正則性の領域

数学において、複数の複素変数の関数の理論では、正則化の定義域は、その定義域上に、より大きな定義域に拡張することができない正則関数が存在するという意味で最大となる定義域である。

正式には、n次元複素空間の開集合 は、空でない開集合が存在せず 、 が連結され、上 の任意の正則関数に対して、 上の正則関数が存在し、上で${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle {\mathbb {C} }^{n}}$${\displaystyle U\subset \Omega }$${\displaystyle V\subset {\mathbb {C} }^{n}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V\not \subset \Omega }$${\displaystyle U\subset \Omega \cap V}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle g}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f=g}$${\displaystyle U}$

この場合、すべての開集合は正則化の領域です。つまり、領域の境界上のどこにでもゼロが蓄積する正則関数を定義できます。これは、その逆数の定義領域の自然な境界でなければなりません。これは、ハートッグスの補題からわかるように、もはや真実ではありません。 ${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n\geq 2}$

ドメインの場合、次の条件は同等です。 ${\displaystyle \オメガ}$

1. ${\displaystyle \オメガ}$正則性の領域である
2. ${\displaystyle \オメガ}$正則凸である
3. ${\displaystyle \オメガ}$擬凸である
4. ${\displaystyle \オメガ}$レヴィ凸である-解析的コンパクト面の任意のシーケンスに対して、ある集合に対して（解析的面のシーケンスによって「内側から触れる」ことはできない）${\displaystyle S_{n}\subseteq \Omega }$${\displaystyle S_{n}\rightarrow S,\partial S_{n}\rightarrow \Gamma }$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle S\subseteq \Omega }$${\displaystyle \partial \Omega }$
5. ${\displaystyle \オメガ}$は局所レヴィ特性を持つ- あらゆる点に対しての近傍が存在し、の任意の近傍に拡張できないような の正則近傍が存在する。${\displaystyle x\in \partial \Omega }$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U\cap \Omega }$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

含意は標準的な結果です（ については、岡の補題を参照）。主な困難は を証明すること、つまり、局所的にのみ定義された非拡張関数からの拡張を許さない大域的正則関数を構築することにあります。これは、EE LeviにちなんでLevi 問題と呼ばれ、最初はKiyoshi Okaによって解決され、その後Lars Hörmanderによって関数解析と偏微分方程式（ ∂¯ {\displaystyle {\bar {\partial }}} 問題の結果）の手法を使用して解決されました。 ${\displaystyle 1\Leftrightarrow 2,3\Leftrightarrow 4,1\Rightarrow 4,3\Rightarrow 5}$${\displaystyle 1\Rightarrow 3}$${\displaystyle 5\Rightarrow 1}$

• が正則な定義域である場合、それらの共通部分も正則な定義域になります。${\displaystyle \Omega _{1},\dots ,\Omega _{n}}$${\displaystyle \Omega =\bigcap _{j=1}^{n}\Omega _{j}}$
• が正則化領域の昇順列である場合、それらの和も正則化領域になります ( Behnke-Stein の定理を参照)。${\displaystyle \Omega _{1}\subseteq \Omega _{2}\subseteq \dots }$${\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }\Omega _{n}}$
• およびが 正則化の定義域である場合、は正則化の定義域です。${\displaystyle \Omega _{1}}$${\displaystyle \Omega _{2}}$${\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}}$
• 最初のいとこ問題は、正則領域では常に解けます。これは、追加の位相的仮定を伴えば、2 番目のいとこ問題にも当てはまります。

• ベンケ・シュタインの定理
• レヴィ擬凸
• レヴィ問題の解決
• シュタイン多様体

• スティーブン・G・クランツ著『複素変数関数理論』AMSチェルシー出版、プロビデンス、ロードアイランド、1992年。
• ボリス・ウラジミロヴィッチ・シャバット『複素解析入門』AMS、1992年

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