孤立した特異点

数学の一分野である複素解析において、孤立特異点とは、近くに他の特異点がない特異点のことである。言い換えれば、複素数z _{0 が}関数fの孤立特異点であるとは、 z ₀を中心とする開円板D が存在し、fがD  \ {z ₀ }上、つまりDからz _{0 を}取り除いた集合上で正則となる場合である。

形式的には、一般位相幾何学の一般的な範囲内で、正則関数 の孤立特異点とは、領域 の境界上の任意の孤立点のことです。言い換えると、 がの開集合であり、が正則関数である場合、 はの孤立特異点です。 ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle a\in U}$${\displaystyle f:U\setminus \{a\}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$

開集合上の有理型関数のすべての特異点は孤立しているが、特異点の孤立だけでは関数が有理型であることを保証するのに十分ではない。ローラン級数や留数定理などの複素解析の重要なツールの多くは、関数の関連する特異点がすべて孤立していることを必要とする。孤立した特異点には、除去可能な特異点、極、および本質的な特異点の 3 種類がある。 ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$

• この関数には孤立した特異点として 0 があります。${\displaystyle {\frac {1}{z}}}$
• 余割関数では、すべての整数が孤立した特異点になります。${\displaystyle \csc \left(\pi z\right)}$

孤立した特異点以外にも、1 変数の複素関数は他の特異な動作を示すことがあります。つまり、2 種類の非孤立した特異点が存在します。

• クラスター点、すなわち孤立した特異点の極限点: これらがすべて極である場合、それぞれに対してローラン級数展開が可能であるにもかかわらず、その極限ではそのような展開は不可能です。
• 自然境界、すなわち、関数が解析的に接続できない非孤立集合（たとえば曲線） （リーマン球面内の閉曲線の場合はその外側）。

• 関数は上で有理型であり、任意の に対してに単純極を持ちます。 であるため、 を中心とするすべての穴あき円板は内に無限個の特異点を持ち、 の周囲ではローラン展開は利用できません。 は実際には の極のクラスター点です。${\textstyle \tan \left({\frac {1}{z}}\right)}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\textstyle z_{n}=\left({\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)^{-1}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle z_{n}\rightarrow 0}$${\displaystyle 0}$${\textstyle \tan \left({\frac {1}{z}}\right)}$${\displaystyle 0}$
• この関数は0 で特異点を持ちますが、これは孤立したものではありません。これは、あらゆる整数の逆数にも特異点があり、それらは 0 に任意に近い位置にあるためです (ただし、これらの逆数での特異点自体は孤立しています)。${\textstyle \csc \left({\frac {\pi }{z}}\right)}$
• マクローリン級数 によって定義される関数は、を中心とする開いた単位円内で収束し、単位円をその自然な境界とします。${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}}$${\displaystyle 0}$

• Ahlfors, L. , Complex Analysis, 第3版(McGraw-Hill, 1979)。
• Rudin, W. ,実数および複素解析、第3版(McGraw-Hill、1986)。
• ワイスタイン、エリック W.「特異点」。MathWorld。