおけるƒの分岐指数は

${\displaystyle e_{P}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)-f(P)}}\,dz.}$

この積分は、ƒ(γ)が点Qの周りを何回巻き付くかを表します。上記と同様に、e _P > 1の場合、 Pは分岐点であり、Qは分岐点です。  

代数幾何学の文脈では、分岐点の概念は任意の代数曲線間の写像に一般化できます。ƒ: X  → Y を代数曲線の射とします。Y 上の有理関数をX上の有理関数に引き戻すことにより、K ( X ) はK ( Y )の体拡大となります。ƒ の次数は、この体拡大 [ K ( X ): K ( Y )]の次数として定義され、次数が有限であれば ƒ は有限であると言われます。 

ƒ が有限であると仮定します。点P  ∈ Xに対して、分岐指数e _Pは次のように定義されます。Q = ƒ( P ) とし、t をPにおける局所的な均一化パラメータとします。つまり、t はQの近傍で定義され、t ( Q ) = 0 であり、微分がゼロでない正則関数です。tをƒで引き戻すと、X上の正則関数が定義されます。すると、     

${\displaystyle e_{P}=v_{P}(t\circ f)}$

ここで、 v _PはPにおける正則関数の局所環における評価です。つまり、e _Pは、${\displaystyle t\circ f}$ƒ はPで消滅する。もしe _P  > 1 ならば、ƒ はP で分岐していると言われる。その場合、Qは分岐点と呼ばれる。

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• Arfken, GB; Weber, HJ (2000), Mathematical Methods for Physicists (5th  ed.), Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-059825-0
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